TA

ds

d{Tc) ds

Ce sont les équations différentielles qui permeitent de déterminer la forme que prend le fil dans- sa position d'équilibre, ainsi que la tension en chaque point.

On peut aussi projeter sur les axes de Frenet (t. il, n" 324), comme nous ■l'avons déjà fait en Dynamique (n° 38). Si l'on remarque que

ds ds

da dT ds ds

en appelant (a', //, c') les cosinus directeurs de la normale principale et appliquant une formule de Frenet, on voit que les équations (i6) équivalent aux suivantes :

dT ,

en appelant <Pt, 'l'/i, 'i'h les projections du vecteur <1> sur la tangente, la normale principale et la binormale.

Ces équations sont appelées les équations intrinsèques d'équilibre. On remarquera leur analogie avec les équations de même nom de la Dynamique.

x\PPLICATIONS DE LA STATIOUE.

Nous allons, dans ce Chapitre, appliquer les méthodes générales exposées au Chapitre précédent à quelques problèmes simples, qui se présentent couramment dans la pratique.

149. Levier. — Un laner est, en jirincipe, un corps solide pouvant tourner autour d'un axe fixe O et soumis à deux forces P et Q perpendiculaires à cet axe et appelées l'une puissance^ l'autre résistance.

Si a et b sont les bras de levier, c'est-à-dire les plus courtes dis-

tances OA et OB {fig. ()), la condition d'équilibre est (n" 1 ij ) (i) Pa = Q6,

les forces devant, en outre, être dirigées dans des sens contraires, de manière que leurs moments par rapport à O soient de signes différents.

On peut aussi obtenir l'équation (i) par le théorème des travaux virtuels. Si le levier tourni! de d-3^ le point A a un déplacement suivant P égal à «''/'-p; le travail élémentaire de la puissance est Vcid's. De même, celui de la résistance est — Q/)d'Si, en supposant Q dirigée

APPLICATIONS DE LA STATIQLE. l6)

dans le sens opjxjsé au sens de la rotation. En annulant la somme de ces deux travaux et divisant par di^ on retrouve bien (i).

Habituellement, le levier est c/roil, c'est-à-dire que les points A, B, O sont en ligne droite, les forces P et Q étant parallèles. On distingue alors trois genres, suivant la position de O par rapport à AB. Mais, cette distinction n'a pas grande importance.

Lorsque les points A, B, O ne sont pas en ligne droite, on dit que le levier est coudé.

loO. Balance. — Une application très importante du levier est la balance^ qui sert à comparer les poids et, par suite, les masses de deux corps quelconques.

Citons d'abord la balance romaine ifig- lo). Le point O est entre

A et B. Le [)oids P est celui d'une masse constante, qui peut glisser le long du jléaa OD. Le poids Q est celui du corps à peser. Soient enfin Q' le poids de la balance quand on supjn-ime P et Q, et G son centre de gravité. En appelant a, 6, c les distances OA, OB, OC, la condition d'équilibi'e dans la position horizontale du fléau est

On voit que Q est une fonction linéaire de a. On en déduit immédiatement la graduation de l'appareil. On détermine le zéro en suj)priuiant Q, puis le [)oint lo, par exemple, en suspendant un poids Q de lo'^s. 11 \\y a i)lus ensuite qu'à diviser en parties égales.

loi. La balance ordinaire esl, en j)rinci|)e, un levier rectiligne. appelé fléau, dont les deux bras OA et OB sont égaux et dont le centre de gravité G est juste au-dessous du point de suspension quand l'aiguille est au zéro, xVB étant alors sensiblement horizontal.

l66 CHAPITRE X.

On suspend en A et en B deux poids P et Q. Tour que l'équilibre subsiste, l'ai-uille restant au zéro, il faut et il suffil que l* = Q. L'équilibre est dailleurs stable, car le centre de gravité est le plus bas possible (n" 120).

Cette théorie est très suffisante j)our les ])esées de la vie courante. IMais, pour les pesées de haute précision qui sont exigées dans les laboratoires, il faut voir les choses d'un ])eu plus près.

Bien que les constructeurs s'efforcent de les réaliser, les conditions supj)osées ci-dessus ne sont jamais remplies exactenuuit. Les trois couteaux A, O, B ne sont |)as en ligne droite et les bras OA et OBne sont pas égaux. Reprenons alors la théorie, en ne faisant aucune hypothèse.

Posons

(3) OA = a, 0\i = h,

OG

AOG = oc, HOG = [5.

Appelons P et Q les poids susj)endus en A et B et R le poids du lléau. Soit H l'angle de la verticale descendante Oc- avec OG, lorsque la balance est en équilibre sous l'action de ces poids, le plan étant orienté, par exemple, de 0.27 vers Oz {/ig- i i)- Ecrivons que le

momenl résullanl |)ar iap|)ortà O est nul; nous avons, en remaicjuaut que les angles polaires de OA, OB, OG j)ar rap|)ort à Ox sont respectivement - + 0 ^ a, 7 -^- 0 H- 'i, - + 0,

Va cos /- -\~ 0 - 7\ ^ Q/, cos /"- + 0 -}- [i) ^- W cos /^ + o] = o

ou

V a si II 1 0 — a ) -4- Q h si n ( 0 4- fj ) 4- li c sin 0

Telle est l'équation d'équibbre. On priurrail, pai- exemple, la résoudre par rapport à tangO.

APPLICATIONS DE I.A STATlQrE. l6

L'aiguille est au zéro quand la balance est vide, c'est-à-dire quand P = Q =: o. L'équation (4) nous donne alors 0 ^ o, ce qui était, du reste, évident a priori. On dit que /« balance est juste si l'aiguille reste au zéro lorsqu'on met des poids égaux quelconques dans les |)lateaux. Autrement dit, l'équation (4) doit être vérifiée identiquement pour f) = o et P = Q; ceci exige la condition

( 5 ) a sin a = ^ sin ^-j.

