GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

GÉNÉRALITÉS SUR LA REPRÉSENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES ET SUR LA RECHERCHE DE LEURS INTERSECTIONS.

1. Représentation d'une ligne. — En Géométrie dex riptive, une ligne se représente par ses deux projections.

Théorème. — La tangente en un point m de la projection c d'une courbe C de l'espace est la projection de la tangente à C au point M qui se projette en m.

Démontrons le théorème pour une projection conique quelconque, de sommet V.

Les courbes c et C sont situées sur un même cône, de sommet P. Les points m et ^I appartiennent à une même génératrice G de ce cône. Les plans V nit et PMT lui sont respectivement tangents en m et en M et, par suite, sont confondus (t. II. n" 375). Il en résulte évidemment que mt est la projection de MT. c. q. f. d.

Cas fl' exception . — La démon>tratlou précédente est en défaut si la droite MT passe par P, car le plan MTP est indéterminé et la projection de MT se réduit au point m. Cette circonstance peut se présenter dans deux cas :

Premier cas. — Le point P se trouve sur MT, mais non en .NL Haag. — Cours. I\ . I

Le plan langent au cône le long de G, qui est la limite du plan passant |)ar PM et par la génératrice infiniment voisine PM', n'est autre que le plan osculateur en M à G (t. II, n" 2^5, théorème II) et la tangente mt est la trace de ce plan sur le plan de projection. La courbe G traversani son plan osculateur, mais ne traversant pas ses autres plans tangents, la courbe c traverse la tangente nit^ mais ne traverse pas une droite quelconque passant par m. 11 en résulte nécessairement que le point m est an point de rcbroussement de c (t. II, n" 198).

Deuxième cas. — Le point P se trouve en M. — Le plan tangent au cône le long de G est encore le plan osculateur en M à G et la trace de ce plan sur le plan de projection est toujours la tangente mt cherchée. Mais, cette fois, si l'on prend, sur G, deux points M' et M" situés de part et d'autre de M, l'un d'euv se trouve du même côté que sa projection par rapport à M, tandis que l'autre se trouve du côté opposé. Il s'ensuit que tout plan traversani G en M coupe le plan de projection suivant une droite ne traversant pas c en m et inversement. On conclut de là que la courbe c traverse toute droite passant par m, à l'exception de «sa tangente. Autrement dit, le point m est un point ordinaire sur. la courbe c.

Cas de la projection orthogonale. — S'il s'agit, par exemple, de la projection horizontale, les deux cas que nous venons de considérer con-espondent, le premier à une courbe G ayant une tangente verticale en M, ce dernier point étant à distance finie, le deuxième à une courbe G ayant une asym|)lote verticale.

2. Représentation d'une surface. — • En Géométrie descriptive, une surlace se représente ordinairement par ses contours apparents.

Soit un (jbservateur, ayant sou omI en P et regardant la surface S. Parmi les rayons visutU (pu lui |tar\iennenl, il y en a qui rencontrent S et d'autres (pii ne la rencontrent pas. ils sont séparés les uns des autres par le cône des ravoiis tani;eMl>, c'est-à-dire par le eône circonscrit a S et de soinuu'l P. Si la suriaee S liinile un corps Solide opaque et d'éclairemeni uiiiloiuie cl si. derrière ce corps solide, se trouve un écran plan I'., (reclaiienienl dilbreiil . il est clair (Uie le corps solide aura I asjteci d un disipie posé sur 1^ cl liinile par la