I' = I\IL2T

On arri\e au même rt'sultal, en se ra|»|ielanl (pie la puissance d iiu nujteiir est ('-gale an prodiiil de son couple par sa \ilesse angulaire el en applifpiaiit les lonii iile>. ( 1 S ) et (()).

Moiiienl (I inertie. — Contenions-nous de doiiuer les diiiieiisioiis (■d\) I=IVIL2.

LES UNITÉS FN hiécanique. i33

Eu multiplianl par 0-, on retrouve le symbole de dinieiislons de lénergie cinéti(|iie.

1 1(). Tvbleal: rkcapitulatif. — • Nous donnons ci-dessous nnTableau récapitulatif, indiquant les noms, les grandeurs relatives et les symboles de dimensions des différentes unités. Nous signalons en même temps quelques u/iitrs pratiques, qui sont souvent employées, au lieu de l'unité absolue, pour des raisons de commodité dans les calculs numériques, par exemjde pour éviter l'emploi de nondares trop grands ou trop petits.

Pour l'évaluation des rapports d'unités, le plus simple est de se servir des symboles de dimensions. Pour le passage du système M, T. S. au système C. G. S., il faut prendre L = io-, JMzz^io". Pour le passage inverse, on prend évidemment les valeurs inverses. Pour le passage du système M. K. S. au système G. G. S., on a L= 10- et M = 98 10.

Valeur en

Nom ■!! ^^m Symbole

de la j:raii<loui-. Nom de 1 iinilc. C. G. S. >I. T. S. M. K. S. do dimensions.

^ Conlimètrc

Longueur . . . ^ ,. . ' , î L

'^ ( Meli-e lo' I I )

Temps ScconciL' i i i T

Gramme.

Masse / Tonne.. .

(),Si

, Mètre par sec 10- i i I t n-

\ itessc < > Ll

Ivilogramnic.

Centini. par sec i

Mètre par sec. . . .

Kilom. à l'heure.

,, , . ( Cm. par sec. par sec. i 10— io~- ) r n^--»

vccelcralion. ,, , [ '-i '

( M. par sec. par sec. 10- i i )

r^ad. ])ar sec i i i \

Vitesse angulaire I Tours [)ar min.

Dyne.

[''orce { , „ 100 )• MI.T

Sthene 10^ i

Kilogramme ySiooc 0,00981

l34 CHAPITHK Mil.

Valeur on

Nom. — ™«^^.^ — ^ Suiiliolc

do la ^'Fandcur. Nom dp l'uiiilo. ('.. (1. S. M. T. S. M. K. S. de diiiieiisiini!

Ers

KilMJoulo

Travail ,.., , . . ' MJ.-T-^

KilograinmcU'c (),bi x lo' o,i)09!m i i

Joule lo lo •' • 1

Kilowalt-lieurc .')*) x. 10'- 3('>0() 867 x m'

iM'g par s<'C.

KiluwaLl . . .

. Kilosram'"' par sec. . 0,81x10^ o. 00081 1 ,,,-,r..

Puissance... / ° ^ ' ^ / ML-T-

1 Watt 10" • io~3 — ^ ' I

1 Cheval-vapeur ^SfJ x m'' |',7>^G 7'> \

I H. I*. (horse-powiT). 745 x lo' 0,7 'i-^ 7'' I

' Poncelet 9,81x10' "^yf^i ""' '

117. Conseils viatiques poir les calculs jnumériqces. — Dans les applications, il arrive fréqnenimont qne les données sont évaluées au moyen d'unilés pratiques diverses. I*ar cxenq^le, on donn(;ra la longueur d'un arbre de transmission en mètres et son diainélre en millimètres. On donnera sa vitesse angulaire en tours par jninute et la puissance transmise en chevaux. On donnera un effort langenliel en kilogrammes ou bien en tonnes, etc.

On peut évidemment garder ces données telles quelles pour les introduire dans les calcids. quitte à corriger les formules ordinaires de la Mécanique par l'adjonction de facteurs numéiiques conve^ nables, dont le rôle est de tenir compte de la non-concordance des unités employées avec les équations de définition. Mais, celte manière de procéder exige une attention continuelle et peut occasionner facilement des erreurs. Aussi, croyons-nous préférable d'opérer de la manière suivante :

(Jn c/ioisù un sy.slèina d'unités a/jsolues : C. G. S., M. T. S. ou M. K. S., se lapproclianl le plus possible des unités praticpics fpii servent à évaluer les données. Fuls, on I iiiiisiorme ces dcrnièies dans le syslénie choisi. On fait ensuite les calculs dcinaïuh's. Mnlin, on transforme les résultats en unités |)ratiques.

Quelle que soit la manière de procéder, il est toujours |)rudciit de

LES UNITÉS EN MÉCANIQUE. 1^5

se rendre compte a priori de l'ordre de grandeur des différents nombres que l'on calcule, en arrondissant grossièrement les données. Cela permet d'éviter les erreurs ridicules auxquelles on s'expose quand on fait les calculs mécaniquemenl, sans les soumettre au contrôle du bon sens. Cette évaluation de l'ordre de grandeur est d'ailleurs à chaque instant nécessaire, quand on emploie la règle à calculs, puisque cet instrument ne donne les résultats des opérations qu'à une puissance de lo près.

118. Équilibre. — Soit un système S de points matériels, soumis, par rapport à un Irièdre de référence déterminé, à une loi de forces et à des liaisons données, que nous supposons indépendantes du temps. On dit qu'une position (') particulière S est une position d équilibre si le système y demeure indéfiniment quand on l'y abandonne sans aucune yitesse initiale.

On dit que l'équilibre est stable si S reste constamuienl dans le voisinage de S (-), quelles que soient les conditions initiales, pouryu que les vitesses initiales soient suffisamment petites et la position initiale suffisamment voisine de S.

L'équilibre est dit instable dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsqu'on peut trouyer une position initiale aussi voisine qu'on le veut de ^ et des vitesses initiales aussi petites qu'on le désire, telles que S s'écaile d'une qiiaulilc liuic de i] dans la suile (bi moiiyemenl.

La recherche des positicnis ou des conditions d'équilibre fait l'objet de la Statique. Quant à l'élude de la stabilité, elle rentre dans le domaine de la Dynamique et constitue quelquefois une question fort difficile. Toutefois, dans bien des applications pratiques, on j)eut se contenter d'un raisonnement intuitif plus ou moins rigoureux poui- reconnaître qu'une ])osilion d'é(piilibre est stable ou instable.

TiiÉoniiMK. — JJans une position d équilibre, la force relative appliquée à chaque point du système est nulle et réciproquement.

M) Nous enlentloiis ici le mol posilinn dans le sens large de position cl rontifjuiation, pour le cas où l'on a alFaiic à un système déformahle.

{'') Ceci veut dire que chaque point de S doit rester voisin du [loint correspondatil de X.

STATIQUE. l37

La condilidii est évidemment nécessaire, car lorsque le système reste au repos, chacun de ses points a une accélération nulle, donc une force relative nulle.

Elle est également suffisante, car si elle est remplie pour S. les équations diflerenlielles du mouvement sont vérifiées quand on suppose que S reste indéfiniment en S. En outre, les conditions initiales sont également satisfaites, si l'on suppose que la position initiale est S et que les vitesses initiales sont nulles. Or, on sait qu'il n"v a qu'une solution possible remplissant toutes ces conditions. Donc. S reste nécessairement en ï.

119. Théorème des travaux virtuels. — Le théorème précédent ne serait pas d'une application commode dans la pratique, surtout quand on a affaire à un système constitué par un milieu continu, comme il arrive presque toujours. C(^ sont surtout ses conséquences qui sont litilisées et que nous allons maintenant développer.

Imaginons un petit déplacement de S à partir de il, tel que la nouvelle position S' obéisse toujours aux liaisons générales imposées au système. Un tel déplacement élémentaire est appelé déplacement virtuel. On l'appelle ainsi parce que ce n'est pas un déplacement réel pris efTectivement par le système; il est purement fictif et arbitraire, sous la seule condition d'être compatible avec les liaisons.

Considérons maintenant la somme algébrique des travaux élémentaires des différentes forces appliquées au système, correspondant à ce déplacement. C'est ce qu'on appelle le travail virtuel. On a le théorème suivant :

Théorème {des travaux virtuels). — Pour que la position S soit une position d'équilibre, il faut et il suffît que le travail virtuel soit nul., quel que soit le déplacement virtuel.

La condition est évidemment nécessaire, d'apiès le théorème du n" 118, car, s'il y a équilibre, la force totale appliquée à chaque point est nulle, donc aussi son travail.

