IT

169. Reprenons maintenant la question en tenant compte du frottement . Nous nous bornerons au cas (le plus simple) de la vis à filcl carré. Pour faciliter le laiii,'age. nous supposerons queO-sest la verticale flescendaute. Soit M un point quelconque du filet de la vis qui s'appuie sur l'écrou. Une petite aire environnaiil ce point «st soumise, de la part de l'écrou. à une réaction normale N et à une force de frottement I'^. Nous compterons N positivement vers le bas, c'est-à-dire lorsque la faee supérieuir du filet de la vis appuie contre la face inférieure du filet de l'écrou. Nous compterons F posilivemcnl vers le bas, de sorte que F sera négatif quand la vis descendra.

Cela posé, le système formé par les forces N, F, Q et par le couple G doit être équivalent iizéru. Projetons d'abord sur Oz; si l'on appelle / l'inclinaison

(les filets sur les sections droites, on a (34) Q = cos(.2:N-t-siiit.SF.

Kig. 28.

Prenons maintenant les moments par rapport à Oj; il vient, en appelant r le rayon moyen de la vis,

Posons (36)

G = /-(sinj.SN — cosf.SF).

EK

Comme chacun des rapports ^ doit être compris entrée et — y, il doit en

être de même de x. Si x atteint/^ la vis monte; si x atteint — /, la vis descend.

Divisons (35) par (34); il vient, en posant

sin i — X cos t cosj -(- 37 sin i

En outre, pour savoir sur quelle face appuient les filets, calculons SN ('); on trouve

(39) XN = Q(cosi'-i-^ sin/j.

Suivant que l'inégalité

(40) ^ > — col i

(') Celle quantité présente d'ailleurs de l'intérêt au point de vue de l:i résistance des filcls. En la divisant par la longueur totale des filets de l'écrou, on a rellorl normal par unilé de longueur de filet.

i86 ciiAPiTRi: X.

est ou n'est pas vérifiée, le contact a lieu sur la face supérieure otr inférieuredes filets de la vis.

170. Discussion. — L'égalité (38 | est identique à (jS) si l'on prend a = t — i. Nous sommes donc encore une fois ramenés à la théorie du pian incliné avec la même valeur de l'angle a que dans le cas du coin. Toutefois, la liaison étant acluelleiuent bilatérale, nous sommes obligés de considérer toute l'IiyperboliY dont nous n'avons envisagé qu'une branche au n° 165.

\ous avons à distinguer les mêmes cas qu'au n" 107.

i" ?' ■< Ç < — — ?. — C'est le cas II. 4". du n" 166. L'arc d'équilibre ai)par-

tient tout entier à la branche II; donc, la vis appuie sur l'écrou pai- la face supérieure de ses filets.

Les valeurs limites entre lesquelles )' doit rester compris sont données par es formules (Sa). En les multipliant par Q/-, on a les couples de démarrage, Cl et C2, qui sont respectivement négatif et positif. Si C > Cj, la ViS descend; si G ■< C], elle monte. Ce deinier mouvement ne peut être obtenu qu'avec un couple négatif. En particulier, si l'on annule C, la vis ne peut jamais remonter, si grande que soit la poussée Q; il y a aic-houtement par rapport à cette force. Ceci explique clairement le fonctionnement des vis de serrage., qui ne peuvent pas se desserrer d'elles-mêmes, mais seulement avec l'aide d'un tournevis destiné à produire le couple négatif Ci.

1° o < i < — — 'i). — Cas I, \''. La seule dilférence est que Ci> o. Il n'y a

plus arc-boulement jiar rapport à Q'. Si l'on supprime le couple, la vis remonte. Une telle vis ne peut servir de vis de serrage. C'est pourquoi les vis de serrage ont toujours un petit pas.

3** /> — — cp >- C5. — Cas L 3". Il faut considérer les deux bran(dies de- 1 '

l'hyperbole, comme le montre la figure -i^, c. Il y a équilibre lorsque C est > Ci ou < Co. Dans les deux cas, il y a arc-boulement par rapport au couple, c'est-à-dire qu'il est impossible de faire tourner la vis, soit dans un sens, soit dans l'autre, sans exercer une poussée Q. C'est le contraire de la vis de serrage. Si C est compris entre C] et — Qrcoit, la vis monte, le contact ayant lieusur la face supérieure des filets. Si C est compris entre — Q/-eotf et (^21 'a ^'^ descend, le contact ayant lieu sur la face inférieure des frlets.

4° - — (û < f -< Ci. — Cas 11, 3"; figure 2), c. Conclu-ions analogues aux

précédentes, avec cette seule différence que les couples (>i <t C^ sont tons

deux négatifs. Si C est nul, il y a équilibre quel que soit Q. Il y a donc arc-

houtement à la fuis jtar uipportau couple et par rapi>nrt à la poussée.

APPLICATIONS DK I.A STATIQUE. 187

171. RéauLATicuii DE Watt. — Les deux tiges OA, OB i fig- ag) peuvent tourner autour d'un ix\v O |)er[)endiculaire à leur plan. Elles

supportent à leurs extrémités deux boules égales M. N. Elles sont articulées, en A et B. avec les tiges égales AC et BC, lesquelles sont égaleuient articulées en C avec un collier, qui peut coulisser le long de O^cetquiest relié aux organes de la machine de telle manière que. suivant qu'il monte ou qu'il descend, le couple moteur diminue ou augmente. Enfin, tout le système tourne autour de Ox avec une vitesse angulaire m proportionnelle à celle de la machine.

Cherchons l'équation d'équilibre relatif, la vitesse to étant supposée constante. Néslioeons les masses des tiges vis-à-vis de celles des boules. Supposons enfin que la résistance opposée au collier C par les organes qu'il commande soit également négligeable.

Les réactions des tiges AG et BC sur C sont nulles, car leur résultante est nulle en vertu de la dernière des hypothèses ci-dessus. La réaction de OA sur AC est également nulle, parce que la réaction de C l'est et que la masse de AC est négligeable. Réciproquement, la réaction de AC sur OA est nulle et les seules forces, autres que la réaction de O, qui sont appliquées à cette tige, sont le poids ntg de la boule M et la force centrifuge /uw-.PM. Ecrivons que leur moment résultant par ia[)port à O est nul :

rngl sin a = m tu^ / siii a. / cosa,

en posant 0^1 = /. On tire de là

(40 »^os % = -^, •

l88 CIIVI'ITUE X. — APPLICATIONS I)K LA STATIQUE.

L'angle a n'existe que si <^'^>l/ y- t)n choisit /assez grand pour

qu'il en soil ainsi |)oui" la valeur de w qui correspond au rt'ginie normal de la inacliine. La formule (4i ) nous uiontre alors que si la vitesse augmente, les houles s'écartent, le collier monte, le couple moteur diminue et vice versa.