GÉNÉRALITÉS SUR LA REPRÉSENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES

trace c du cône précédent sur l'éci-an. Cette trace porte le nom de contour apparent en projection de S sur E, à partir du point P. Tous les points de E qui lui sont intérieurs sont cachés par S, pour l'œil placé en P.

La courbe de contact C du cône avec la surface S porte le nom de cotitour apparent dans l'espace. Elle jouit des propriétés suivantes :

Théop.è:me I. — Le contour apparent dans l'espace sépare^ sur la surface, les légions vues des régions cachées.

En effet, toute droite, issue de P, intérieure au cône et voisine de ce cône, rencontre la surface S en deux points M et M' voisins de C et situés de part et d'autre de cette ligne. Si le premier est vu ('), le second est nécessairement caché par le premier, de sorte que l'un est dans la région vue et l'autre dans la région cachée. Quand on traversera ligne C, on passe d'une région dans l'autre.

Théorème il. — Si une courbe F, tracée sur S, rencontre C en M, sa projection ^■' est tangente en ni à c.

En effet, la tangente commune en m à y et à c est la trace, sur E, du plan tangent en M à la surface S.

Remarque 1. — Bien entendu, ce théorème est en défaut si la tangente en M à F passe par P (n° 1).

Remarque II. — Si F traverse C, elle est vue d'un côté de cette ligne et cachée de l'autre; la ponctuation de y change en m.

Théorème III. — Si deux surfaces S ef S, sont circonscrites l'une à Vautre^ leurs contours apparents en projection sont tangents.

En eftet, soit M un point de rencontre de la ligne de contact avec

( •) Il peut arriver que les points M et M' soient tous deux cachés. Dans ce cas, C n'est plus un contour apparent, au sens physique du mot. Pour qu'il le soit, il suffirait d'enlever une ou plusieurs nappes de S, afin de rétablir la visibilité de l'un des deux points M et M'. Dans les épures, un tel contour apparent est représenté entrait ponctué. Il renseigne sur la forme des parties cachées de la surface. Celte circonstance ne se présente jamais, si la surface est convexe.

le contour appareni de la première surface, par exemple. Le plan tan2;<'nt en ce poinl à S passe par P. Mais, il est aussi lanj^ent à S|, puisque M appartient à la ligne de contact. Donc, M appartient aussi au contour apparent de S|. En projection, les deux contours apparents, ainsi que la ligne de contact sont tangents, en m, à la trace du plan tangent ci-dessus. c. q. f. d.

3. Le cône de rayons visuels envisagé au numéro précédent et qui st'|)are les rayons rencontrant la surface des rayons ne la rencontrant pas peut quelquefois comprendre des nappes non tangentes à S. Ceci arrive lorsque la surface présente une ligne d'arrêt A. Cette ligne doit être comprise dan? le contour apparent G. Mais les théorèmes I et II précédents ne doivent pas lui être appliqués.

Si la surface S possède une lii;iie multiple L (t. II, n" '206 ), le plan tangent en un point quelconque M de cette ligne est, comme on sait, indéterminé. Le plan qui contient P et la tangente en M à L peut être considéré connne tangent à S en M, de sorte qu'en théorie, la ligne L doit être regardée comme faisant partie dû contour apparent dans l'espace. Cela est vrai aussi en pratique, si l'on considère que l'éclairement change nécessairement quand on traverse la ligne L, en passant d'une nappe sur l'autre.

Les théorèmes I et II ne s'appliquent pas non plus à une telle extension du contour apparent.

i. En Géométrie descriptive, il y a deux contours apparents, obtenus en prenant le point P à linfini dans la direction perpendiculaire au plan horizontal ou au plan vertical. Ils sont appelés respectivement contour apparent horizontal et contour apparent vertical.

Le contour apparent horizontal est seuh^ment tracé en projection horizontale, car cette projection est seule intéressante, au point de vue de la représentation de la surface. Ce n'est que pour elle que les théorèmes I et II sont apj)licables.

De même, le contour a|iparent vertical ncst tracé qu'en projection verticale.

.'). Ombres. — Supposons ({uc, dans les considérai iou> (li> trois nunit'-ros précédents, le point P. au lieu d'être l'œil ih' l'oliservateur, soit une source lumineuse. Les rayons visuels deviennent des ray(ms lumineux t'-mis p;if («•Ile snurcc. La li^ne C est appidéc lii;ne iV ont h ri' prapri'.

Si l'on iqipli«pif je t liriii iiin- I du n" !2. on voit qiir celli' ligne