Démontrons maintenant qu'elle est suffisante. Supposons-la remplie et montrons que S ne peut pas se mettre en mouvement, si on l'abandonne sans vitesses initiales dans la position ï. Si un mouvement quelconque prenait naissance, au bout d'un temps t infiniment petit, le système aurait une énergie cinétique non nulle, et

l38 CHAPITRE IX.

connue, au leuips zéro, celte énci'gie esl nulle, elle ;nii"all cerlaluejuenl subi un accroissemenl positif. D'après le théorème des forces vives, le travail élémentaire des forces appliquées au système serait donc posilil. Or, le déplacement réel qu'aurait subi S ferait nécessairement partie des déplacements virtuels possibles et l'on aboutirait ainsi à un travail virtuel particulier qui ne serait ])as nul, contrairement à l'hypothèse ( ' ).

Remai'que. — Cette démonstration nous prouve ([ue, lorscpi'il n'y a pas équilibre, le mouvement que prend le système est tel que le travail comnience par cire positif, l^ar exemple, s'il y a une fonction des forces, cette fonction commence par augmenter.

Dans le cas où le système ne dépend que d un seul j)aramètre (on dit alors qu'il est à Liaisons complètes)., cette remarque suffit pcnir prévoir le sens dans lequel commence nécessairement le mouvement.

120. Cas où il y a une Jonction de forces. — Lorsqu'il v a une fonction des forces U, le travail virtuel est la dillerentielle totale de cette fonction. Dans une position d'équilibre, cette diflercntielle doit donc être identiquement nulle, (pielles que soient les difï'érentielles des variables Indépendantes dont dépend le système. Cela revient à dire que les dérivées parùelles de U par rapport à ces \ariables doivent toutes être nulles. Ceci arrive, en particulier, lorsque U est maximum ou minimum.

Signalons, à ce propos, le théorème siiixant. (pu rend souvent des services dans les annlications.

( ' ) Si l'on veut (]ue celle ditiHuisliat icm soit cntiùieiiKMil rigoureuso, il (aul tenir compte des ordres d'infinitude. (Juand nous disons que le travail virtuel éléinenlaire esl nul. cela signifie qu'il est nul, au second ordre prés ])ar rapport aux déplacenienls. Or, ces derniers sont au moins du second ordie par rapport à /, pane qui! les vitesses initiales sont nulles. IJonc, le travail au temps t esl nul, au fiualriome ordre ])rès par rapport a t.

|)"aulrc part, si l'une des forces /* n'était |)as nulle au tcm|)s o, le point i\l au(|uel elle est uppliijuée prendrait, au temp^ /. la vitesse /V, au second ordre prés, ainsi (ju'on le voit en appliquant les équalions inhinséijues et s'appuyanl toujours sur riiypotlièse que la vitesse initiale esl nulle. On aurait alois, au temps /, une énergie

cinétique égale îi (- 7 mf^]/'-, au troisième ordre près par rapport ;i /. t'ille serait du second ordre, tandis que le travail sérail au moins du (jnatrième ordre. Il est donc nécessaire que loutes les forces/ soient nnllcs. <)n (;sl aluis ramené au théorème du n° 118.

TiiKOHÈME. — Lorsque la Jonction des foixes est maximum [ou le potentiel minimum), la position d'équilibre est stable.

On peut se rendre compte, grosso modo, de la raison d'èlre de celle proposition, en remarquant que si l'on écarte S infiniment peu de la position S considérée et si on l'abandonne ensuite sans vitesse initiale, U doit augmenter, en vertu de la remarque faite à la fin du numéro précédent; or. cela n l'st [)Ossible que si S se rapproche de ii, car L diminue quand S s'éloigne de S.

Voici maintenant nne démonstration ligoureiise.

Nous supposerons, pour simplider, que S ne dépend que de trois paramétres 37, j', :;. Notre démonstration s'appliquerait dans le cas d'un nombre quelconque // de paramétres; mais la i-cprésentation géométrique ci-dessous se ferait dans l'espace à » dimensions.

Nous représenterons la position de S par le point M(ic, y, ::), rapporté à un système d'axes quelconques. Nous supposerons que les valeurs de x, y, z qui rendent U maximum sont o, % o et que ce maximum est nul, résultats qu'on peut toujours obtenir par un changement de variables. A la position S, correspond alors l'origine O. Il faut démontrer que, si M,, est suffisamment voisin de 0 et si les vitesses initiales sont assez petites, M reste indéfiniment voisin de O.

A cet effet, considérons l'intégrale des forces vives

laconstante h étant donnée par

(■>.) A = To-Uo.

Le premier membre de ( l'i est ;,o\ il en est donc de même du second et l'on peut affirmer que, pendant toute la durée du mouvement, on a

I.e point M reste donc indi'finiinent dans le domaine défini par cette inégalité.

Or, du fait que U est maximum et nul au point O, on peut conclure que \j''l — /, il l'intérieur d'une surface fermée (.s/,) entourant O et tendant à se ri-duire à ce point quand /tend vers /.éro (i), la valeur de U sur {s/,) étant

('j On peut démontrer rigoureusement cette propriété intuitive de la manière suivante. Considérons une spiière A, de centre O et de rayon r. La définition du inaxiiiium de U nous apprend que si /• est assez petit, U est né?;&tif sur la surface de cette splière. Soit — a sa plus grande valeur algébrique, a étant un nombre certainement > o et qui tend vers zéio, en même temps que /■, si l'on suppose que U est une fonction continue.

Cela posé, considérons une demi-droite () A quelconcpic issue de O. Si AI part de 0,

l4o CIIAI'ITUE IX.

juste égale à — k. Soit alors ï un nombre positif donné i\ l'avanre et aussi petit qu'on veut. Choisissons Mq à linlérieur de fs-\ et choisissons en outre

les vitesses assez petites pour que To < - • D'après (2), nous aurons alors

Je dis que M reste indéfiniment à l'intérieur de la surface (sç). En efl'et, il est, au temps zéro, à l'intérieur de cette surface, puisqu'il est à l'intérieur de (s^\. S'il en sortait, il la traverserait à un certain moment, puisque sa

trajectoire est continue. A ce moment, on aurait U = — s et, par conséqucHt. d'après (3), A^s, ce qui est contradictoire avec (4).

Si nous nous reportons maintenant à (i), comme nous savons que U reste compris entre o et — e, nous pouvons affirmer que T reste ^ /i <^ z. Donc. les vitesses des différents points de S restent infiniment petites, si t est infiniment petit, l.a stabilité est démontrée.

Application à un système pesant. — Si ; désigne la cote du cenlrc de gravité, l'axe Oc étant la veiticale descendante, la fonction des forces est P-c, en appelant P le poids total. I,e théorème précédent nous apprend alors que le système est e« équilibre stable^ lorsque son centre de :;rai'ité est le plus bas possible.

121. Cas du mouvement permanent. — 11 est (|uclquefoi.s codiniode d'envisa<^er l'extension suivante du lliéM)rèine des li'avaiix virtuels.

iinaj:;inons (jue le sjstènie S ail un niou\ entent tel que ehaeun de ses points garde une vitesse de grandeur eonstante, comme il arrive, par exemple, pour une macliine qui tourne d'un mouvement uniforme. On dil alors que le système est à l'état de mouvement ou de régime permanent. Son énergie cinétique reste constante; donc, le

eu suivant cette demi-droite, l varie d'une uiaiiière continue, en parlant de la valeur o pour atteindre, sur A, une valeur ^ — a. Si /. < a, IJ passe donc, au nmins une fois, par la valeur — /,. Soit P le premier point pour lequel cela arrive. Sur le segment OP, U > — /■ et, en P, U -: — k. Si l'on fait maintenant pivoter Oa autour de O, le point P engendre une surface (^^ ) intérieure à A. A l'intérieur de cette surface, U > — /. et sur son contour, U = — /,. D'autre part, si /. tend vers zéro, on peut supposer qu'il en est de même de a\ donc, r tend aussi vers zéro. La sphère A et, par suite, la surface (vu), qui lui est intérieure, tendent donc à se réduire au point O. La surface (s^^) jouit bien de toutes les pioprictés annoncées.

STATIQUE. l4l

travail clcmentaire réel des forces qui lui sont ap[)llquées est nul à chaque instant. .

Cette proposition, qui n'est qu'un cas particulier du théorème des forces vives, ne nous permet pas d'affirmer que tous les travaux virtuels possibles à chaque instant sont nuls, puisqu'il ne s'agit que du travail réel correspondant au déplacement réel du syslème. Celle affirmation n'est légitime que si le système dépend d'un seul paramètre, parce qu'il n'existe qu'un seul déplacement virtuel, qui correspond à l'accroissement infiniment petit de ce paramètre. 11 n'y a donc qu'un seul travail virtuel et il ne peut pas diflérer du travail réel. Dans ce cas, les conditions que doivent remplir les forces pour qu'il y ait régime permanent sont exactement les mêmes que les conditions d^équilibre.

l!2'2. Systèmes sans frottement. — ■ Les forces appliquées à un système comprennent les forces données, qui sont connues et les réactions extérieures ou intérieures, qui ne le sont pas. Dans l'application du théorème des travaux virtuels (comme des forces vives, n° 73), il faut tenir compte des unes et des autres.