Si elle n'est pas remplie, on ne peut affirmer que les poids des deux plateaux sont égaux quand l'aiguille est au zéro. Pour éviter cette cause d'erreur, on emploie la méthode bien connue de la double pesée .

Quelle que soit la construction de la balance, on peut aftirmer que, pour des valeurs données de 0 et de Q, l'équation (4) n'a qu'une seule solution en 1^. Si donc on fait successivement deux pesées, en ramenant toujours la balance dans la même position (par exem])le, l'aiguille au zéro; mais, ce n'est pas nécessaire ) et en gardant le même poids Q dans le plateau B, on peut affirmer que, dans les deux expériences, le poids P aura été le même. Il suffit, dès lors, que la première pesée ait été faite avec le poids inconnu et la seconde avec des poids marqués.

loâ. Sensibilité. — La balance est d'autant plus sensible que l'aiguille s'écarte davantage du zéro pour une |)etlte augmentation donnée du poids P. par exemple. Pour calculer l'amplitude d^ de cet écart, différentions totalement l'équation (4) par rapport à P et à 9 :

(6j ^Posin(0 — a)-+- fPacos(0 — 'y.)-hQ6cos(0-^ ^)h- HecosOJ^/fJ = o.

Si nous supposons B ^ o (on fait les pesées en rameuanl l'aiguille au zéro), il vient

^'^-' d^ "^ H a cos X -H g «^ cos [i -t- H c *

Ce ra|)j)ort peut être considéré comme la mesure de la sensibilité. Si la balance était construite comme nous l'avons supposé au début,

on aurait a = fi = - • La sensibilité serait

l68 CHAPITRE X.

Elle sérail InHépendanle des poids P et Q ou, comme on dit, de la charge: elle serait j)roportionnelle à la longueur du tléau, inversement proportionnelle à son poids et inversement proportionnelle à la distance OG. Pratiquement, les angles a et 3 sont toujours 1res voisins de - et la formule {%) est encore à peu près exacte. Toutefois, pour une forte charge et si Rc est petit < comme on s'efforce de le réaliser pour augmenter S ), on peut dire que la sensibilité dépend de la charge ( ' ) ; de là vient la pratique de faire les doubles pesées en employant toujours la même tare Q, pour avoir une sensibilité constante.

133. Balance de Bobenal. — Dans la balance ordinaire, les poids P et Q sont, comme on sait, posés dans deux plateaux suspendus à des couteaux fixés en A et en B dans le fléau. Les forces P et () de la théorie précédente sont alors les réactions sur ces couteaux.

Dans le commerce, on utilise peu ce mode de suspension et l'on emploie plutôt la balance de BoheiKCil (/is'. 12 ). Les plateaux sont

Fig. 12.

au-dessus des couteaux. Mais, comme ils seraient en équilibre instable, on les empêche de chavirer et l'on assure leur horizontalité au moven du double parallélogramme articulé AOBB'O A'. Par con>tructlon, 00' est vertical; il en «^st donc (h' uiriiic dc^ tiges AA' et BB' rt, par suite, les platraux d<'m<'urent horizontaux.

On pourrait chercher la condition d'équilibre en ajjpliquanl hi méthode élémentaire (n" 127) à ce système de corjjs solides; mais, il est plus simple d'appliquer le théorème des travaux virtuels. Quand le parallélogramme se déforme, les déplacements verticaux des points A et Jî et par suite des centres de gravité des cor|)s placés dans les plateaux sont égaux et de sens contraires. Pour que le tra\ail virtuel

('j Kll'.- (Iirniiiue, quand la cliarge augiiienle. si les aniiles a el |i sont ai;;iis, com:iie il arrive g<'néralcmenl.

total de P et de Q soit nul. il faut et il vuffit que ces poids soient égaux.

loi. Bascule. — Elle se compose schématiqnrmcnt ^ fig- i3 l d"un

Fig. i3.

levier ABOC. dont le point fixe est en O. Au point C est suspendu un poids marqué p. En B et en A sont articulées deux tiges verticales BD et AA', qui s'articulent, d'autre |)art. la première en D avec le tablier DE sur lequel repose le corps à peser, la seconde en A' avec un autre levier A'O', de point fixe O'. Le tablier repose en E sur un couteau solidaire de O'A'. Le tout est construit de manière que, lorsque ABOC est horizontal, DE et A'O' le soient aussi.

Cela posé, appliquons le théorème des travaux virtuels. Donnons à AOC une rotation virtuelle de l'angle infiniment petit z. dans un sens tel que C descende, par exemple. Le travail virtuel de p est p. OC. î. Pour calculer celui du poids P, il faut connaître le déplacement vertical du point G. Ce déplacement doit être indépendant de la position du corps sur le tablier, si Ton ne veut pas que l'équation d'équilibre dépende de cette position. Pour cela, il faut etil>uflit que le tablier reste horizontal, c'est-à-dire que le déplacement vertical de D soit égal à celui de E. Or, le déplacement de D est égal à OB.î et il e>t dirigé vers le haut. Celui de E est le même que celui de E',

lequel est dans le rapport . \ avec le déplacement de A'. Or. le

déplacement de A' est égal à celui de A. soit ()\.£ et vers le

liant. Donc, le déjilaccment de E est ^. , .OA. ; et, comme celui

de D, il est dirigé vers le haut. Finalement, pour que le tablier reste

170 CHAI'ITHF, X.

horizontal, il faut el il suflit (jiie l'on ait

OB.ï