On dit que le système est sans frottement lorsque le travail virtuel des réactions est nul quel que soit le déplacement virtuel envisagé. Cette définition est bien conforme avec celle que nous avons donnée dans le cas particulier d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe ou sur une surface fixe [cf. n° 71). Lorsque le système est sans frottement, on a le droit d'appliquer le théorème des travaux virtuels (de même que le th(''orème des forces vives, n" 71) sans s'occuper des réactions, puisque celles-ci donneraient à coup sûr un travail nul.

On obtient ainsi des équations qui ne renferment pas d'autriinconnue que les paramètres qui déterminent la position (hi système. Le nombre de ces équations (distinctes) est d'ailleurs égal au nombre n de ces paramètres. On obtient, en eflet, n déplacements virtuels indépendants en supposant successivement qu'on dcmne un petit accroissement à chacun des paramètres, les autres demeurant constants. Tout autre déplacement est une combinaison linéaire des précédents (M et donne une équation qui e> t une combinaison

(') ^' y") 'h ''■> ■■■ désignent les paramétrée, les coordonnées d'un point quel-

li'i ciiAi'iTiii: IX.

linéaire des fi équalions distincles t'ournics par les déplacemcnils parliculiers ci-dessus. Le ihéorème des travaux virtuels conduit donc toujours, dans le cas des systèmes sans frottement, à un nombre d'équations égal au nondire des inconnues, 11 s'ensuit que le nombre des positions d'équilibre est limité ('). Leur recherche dépend de la résolution d'un certain système d'équations finies et ne comporte aucune intégration. Au point de \ue de l'Analyse, la Statique est donc beaucoup plus simple que la Dynamique.

l'23. Systèmes avkc frottement. — Lorsque le systr/ne a du frollement^ on fjdniet, comnu^ un fait expérimental, que le liun'ail réel des réactions est toujouis né natif ou nul. Cela est vérifié (n" 71^) dans le cas particulier duii point ■ iir une roiiibe ou sur une surface fixe, en vertu de la première loi du frottement de glissement. On peut le vérifier aussi dans le cas du frottement de deux corps solides (n° 133). Et ce sont là les seuls cas dont nous avons à nous occuper. Ce principe ne diffère pas d'ailleurs du principe général de la dégradation de V énergie^ en vertu duquel l'énergie mécanique (cinétique ou potentielle) ne se conserve pas là où il y a frottement et se transforme en chaleur.

Si l'on applique le théorème des travaux virtuels en négligeant les réactions, on olitient encore des positions d'équilibre. Si l'on se reporte, en cfirt. à la déiuoii' traliou du n" 119. on constate que Ihvpothèse contraire conduirait à l'existence d'un travail réel po- itif des réactions, ce que ne permet pas le principe ci-dessus.

Mais, ces positions particulières ne sont pas les seules possibles. Il eu existe toujours une infinité «l'aiitres. ain; i que nous le \ errons plie loin ( n" 131 j, (pii (constituent, en (pielcpie sorte, des régions d équilibre. La délimitation de ces régions ne peut jias se faire par le théorème des travaux virtuels. Elle exige l'élude de chaque ri-aetion p:irlieiilièie. qui doil obéit aux lois ex|)<''rimeiilales du (l'Ot-

conquc M du système sont ries fonctions de terminées de ces variables. Les composantes dx^ ily. (Iz du déplacement élémenlairc de M pour un déi)laccmcnt virtuel (|uclconquc du système sont les didV-rentielles totales de ces fonctions: ce sont donc

des fonctions linéaires de dp, df/, <tr

(') D'une manière plus précise, ces positions ne dépendent d'ati'iiii paramètre arbitraire.

STATIQUIi:. l1i

tement au repos, dont il sera parlé [)lu>; loin (n" l'29). On est alors obligé d'avoir recours à une aulre méthode générale de Slalicpie, ([ui est ordinairement plus compliquée et que nous allons mamlcnanl exposer.

124. VjKS six ÉQl AïIOINS UMVEUSELLES I)'KQClLIl!r.K. ThKORÉMIC.

Etant donné an système quelconque en équilibre, les forces extérieures qui lui sont appliquées forment un système de vecteurs équivalent à zéro.

Cela est évident, d'après le théorème du n" 118, pour le système formé par toutes les forces. Or. les forces intérieure^. forment toujours un sAstème équivalent à zéro, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction (cf. n° 100 ). U en est <lonc de même des forces extérieures.

Ce théorème se traduit analytiquement par six équations, obtenues en écrivant que la somme géométrique du système et son moment résultant par rapport à un point quelconque de l'espace sont nuls (t. II, n" 116). Si l'on introduit, par exem|)le, un trièdre Oxyz quelconque, les six coordonnées du système par rapport à ce trièdre doivent être nulles :

Ces six équations peuvent toujours être écrites pour un sv tenu; quelconque en équilibre et, par suite, aussi pour une partie (pielconque d "un tel système. Elles portent le nom d'équations universelles d' équilibre. Mais, il faut l)ien remarquer que, si elles soûl nécessaires, elles ne sont pas, en ^'énéral., suffisantes. Si elle.-; sont remplies, on peut bien affirmer que l'ensemble des forces appliquées aux différents points forme un système équivalent à zéro; mais, on ne peut en conclure que la force appliquée à cluupui point e> I nulle.

125. Cas du corps soliof.. — Tmkokkmic. — Les six équations universelles sont suffisantes dans le cas d\in corps solide.

On sait, en efl"et(n" 102), que le lia\ail de toutes les force- «,' l nul

l44 CHAPITRE IX.

quel quo soit le (lé))lacem('iil. Oa est, dès lors, ramené au théorème des lra\ aux \ irluels.

On (Icduil de ce ihéorènie que l'cni peut, sans détruire l'équilibre d'un curps solide, remplacer les forces extérieures (pii lui sont aj)pliquée>: par d'autres forces formant un système équivalent. En particulier, on j)eut leur faire subir des opérations élémentaires (t. II, n" 117).

11. existe une méthode élémentaire d'exposition de la Statique du corps solide, qui consiste à admettre a priori^ comme des postulats, la légitimité de ces opérations. On peut ainsi se passer des quelques considérations de Dynamique dont nous axons fait usage dans ce Chapitre. Mais, la méthode que nous suivons ici est évidemment plus générale, j^uisquelle n'exige pas d'autres axiomes qm^ les axiomes fondamentaux de la Dynamique.

126. PiuvciPE m-: soLiDiPicATiON. — Quand ou a alfalre à un système non solide, on fait quelquefois un raisonnement qui consiste à isoler par la pensée une partie du système et à affirmer qu'on ne troublera pas l'équilibre si on la suppose solidifiée. Et tout ceci pour avoir simplcuient le droit décrire ensuite les six é([uatu)ns uuiver.selles. Point n est besoin de faire autant d'hvpothèscs, puisque nous savons (jue ces six équations sont toujours vérifiées pour n"inq)orte fjuel système, donc en particulier pour le systèuie isolé par la pensée dans le système total. Mais il convient de se rappeler que ces équations ne sont pas, en général, suffisantes. Par exemple, de ce qu'une partie d'un liquide obéirait au princij)e d'Archinu-de, on ne saurait conclure (pie ce h(pii(le est en é([udd)i'e.

127. .SvsTÎi.MES DE coiu's soLiDivS. — (^)iiand un sxslèuie S est composé de j)lusieurs corps solides, entre lesquels sont étal)lies (h-s liaisons déterunnées, on peut euiplo\ci' deux u\(''tln)des pour rechercher ses positions tl'éqiubhri;.

Première méthode (des travaux virtuels). — C/est la méthode générale exposée au n" Iî2i2. Elle n'est a|)|)lieable pralifpnuneut que s'il n\y a pas frolteiuent. Mais, dans ce cas, elle es! (ucbuairemeul la pbis simple.

Jfeu.i ième méthode ( â'ilc élénte/ilaire). — • On iiilioibnl des réac-

STATIQUE. l/p

lions partout où un corps solide du svstrme est en contact soit avec un autre corps du système, soil a\ec un obstacle extérieur, l'uis, on prend successivenie/it tous les corps solides et l on écrit pour ctidcun deu.r les sir équations universelles cVèciuilibre. On oblicnl ain> i ()// écjuations. S'il est possible de trouver une position du système cl des réactions telles que ces 6/i équations soient yériliées, en même temps que les hypothèses particulières que l'on doit faire sur les réactions ( égalité de raction et de la réaction, absence de frottement, lois du frottement), on admet que la position trouvée est une position d'équihbre. (On pourrait, dans chaque cas particulier, démontrer rigoureusement que tout mouvement est impossible. )

Cette mélhode est évidemment plus compliquée que la première. Par contre, elle a l'ayantage de pouvoir s'appliquer même quand il y a frottement; en outre, elle permet le calcul des réactions ('), ce qui a souvent une grande importance pratique au point de vue de la résistance des matériaux.

On peut en varier l'application en groupant plusieurs corps du système et écrivant les six équations universelles pour le système partiel obtenu. On élimine de la sorte les réactions intérieures de ce système partiel. On peut, en particulier, envisager ainsi le système total proposé. Toutes les équations que l'on obtient sont des combinaisons linéaires des 6« équations que donne la méthode régulière; elles peuvent en remplacer une partie; mais il faut bien prendre garde que le nouveau système d équations soit équivalent à l'ancien.

128. Frottement des corps solides. — Si l'on ne tait, sur les réactions, aucune hypothèse autre que le [)rincipe général de l'égalité de l'action et de la réaction, oia constate très souvent que les équations obtenues par la méthode précédente sont en nombre inférieur au nombre des inconnues. La Mécanique est alors impuissante à elle seule à déterminer les positions d'équilibre. // jaut demander

(') D'une faron plus précise, on peut calculer, pour ctiaque corps du système, un système de forces équivalent au système des réactions qui lui sont appliquées. Mais, il y a des cas où l'on ne peut pas en déduire la distribution de ces réactions sans faire appel à la théorie de l'élasticité. On dit alors que les liaisons sont Ityper- ■stati'iites.

Haag — Cours, lit. 10

lifi

CHAPITIΠIX.

à l'expérience des équations suppLénienlaires. On y ani\c en cUidianl expérimentalement les propriétés des réactions des corps solides les uns sur les autres.

Soient deux corps solides, limités par les surfaces S et S' assujellies à rester tani;entes. Soient M le j)oinl de contact, Wn la normale

commune etTle plan tangentcommun. SoientRla réaction de S sur S'

et R':^ — R la réaction de S' sur S.

Cas où il n y a pas froHenienl . — C'est le cas où les deux reactions sont normales, c'est-à-dire portées par M/î. En outre, tant

cpi'il y a contact, R doit être dirigée vers S' et R' vers S.

Il est aisé de vérifier que, dans cette lijj)otîicse, le travail total des denx réactions est nul pour tout déplacement élémentaire compatible avec la liaison, c'est-à-dire laissant les deux solides en contact.

En effet, nous savons d'abord que ce travail est indépendaul (h: trièdre de référence (n° 102). Nous pouvons donc supposer que S, par exemple, est fixe. Le travail de R' est alors nid parce que son noiul d'application, qm appartient à S, ne se déplace pas. (^)iianl au travail de R, il est également nul parce que son point d'a|)plication, qui appartient à S', se déplace tangentiellement à S, donc perpendiculairement à R.

l!29. FiiOTTEMEXT BK CLISSE ME\T. — L'iijpotiièse précédente est tout à fait tliéorique et ne se réalise jamais rigoureusement dans la prati(iiie. On peut seulement s'en a|ipi'ocliei-, en polissant les surlaces

Fiff. 6.

ou en les lid)ri(iant. Voyons mainlenant ce qui se passe lorscpi'il y a du frottenuMit. c'est-à-dire, en somme, dans la réaliti'-.

On (lil t\\ic les deux surfaces glissent l'une sur lanlic lor^(|iie le poinl (le coiitiicl M. considère'' |)ar exemple comme solidaiic de S', a

Jl

ST.vriQL'i:. i.i7

une vitesse non nulle p;u' rapport à S. Celle vitesse G, qui est nécessairement dans le j)lan Unigenl T, s'appelle la vitesse de glissement de S' sur S.

( hiand il y a glissement, la réaction R obéit aux lois du frottement de glissement, qui s'énoncent de la même manière qu'au n° 72,

Si N et (I> désignent ses projections sur la normale INI Ai et sur le plan tangent T :

i" La coinijosantc tatigentielle <I>, appelée aussi force de frotte ment, est opposée à la vitesse de glissement G;

2° Le rapport — est constant et égal au coefficient de frottement de glissement f des deu.r surfaces l'une sur l'autre.

Si, au contraire, // n'y a pas de glissement^ c'est-à-dire si (ji=o, ce (jui arrive, en particulier, lorsque les deux corps solides sont au

l'epos (' ), on ne sait rien a priori sur la direction de *!> ; on peiitseulemen! at'lirmer rpie le rapport — est plus petit gré un certain coefficient f , toujours plus grand que /', et <pi'on appelle le coefficient de frottonent au repos.

Si, en modifiant progressivement les forces appliquées à S , on fait

croître —■, le glissement commence aussitôt (pie ce rapport dépasse /'.

Inimédiatement après, il redevient égal à /. conformèmenl aux loi>

(lu froltcment de glissement; en outre, <^l> est opposée à la vitesse G. On peut donc dire que, au moment où le glissement va prendre naissance dans une certaine dire(;tion, la force de frottement est opposée à cette direction et son ra[)[)ort à la réaction normale est égal au coefficient de frottement au repos (qu'on ap|)elle aussi coefficient de

frottement au dépari). Mais, tant ([ue ^ • /', le gilssemenl ne se pro(lu!l pas.

V,\\). Afin de donner au lecteur une idée <\v lurdre de grandeur des

(') Cel;i pt-iil arriver dans d'aulrcs cas ( n"' l.'JÔ ol 13G;.

«48 CIIAIMTRK IX.

<'(»efficienls de frottement, nous reproduisons ci-dessoiis le "J'al)lean

de quel([iies ((tetlicienls usuels :

KroUeinent.

Nature des surfaces. Marclie. Départ.

Fer sur fonte, à sec 0.18 o. t<)

Acier sur fonte, suivant hi n;iliu(> du graissage o,()Jào,it) »

Acier sur iiu-lal l)lanc ( antifriction), à sec. o,ïi »

» graissage sous pression o.oi »

Fer sur chêne, avec glissement parallèle aux fihres, à sec. 0,40 o,()o

» surfaces niouillé<'s o.'ij 0,60

» siufaces graissées 0,08 O, l:>

Chêne sur cliêiie. giiss(>nn'iit |tci|)eu(li<ulaire aux lii)res,

à sec. 0.34 o , 5 j

» surfaces mouillées o,>,j 0,70

» surfaces graissées 0,07 0,20

» glissement parallèle aux fihres. à s<>c... o, 'JS o,()'.

Cuir sur fnute polie, à sec 0.10 »

» surfaces grasses 0.V.0 »

Cuir sur chêne, à sec o.îo o,4')

» surfaci'S mouillées o.'îo <^.7)

Corde ueuAc sur fonte polie 0,08 » ^

» sur chêne o.îo o,So

Caoutchouc sur sol moyen, sec » o.lio

» humide n o, >o

» houeux » 0,10

131. Considérons un .svstènie de corps solides frottant les uns sur les autres et sur des ol)sla('les extérieurs. Pour qu'une position soit une position d'équilibre, il faut que l'on ])uisse détei'uiiner en lous les points de contact dfs iM-actions satisfaisant aux équations universelles, comme il a été expliqué au n" ll27, et. en oiitic, en ciiacjue point, à linéj^alité

y" d(}si^nant le coefficient de irottcnicnt au repos en ce p<iiiil.

Réciproquement, si l'on peut faire une telle délerminalion, on admet qu'il j a éqiiihhi-e ( ' ). (On peut démouircr, dans des cas

(') Ceci suppose; toutefois que les liaisons sont telles que lnul rouienicul ou pivo- Icmenl est inipossihie. Mais il y a des cas où il n'en esl pas ainsi et l'on ne pcul iilors affirmer ré<)uiiii)re, mais seulement l'absence de ^.'iissemcnt. Il faut pousser la question plus loin el faire intei'veiiir ii/s Inis du frot Iciinrit di- roideriniit ou dr pivo- Krn.Tit (W' 13.". l'i i:!G).

STATIQUE. l4f)

simples, (jiie loul mouvemenl esl impossible. Mais, en général, on i'onsidère ceci comme un résultai dexpérience.)

Quand il j a froUement, les inéi;alilés telles que (6) remplacent les égalités <1> = o que donne l'absence de frottement. On en conclut que les positions d'équilibre sont déterminées |)ar des inégalités entre les paramétres dont dépend le système. Par suite, elles sont en nombre infini; il j a, comme nous l'avons déjà dit, des régions d'équilibre. La délimitation de ces régions peut être très compliquée, surtout (piand le système dé|)end de plusieurs j)iuinuètres. Dans le <'as d'un système à liaisons conq)lètes (n" 119), le |)ioblème est généralement plus sim[)le. Un seul mouvement est ])ossil)le; son sens seul n'est ]jas déterminé. On suit alors la marche suivante pour trouver les limiles de la région d'équilibre.

On suppose que le mouvement va se produire dans un certain sens. L'inégalité ((3) devient égalité et l'on a autant d'équations que d'inconnues. Par suite, on ])eut déterminer la position d'équilii)re limite à partir de laquelle le mouvement se produirait dans le sens considéré. On recommence ensuite un calcul analogue, en supposant cjue le mouvcnu-nt est sur le point de se produire dans l'autre sens et l'on obtient l'autre position limite. On peut ensuite vérifier qu'entre ces deux positions, on peut toujours satisfaire aux inégalités (6).

Cette méthode réussit en général. Mais il y a des cas où elle est en défaut. 11 peut arriver, en effet, que les positions d'écpiilibre soient comprises entre deux positions extrêmes, pour lescpielles le démarrage se produit dans le même sens (voir, par exemple, l'Exercice résolu n" 9).

132. Voici, au contraire, une méthode qui est toujours applicable et qui, au surplus, est souvent plus sim|)le. Elle con\ient dans le cas général d'un système déj)endant d'un nombre ([uclconcjue de paramètres et présentant un noml)rc (pielconque de points de contact pouvant donner du frottement.

Soient X, y, z, ... les j)aramètres dont dépend le système, Suj)posons qu'on donne, en chacpie point de contact, une \aleur déter-

minée au rapport ^> et soient \, \ . /, ... ces \ah'urs. Connaissant

\, ^ , Z, ..., on peut déterminer la position d'cMpiiHbre, car on se trou\e dans les mêmes conditions que <huis le démarrage envisagé

l5o CHAl'ITUK IX.

plu' liant. Soient

les valeurs cori-cspondanlcs de- paraiiièlrc'.. '^i /' /' • J . ••• ilésii;ii('nt 1rs cocffiiicnls de frollcmciit rclalil' aux (lillV'iciils points de contacl, les |)0.silions d'équilihre sont alors d('(inics |)ar les fornudcs ( -) et les inégalités

En particuliei'. s'il j a un seul ])aranié(rc cl un seul point de contact, on peut construire la courbe .r = F(\). Les positions d'étjuilibre correspondent aux arcs de celle courbe couipris entre les deux (I roi les pai'allèles X=zt:y".

133. TllAV AIL DES FORCES T)E FROTTEMENT. Ou peill vélifiei-, dans

le cas du IrollemenI de deux corps solides, (pie le lra\ail lohi! rref. des réactions e.-l toujours néi;alif ou nul. ainsi (pie nous I a\ons admis, d une manière ;;énérale. au n" l!2){. Comme au n" l^S, nous

pouxoiis .supposer S fixe. Il ne reste alors (pie le liavail de li. (pii est bien négatif, en vertu de la jucmière loi du frollemeni de i;lissemeul.

134. IliivKRsnui.iTii des .machines. — Dans inic iiiarliiiic. il y a une fiiroe moiricc 1^ et uni' force icsislantc O ( * ). Il y a, en unlrc dos forces de fn)lt(,'iiiciil 011 résistances passives. Il arrive assez. frér|iienuiicnl f(ue ces résistances 11e «lépiiiiliMil prat ii[iiriii(nl i|i:c di- la ror<'c (,). à la(|ii(llc elles sont oroporl iiinnelle->. I,e trasail ab-oriié- par le- iVollenienl P/- csl alors |)roporl ionnel an travail utile C,; (le la l'oree <). soil f/=/iê„. Si (E,„ désigne le travail moteur, on a. dan- la niarehi' direeie.

Dan- la marelie inver-e. les rôles de 1* el de O sont interverti- et Ton a

S„ = G,„ -H îr/.

<)<(i nous iiionlre rjue la réversiliilili- ncrl possible (jne-i U „ îr /•. e"esl-à-dirc si / I. Ceci s"iiilerprèle sinipleinent au moyen dn rendement de la machine

(') Ce(;i esl un seliéma. car il jjcut y avoir plus d'uiic force motrice ci plus d'um forc(; résista nie.

STATIQUE. l5l

eu niarclic dlicctt^ C<' rendement R est, en effet, éi;'al à — — = r- l.;i

ÎBm 1 -+- /.

conditiiin /, i é(|uivaut à R ^ -• Xous avons ddnc la rèule lies siniiile sui-

vante :

La niacltine est irrr\ersible si son rendement est plus petit que - •

Mais, il faul bien prendre i;arde que eet énoncé n'est léijitinie que moyennant Ihypodiè^c faite |)lus haut que les frottements ne dépendent que de Q. S'ils dépendaieni en même temps de P. coninie la force P qui équilibre Q dépend du sens dans lequel tourne la machine, ÎBf n'aurait pas la même expression dans les deux cas et notre raisonnement serait en défaut.

133. Frottement di-: uoimîment. — Soit un cylindre C en équilibre sur un plan P, auquel il est tanjient le long d'une génératrice G. Appliquons-lui un couple dont le moment M soit parallèle à G et croisse progressivement à partir de G. L'expérience montre que le cylindre reste en équilibre tant que M ne dépasse pas une certaine limite IM'. Aussitôt (|ue cette limite est dépassée, le cylindre se met à muler sur le plan.

Ceci nous prouve cjue les réactions du plan sur le cylindre ne peuvent pas être considérées comme étant appliquées aux différents points de G. car. s'il en était ainsi, leur moment résultant par rapport à G serait nul et. par ctmséquent, elles ne pourraient pas équilibrer le couple ci-dessus, dont le moment par rapport à G est ]\1 et peut varier de o à M'.

En réalité, le contact entre C et P a lieu suivant une petite bande admettant sensibli'ment G pour axe de symétrie. Les réactions sont appliquées aux différents points de cette bande et leur moment par rapport à G est à chaque instant égal et opposé à M. Elles peuvent être remplacées par des réactions appliquées aux différents points de G et par un couple de moment — M. Ce couple est appelé couple de frottement de roulement.

La limite M', qu'il ne peut dépasser sans cjue le roulement se produise, est sensiblement proportionuelic à la résultante N des réactions normales ou, si

l'on \eut. à la pics-ion exercée par C sur P. Le rapport h = -— ne dépend que

de la nature des surfaces en contact et porte le n<.m de coefficient de frottement de roulement ou encore {\r paramètre de résistance au roulement. Il est à remarquer que sa valeur numérique dépend du choix de l'unité de longueur, car son symbide de dimensions est L. < hi admet généralement qu'il est indépendant du rayon du cylindre (du rayon de courbure, si le cylindre n'est pas de révolution ). Mais, en réalité, les expériences n'ont pas été faites en faisant varier ce rayon dans de larges limites. Dans tous les cas, on a toujours trouvé pour h des valeurs très faibles vis-à-vis du rayon. Il s'ensuit que si les forces appliquées au cylindre ont des bras de levier du même ordre de grandeur que le rayon, il suffit d'une force très faible par rapport à N pour produire le roulement. C'est dans ce sens qu'on peut diri' ipie les frottements de roulement sont beaucoup plus petits que les frottements de glissement.

I')i CHAPITRE IX.

l'tini- nu cvlimlic eu hni- ridilant sur du Ixùs. // peut vnrit'r de o'"'".") à '2""". l'iMii uur roue lie véliicMilc. h \;irie (]<• lo'"'" à io'"'". suivant Trial de la chausscc. I^iiur les liillcs (Ml acifi- eiu()lovécs daus les hicyrlcllcs. h est, en luoycunr, égal à ()""",<>'!.

VM\. Frottk.ment de pivotement. — Soit un corps solide limité par une surface S. en contact avec un corps solide fixe limité par une surface S'. Supposons que S puisse tourner autour de la normale Oz au point de contact O. Appliquons-lui un couple dont le innmenl 'S\ soit parallèle à O :; cl croisse graduellement à partir de o. L'expérience montre que le pivotement ne se produit que lorsque M a dépassé une certaine limite M'.

On peut se rendre compte de ce phénomène de la manière suivante. Vu lien d'un point géométrique de contact, il y a, en réalité, toute une aire de contact A, ayant sensiblement 0 pour centre de symétrie. Les deux solides frottent l'un contre l'autre et, au moment du démarrage, on a, <ii chaque point P, une force de frottement obéissant aux lois ordinaires du frottemenl de glissement. Si l'on prend une petite aire û?S environnant P et si l'on appelle n la pression normale par unité de surface en ce point, celle force de frottement est égale àfn.dS ; eu outre, elle est opposée à la vitesse que va prendre P, donc perpendiculaire à OP. Son moment par rapport à Oz est fnr.dS, en appelant /• la distance OP. Le moment résultant de toutes les forces de frottement analogues est précisémeni le couple opposé à M : on ra|)|jelie le couple de frottement de pivotement. Il est égal à f(I.nr.dS ). Toutes choses égales d'ailleurs, il est donc proportionnel à /". Si la pression n était uniforme, la somme entre parenthèses serait égale à N— — ^ j on appelant N la pression totale et S l'aire

totale de A. Si A était indépendante de M, M' serait pro|)ortiounel à N. INlais, en réalité, lorsque N augmente, réerasemenl des surfaces devient plus grand, l'aire A s'accroît et M' augmente plus rapidement que s'il était proportionnel à N.

On voit toute la complexité de celle question du froiiement de pivotement, dont on |)eul dire seulement qu'il augmente avec la pression normale et qu'il est proportionnel au froiiement de glissement.

MM. l'^ouiLiiîHE relatif: foi'.ce <;entuifu(;k. - Il uiiivc (jiirh|ii(>l()is (jiK-, les toi'ces élanl données ])ar rapport à un eerlain trièdic ilc rc'IVrcnce T, on demande les positions d'éfpiililjre par ra|)porl à un aulre Irièdre T', de tnoiivenienl (;onnu par iii[)p(>il au |)reniier. Un Ici équilihre csi appelé ('quilihre rehtlif.

]Sous avons vu (n" 18) (\uv le cliaii^cinenl de Irièdre de référence exi;;(', en i;én(''ral, (pion a|)pli(pie à eliafpic poini M, de niasse m, deux lorccs nouvelles, (pic ikmis avons a|>pcl(''es la foi ce cVciilidirleiiifiil cl la lorcc de (Joiiolis. Mais, dans le cas parliculicr où le

STATIQUE. l5S

poinl jM (loil rester au repos par rapport à T', la force de Goriolis est nulle el il ne subsiste cpie la force (l'entraînement, ce qui simplifie considérahlcmcul le prohléuie.

On peut (Tailieurs le traiter directement,, sans faire intervenir la

composition des accélérations. Soit v le vecteur accélération du point M, supposé en équilibre relatif, dans son mouvement j^ar rapj)ort à T, cest-à-dirc, en somme, son accélération d'enlraînemenl.

Siy" désigne la force relative au triédre T qui lui est iq»|)li(piée, on a ( 9) f = /«y ou j — m y = o.

On appelle yb;*ce cVinerlie le vecteur y} = — /«y, c'est-à-dire, en somme, ce que nous avons ap[)elé force cV entraînement au n" 48. L'égalité (9) s'écrit, avec cette convention,

KO) f^J)=o.

La condition cV équilibre relatif d' un point e/, pat' suite, d'un système, s^obtient donc à la manière habituelle, à condition d'ajouter à toutes les forces données les forces cV inertie d^ entraînement.

Un cas j)articulier 1res sim[)le est celui où le mouxcnu'nt d'entraînement est un mouvement de translation . Les forces d'inertie sont alors toutes parallèles et ])r()porti()nnelles aux masses. Dans l'application des équations uni\erselles, on [)eut les remplacer par leur résultante, qui est la force d'inertie du centre de graxité, où l'on supposerait concentrée toute la masse du système.

138. Un autre cas, moins sim|)ie, uuils très important dans la prali(jue, esl celui où le moiiveuient d'entraînement est uni' rotation uniforme autour d'un axe fixe. Si P désigne la j)roj('ction de INI sur cet axe et si (o désigne la vitesse angulaire, on sait (pie l'accélération

d'entraînement eisl (o-MP; donc, la force d'inerlic esl ///co-PM. On \''A\\\^v\\i'\\\ force centrifu<:e. (^est une répulsion de l'axe proporlionnclie à la masse, à la dislance à l'axe el au carre- de la \ilessc angulaire.

Itésultanle des forces rentrifi(ires sur un corps solide. — Gonsidéions

• ji ciiai>ithi: i\.

tou> les j)iiiiil< iM siliK-s (laii^ tin inrmr |)I,in |)er|)ciuli(ul;uie à \';\\r () z. Poiiitous ii's pitiiils. l' est le iiièrnc et les forces eentrirui^cs ([iii leur sont appliquée>

ont une résnltanlc égale à i<)-'^[j7i PM ) = w^ ,j^ p o- en appelant [j. leur ina<-i' totale et ,i,' leur centre tic giavilé. Si !(>« points tels que .^ sont distribués nim-

porte couirnent. les forces lo- 'x P ir n'oni pas de résultante. Mais, si ces points sont tous ilttns un nicnir plan arec Oz. n- (|ui arri\c. |)ar exemple. >"il cxistf un plan de syméiric cou tenant cette droite, les forces en qu(;stion sont i)aialléles et admettent une résultante égale à leur somme algébrique, soil

o>''I.'xP^= (o^.M.OG.

en appelant AI la niasse lolale du corps solide. G son centre (le i;ravilé et O la projection de ce point sur O^. Autrenu^nt dit, la résultante est é^^ale à la force centrifuge qui s'exercerait sur le centre de graillé, si toute la niasse était concentrée en ce point. Mais elle n'est pas nécessairement appli- <iuée en G. Pour qu'il en soit ainsi, il faiil et il suffit ipie l'on ait

en prenant OG pour axe îles x. Ceci a lieu, en particulier, si le corps solide admei uu plan de symétrie perpendiculaire à Taxe.

Si les dimensions du corps solide sont petites par rapjio't à sa distance à Vaxe, les forces centrifuges sont sensiblement parallèles et proportionnelles aux masses; elles ont donc pour résultante la force centrifuge du centre de graillé.

139. Statiquj:: du point. — Nous allons niiiiuh'naul passer en tr\ ik; (jii(l([ii('s cas pari icii licfs siin[)l('s, ({iii se roiicoiiireial dans les a|)|)licali(tns.

\()iis coinincncci'oiis par examiner le cas où le ,s>slènic se rédiill à lin point {)laeé dans un eliainp de forces délerniiné. Si le |)oinl est ld»re. les positions d'c'ujii ilihre soni les points où la force F est nulle In" ll8j. Leurs coordonnées st- calciileni en annulant les trois coin- |)Osanles de celle force el en résolvant 1(; svslcine obtenu par rapport à X. y. z.

Si le point est i^êné. l()rs(|ii'il est en ('•(piiUhre. la li'aclion (;sl éji;ale

et oppos(''e à la force V donnée. Si donc il n v a |)as Irollemeiit, on a

le- positions d eipiihhre en clierc liant le>- points pour lesrpiels I'" esl normale à la eoiiioe ou à la surface, sur la(|uelle le point matériel est assit jet ti à iest(;r.

S il j a frolleinent. le rapport de la eomposanle tatii;entielle de I"

STATIQUE. l5')

à sa com|)os;inte ndimale doil être intérieur an coclficienl de froltemcnt/. Il revient au même «le dire ([iie L'angle que fait F avec le plan normal à la courbe ou avec la normale à la surface doit être inférieur à /'aingle de rnoTTEAiENT (an<;le doni la langenlc esl J). Celte oondilion détermine les arcs ou aires d é(iuHibre.

140. Corps solide ayant un point fixe. — Les forces F données et la réaction R du point fixe O doi\('nl satisfaire aux conditions uni\erselles. En particulier, le moment |)ar ra[)port à O doit être nid. Or, le moment de R est nul; donc, il doit en être de même du moment résultant des forces F. Si celte condition esl remplie, il ne reste plus qu'à prendre R éi^ale et opposée à la somme i;éom(''trl(jue des F. Donc :

THÉORi-:\iE. — Pour qu'ily ait équilibre^ il faut et il suffit que le moment résultant dés forces données par rapport au point fixe soit nul.

11 re\ient au même de diie que ces forces doi\enl admettre une résultante passant par O. Cette résultante n'est autre (jue la réaction (ou pression) du corps solide sur son appui.

141. Corps solide ayant un axe fixe. — Prenons cet axe pour axe des ;. les autres axes étant cjuelconques. Nous avons des réactions distribuées entre les différents points où S ^'appuie sur O:;. Elles doivent former un système nul avec les forces F données. Comme elles ont un moment nul par rapport à O-:?, le moment résultant N des V par rapport à cet axe doit être également nul. Si cette condition est remplie, S est en équilibre, comme le montre, par exemple, le théorème des travaux virUuds. On peut chercher à déterminer les réaclions.

Supposons, par exemple, qu'il n'\ ail ([ue deux points d'appui, <jui soient l'origine O et un point O', de cote h. Soient X', Y', 7J les composantes de la réaction de O, et X", \\ /' celles de la réaction de O'. Soient enfin \, ^ , Z, L, M, o les (-oordonnées du système des F. On doit avoir

(12) /tV"=::L. //X"=— M.

iSf) cuAi'iTUi: IX.

On aura X" et \ ' par (12), puis \' et \' par (i i). Mais on ne pourra pas calculer séparément Z' et Z"; on connaîtra seulement leur somme algébrique.

L'indétermination est encore plus grande lorsqu'il j a plus de deux points d'ap])ui. La Statique pure est impuissante à donner la distril)utu)n des réactions; il faut l'aire appel à des iiypothèses jiarticuliéres ou à la tliéorie de rélastlcité.

Par exemple, si, comme il arrive ordinairement dans les machines, la liaison est réalisée au moyen de deux tourillons munis dépauleîuents destinés à empêcher les glissements longitudinaux, il n'y a jamais qu'un seul de ces épaulements qui entre en jeu, suivant le signe de Z. Il en résulte qu'une des composantes Z' et Z" est nulle et, par suite, l'autre est égale à — Z. Si Z = o, les deux composantes sont nulles.

142. FnoTTKMKNT DES TOURUJ.oxs siit ].K • coissiMiTS. — Daiis la pialiqiio. Taxe a loiijnurs une épaisseiu- finie ri il n'est pas permis de supposer que les réaelions sont appliquées en diUérenls points de la ligne géoméirique O^; de sorte que les conclusions qui ])ié(èdent ne sont que des conclusions théoriques approximatives. Nous allons reprendre la question de plus prés, en nous bornant au cas de deux tourillons et en supposant Z = o.

Chaque tourillon louche -on coussinet le long d'une giMiérat rice. Nous admettrons f|ue les réactions ont une résultante appliquée en un point M de la section droite moyenne. Celle résidlailtc sera d'ailleurs dans le |)lan de cette section, en vertu de rhvpothèse Z = o. ain-i (|ue nous Pavons exj)liqué à la fin du luwnéro précédent.

Les équations (11) cl (12) sont toujours valables et nous donnent les composantes des deux réaelions, que nous pouvons donc considérer c(unme eonnucs.

Considérons d'abord /e cas théorlgnc où il 11 y aurait pas de frottement entre les Ifiurillons et les coussinets. Cliaqu(? réaction doit être normale et, par conséquent, le rayon MO, par exemple, doit être dirigé suivant la réaction en Al. Celte condition détermine ('Nidemmenl chaque point de contact. En oulre, on \(iil (|ue le moment (le> réactions pai' rapjiort à <*; (^sl nid. I^a condition d'équilibre est donc encore N = o. ((imine au n" MI.

Supposons mainlenani qu'il y ait du frol liinciil .

Oeeupons-nous du tourillon O. Appelons P la réacl ion correspondante cl , pour >implifier les caleul».. prenons l'axe des x parallèle à cette réaction et de sens contraire. Soit alois 7. l'angle polaire du point de coulaet M. Les composanlc noiniale cl lau^enl i(dlc d(,' la iiai 1 ion -ont l'eo^iz et I' sin 7, en orientant la noiniale dan> le sens i\U) ei la laiigente par l'angle |)olaire a -!- — • Leur rap])oil laii^:'/ d(pit (-i re eoinpiis eut re — f c\ -V-f, en di'signant par /"le

STATIQt'E.

coefficient de frottement. En (nitic, le momeni de P par rapport à O:; est /■l*sina, /■ désignant le rayon du tourillon.

On verrait de même, pour le tourillon O', en a|)pelanl a' l'angle de la direc-

FJg- 7-

tion opposée à P' avec O'M', que le rapport tanga'doit être compris entre — f et -+-/' et que le moment de P' par rapport à O^ est /-'P'sina'. Le moment résultant des réactions par rapport à Qz est

rP sin 7. -i- r'P' sina' ;

la condition d'équilibre pour une position déterminée des tourillons est donc

(i3 ) N = — (/-P sina -t- r' P' sina').

Si l'on appelle cp et o' les angles de frottement, les angles a et a' doivent être respectivement compris entre — cp et -ho et entre — ©' et -l- o'. On doit donc avoir

(li)

( /■ P sincp -H r'P' sincp') < N < (rP sin 9 -1- /-'P'sino').

Si cette double inégalité est satisfaite, on peut toujours trouver des angles a et a' satisfaisant à (i3) et inférieurs aux angles de frottement en valeur absolue (i). On peut, par conséquent, trouver un système de réactions satisfaisant au\ équations universelles d'équilibre et aux lois du frottement. Donc, il y a équilibre (n° 127).

Si, au contraire, N dépasse, par exemple, la limite supérieure que lui assigne l'inégalité (i4). il est impossible que les angles a et y! soient respectivement supérieurs à — 9 et à — ç'. Or, si a < — 0, le tourillon O se met à glisser sur son coussinet; la réaction obéit aussitôt aux lois du frottement en marche; donc y. devient égal à — ç (ou mcuK; à un angle algébriquement plus grand.

(') II y a niênie une infinité de solutions, de sorte que la position que prennent les tourillons sous l'action de forces données ne peut être entièrement déterniince par la Statique pure. On peut y ariiver en taisant intervenir la torsion élastique de Taxe.

l58 CHAI'ITIWC 1\.

si le coefficient de fnitlement au départ est plus grand que !e coefficient de frottement en marche). Mais alors, a' est nécessairement < — ç' et le deuxième tourillon glisse également. Le glissement a lien dans un sens tel que la vitesse de glissement en chaque point de contact soit opposée à la force de frottement; dans riiypotliése actuelle, la rotation a li<u dans le sens positif. Elle aurait lieu dans le sens négatif, si N était |dus petit que le piemier membre de(i4).

En résumé, les choses se passent de la manière suivante. Supposons que le couple N croisse d'une manière continue, à partir de zéro. Au début, ou peut ailmellre que les angles a et a' sont nuls ('), comme cela doit être quand il n'y a |)as frottement. Puis, chaque tourillon se met à rouler sur son coussinet , de manière que y. et a' deviennent négatifs et augmentent en valeur absolue. A un certain moment, l'un de ces angles, par exemple a, atteint la valeur — o. Le tourillon corres|)ondant se met alors à glisser, son point de contact M demeurant lixe sur le coussinet, l/aulre tourillon CDUlinue à muler jusqu'à ce que N ait atteint sa liiuile supérieure. A ce momeni, a' atteint la valeur — ç' el le deuxième tourilhjn se met aussi à glisser comme le premier.

1 i3. Coups solide reposant si r u\ plan kixi;:. — Le contacl a lieu en un cerlaiu nombre (ini ou infini de points. On appelle hase de sustentation la plus petite aire convexe renl'ernianl tous eespoints. Elle esl limitée par une ligne constiluée par des points de conlaet ou par des segments ajanl pour (ixtrémités des poinLs de conlaet. Elle peut S3 réduire à un segment ou à un point, dans les cas particuliers où les points de contact sont tous en ligne droite ou bien réduits à un seul point.

Supposons d'ahord qu^ii n'y ail pas Jiollenienl. Toutes les réactions sont normales au plan et dirigées du côté où se trouve le corps solide S. Elles admettent une résultante jouissant de la même propriété et appliquée en un point qui appartient certainement à la hase de sustentation. Cette résultante doit former un système nul avec les forces F données; donc, ces dernières doivent aussi admettre une résultante 11 normale au plan^ perçant celui-ci en un point O appartenant à la base de sustentation et diris^ée rers la région où ne se trouve pas S. Récipro(piemeiit, si cette eondil ion est remplie, on peut toujours trouver trois j)oints de contact formant iiii t.'iatiglc comjirenant () à son inlc'-rieur ('-'); puis, déconi|tos('r II en

(') V.n réalité, cela ne résulte pas (Je la Statique pure, mais de réluile de la torsion de l'ave.

( ■) .Si la hase «le sustentatioa est un segment, on chercliera sciilciiienl dnux |ioinls <Jc contact, entre lesquels se trouve <). .

trois forces parallèles appliquées aux sommets de ce triangle. En prenant enfin les forces op|)os«''es, on obtient un système de réactions formant un système nul avec les forces F et, par conséquent, il v a équilibre. Quant à la détermination effective des réactions véritables, elle ne peut se faire que si le nouibre total des points de contact est égal à trois (deux, si les points sont en ligne droite). Sinon, la liaison est liyperstatique; il faut faire intervenir l'élasticité.

lii. S'il y a frottement, avec un coefficient de frottement unifoinie dans tout le |ihin, (in petit seulement aflinner, quand il y a équilibre, que cliaque léai'hdii fait iiMi: la normale au plan 1111 angle inférieur à l'angle de frottement, ^lais ces réactions n'admettent pas nécessairement une résultante. Prenons la résultante .\ de leurs composantes normales. Elle est appliquée en un certain point O de la base de sustentation. Faisons maintenant la réduction en O des composantes tangenticlles. Nous obtenons une force de frottement 4» et nn

couple C qui est le couple de frottement de pivotement ( n" 136). Le rapport —

doil être inférieur au roefiuient de frottement /', car. si l'on transporte toutes les réactions au point O, elles sont toutes intérieures au cône de frottement (cône de sommet O. dont l'axe est la normale au plan et le demi-angle au sommet langle de frottement) et par suite aussi leur somme géométrique. Quant au couple G, on peut remarquer que la réaction appliquée en un point M situé à la distance r du point O a un moment par rapport à O nécessairement compris entre — fnr et -\-fnr, si n désigne sa composante normale. Donc. G est nécessairement compris entre — f.I.nrel-^f.I.nr. La somme Snr dépend de la distribution des réactions normales entre les différents points de contact; on peut la désigner par oN, p désignant la moyenne des distances r affectées des coefficients n. moyenne nécessairement comprise entre la pluspetite et. la plus grande de toutes ces distances. Dans ces conditions, on peut affirmer

que ^ doit être compris entre — /p et -i-Jp-

Si nous revenons maintenant aux forces données F. on peut toujours les réduire à une force unique I^ appliquée en un certain point 0 du plan et à un cou|)le !' dont le moment est perpendiculaire à ce plan. (Le point O n est autre que le pôle du plan par rapport au complexe linéaire attaché au système des vecteurs F; cf. t. IL n" 12o. 1 D'après ce qui précède, il faut, pour qu'il puisse y avoir équilibre, que le point O soit intérieur à la base de sustentation et que R fasse avec la normale au plan un angle inférieur à l'angle de frottement. Quant au couple T. qui doit être opposé au couple C, on sait seulement qu'il doit être inférieur en valeur absolue à une certaine limite, qui dépend de la distribution des réactions normales, mais dont on peut dire toutefois qu'elle est proportionnelle à / el aussi à N, si l'on fait varier proportionnellement t©utes les réactions normal.^s.

Le seul ca« simjde est celui où les forces I'' ont une résidtanle

l6o CllVl'ITUE IX.

unique R. La seule comliliou d'équililu'c est alors que celte force soit (livifiée vers le plan ^ le perce à r intérieur de la hase de sustentation et fasse a^'ec la no/ maie un ansle inférieur et l'angle de frottement. Si eette condilion est renî|)lie, on |)eul trouver, comme dans le cas du plan j)oli, trois réactions parallèles ayant pour résultante la force — R et, par conséquent, il y a équilibre (').

Il est à remarquer que la condition d'équilibre, dans le cas d'une seule force R, ne dépend que de la direction de cette force et nullement de sa grandeur. Sicile est remplie, l'équilibre persiste si grande que soit la force. C'est le pliéuomène de \arc-houtement .

l^o. Remarque. -- Il est facile de vérifier que, dans tous les problèmes examinés aux n*^* 1 iO à 143, le nombre des équations indépendantes des réactions est, lorsqu'il n'y a pas frottement, juste égal au nombre des paramètres dont dépend la ])osition du corps solide.

1 iO. ^»oTio>s SUR l'équilibre dks fils. — Un fil est un milieu continu assimilable à une ligne géométrique. On dit qu'il est i ne.rtensihle., si la longueur qui sépare deux quelconques de ses points est iuvariabl(\ Dans la pratique, un tel fil n'existe pas, car, quelle que soit sa nature, il s'allonge toujours un peu quand on le tend. La théorie de l'élasticité tient compte de cet allongement. Nous le considérerons ici comme négligeable.

Considérons un fil AB et soit M un de ses points. L'arc Mlî exerce sur l'arc MA certaines réactions, dont nous ne savons rien a priori. Oudil (pie le fil est parfaitement flexible lorsque ces réactions se

réduisent à une force unicpie T appiiqiK'e au point iM (-). Inversement, l'arc MA exerce sur MB la force — I .

(') Les réactions vérilal)les ne sont pas nccessaircnient les réailions (iclives ainsi «iélermiiiées. lîn parliciiiier, on ne peut affirmer iftir pyrallc'lisiiu' ipii; lnrs(|ue l"'>n se trouve à la limite de l'équilibre, c'est-à-dire au morucnt (ji'i le ylissciiicnl \a se produire. Ce glissement ne peut iTailIcurs être qu'une translation, sans ((uoi il \ aurait un couple de pivotement, qui serait le moment résultant des rcactiims i)ai rapj)ort au centre instantané de rotation (cf. n° 13(j).

( • ) Cela revient A din; que l'arc; Mtî, considéré «(imiiu' nn rorps solide, peut pivoter lilircmcnt d.ms toutes les ilii cri ions autour du point M. (|ii;ind on consi<lére l'arr MA comme fi\c. Auitin couple (de flexion cA de torsion j ne s'oppose à '<' pivotement. Hans \?. pialique, Cela n'est jamais n'alisé rigoureusement; un 11! ;i toujours fie la raideur.

STATIOUE. l6l

Considérons d'abord le cas simple où les seules forces exl(''rieures

appliquées au lîl sont une force F appliquée en A et une force F' appliquée en B. D'après les conditions universelles d'équilibre, ces deux forces doivent former un système nul; elles sonl donc égales, dirigées suivant la droite AB et de sens opposés.

Considérons maintenant l'arc AM. Les forces extérieures qui lui

sont apj)liquées sont F et la réaction T. En vertu des conditions universelles d'équilibre, nous voyons comme précédemment que T doit

être dirigé suivant AM et égale et opposée à F. Comme ce raisonnement est valable quel que soit le point M choisi sur le fil, celui-ci est nécessairement rectiligne. En outre, la réaction T est dirigée suivant le fil; elle est constante et égale et opposée à la force qui s'exerce à l'extrémité A; on l'appelle la tension du fil.

Théoriquement, nous ne savons rien sur le sens de cette tension. Mais, l'expérience la plus vulgaire nous apprend que, pour tendi^eun

lil, il faut tirer et non pousser aux deux bouts. Autrement dit, F doit

être dirigée dans le sens BA et, par suite, T dans le sens MB. La tension exercée par MB sur MA doit èlre positive^ si l'on oriente le lil de A vers B.

Le cas particulier que nous venons d'examiner n'est jamais rigoureusement réalisé, car un lil est toujours soumis à d'autres forces que celles qui s'exercent à ses extrémités, (juand ce ne serait qu'à son poids, qui est réparti tout le long du lil. Toutefois, dans la pi'atique, il arrive souvent qu'on s'en approche beaucoup. 11 en est ainsi, par exemple, lorsque le poids du fil est négligeable vis-à-vis des forces F et F' exercées aux extrémités. Dans ce cas, les conclusions précédentes sont applicables même si le fil est en mouvement, pourvu que les accélérations de ses différents points ne soient pas très grandes par rapport à l'accélération de la pesanteur. On peut, en effet, appliquer encore les conditions universelles d'équilibre, à condition d'introduire les forces d'inertie (n" 137). Or, celles-ci sont négligeables, tout comme le poids, puisque le rapport -|- n'est pas très grand.

^'47. Cas i:énéral. — Envisageons maintenant le cas général oîi chaque élément M\i' (lu ni est soumis à une force proportionnelle à sa masse ou, ce qui revient au même, à sa longueur ds, soit <l>t/s. Le vecteur <!' est supposé connu Haau. — Cours, III. II

CHAl'ITRK IX.

en chaque point, 1\1 et peut d'ailleurs varier en i^iandeur et en direction, d'un point à l'autre. Nous désignerons ses composantes suivant les axes de référence par X, Y. Z. Quant au point d'application de la force élémentaire 'P ds, nous supposerons seulement qu'il est quelque part sur l'arc MM'. Gela posé, écrivons les condilions universelles d'équilibre pour l'arc MM'.

Les forces extérieures sont <I>r/5, la réaction T' de M'15 sur MM' et la réaction — T de AM sur MM'. Prenons d'abord le moment résultant par rapport

à M. Le moment de — T est nul; celui de 'i> ds est infiniment petit du second ordre par rapport à ds, car la force et le bras de levier sont chacun du premier

ordre; donc, le moment de T' est aussi du second ordre. Comme la force T' est finie (puisqu'elle est égale et opposée à la somme géométrique des forces appliquées sur AM'), on en conclut que son bras de levier est du second ordre. Or, la tangente en M' est la seule droite qui passe à une distance de M infiniment petite du second ordre par rapport à l'arc MM' (t. II, n" 330). Donc,

T' est tangente en M' au fil. Ceci est vrai quel que soit M'. Donc, la réaction de MB sur MA est, en chaque point, tangente au fil. Nous admettrons, de plus, comme un fait d'expérience (cf. n" I46), qu'elle est dirigée du côté de MB, c'est-à-dire suivant la demi-tangente positive, si l'on oriente le fil de A vers B. Nous l'appellerons la tension du fil au point M.

Ecrivons maintenant que la somme géométrique des forces appliquées à MM' est nulle :

*.r/5-FT'— T = o

ds

Comme ds est infiniment petit, le second tenue n'est autre que la dérivée géométrique du vecteur T par rapport à s. On a donc

ds

Telle est la condition d'équilibre, qui doit êtie vérifiée tout le long du fil. On a, en outre, des conditions au.r limites, qui sont que la tension en A

doit être égale et opposée à la force F et que la tension en B doit coïncider

avec la force F', ainsi qu'on s'en rend compte, en supposant que l'arc MM' a une extrémité en \ ou in B.

«TATlOLi:.

148. L'égalité géométrique (ij) équivaut, comme on sait, à trois égalités algébriques obtenues en la projetant sur trois axes. Si l'on projette sur les axes de référence Oxyz, on a, en appelant a, b, c les cosinus directeurs do la demi-tangente positive et T la grandeur de la tension en M,

(Is