Un point pesant glisse sans frottement sur la courbe

x^o — shcpchçj, jK = 2cho.

L'axe Oy étant placé verticalement et dirigé vers le bas, on abandonne le point, sans vitesse initiale, à partir du point situé sur Oy. Calculer le mouvement qui prend naissance. Au bout de combien de temps le point s'est-il abaissé de i™?

27. Un point pesant glisse sans frottement sur une cycloïde, dont le plan est vertical et dont la concavité est tournée vers le haut. On l'abandonne sans vitesse initiale, à partir d'une position quelconque. Déterminer le mouvement qui prend naissance. Calculer la durée d'une oscillation. \'érifier qu'elle est indépendante de la position initiale. ( Pendule cycloïdal. )

28. Un point pesant glisse sur une hélice circulaire. Etudier son mouvement en supposant qu'il n'y a pas de frottement et que l'axe de l'hélice fait un angle quelconque avec la verticale, puis qu'il y a frottement, mais que l'axe est vertical.

29. Une tige tourne avec une vitesse angulaire constante o), dans un ])lan vertical, autour de son extrémité O. Un point pesant M glisse sans frottement le long de cette tige. On l'abandonne de 0, sans vitesse initiale, au moment où la tige est verticale et dirigée vers le bas. Etudier le mouvement de M sur la lige. Calculer la réaction et vérifier qu'elle est toujours dirigée dans le sens du mouvement de la tige. Quelle longueur doit avoir la lige pour que M la quitte avec une vitesse absolue horizontale et avant que la tige ne soit elle-même devenue horizontale? Montrer que l'angle que fait, à ce moment, la tige avec la verticale est indépendant de w et calculer sa valeur à un grade près. Calculer la longueur de la tige, en supposant qu'elle fasse 6oo tours par minute.

30. Une circonférence horizontale tourne autour de son centre, avec une vitesse constante, L n petit anneau pesant est enfilé sur cette circonférence. En le supposant primitivement au repos, déterminer le mouvement qui prend naissance, en tenant compte du frottement. Montrer qu'au bout d'un certain temps T, Panneau demeure li\.e sur la circonférence. Quelle est alors la valeur de la réaction? Calculer cette réaction pour une vitesse de 600 tours par minute et la comparer au poids de l'anneau, en supposant le rayon de la circonférence égal à 1™. (Calculer 1' dans la même hypothèse.

31. Un point pesant glisse avec frottement sur une circonférence, située dans un plan vertical. On l'abandonne sans vitesse initiale, à ])artir d'un point du diamètre horizontal. A quelle condition doit satisfaire le coefficient de frottement pour que le point jirrive au point le plus bas de la circonférence?

(Le calcul de la vitesse en chaque point se ramène à l'intégration d'une équation difTérentrelle linéaire. En tenant compte des conditions initiales, on détermine la constante et l'on calcule la vitesse au point le plus bas. Pour que cette vitesse soit réelle, il faut que

I — 2/-'— 3/e-/'^> o, ce qui exige que /".soit inférieur à environ o, j.)

32. Un point se meut sur une surface de révolution parfaitement pohe, sous l'action d'une force rencontrant Taxe de la surface. Montrer que le mouvement obéit à la loi des aires et qu'on peut intégrer par quadratures si l'on suppose, en outre, que la force dérive d'une fonction de la distance du point à l'axe. ( Prendre des coordonnées semipolaires. On intègre comme dans le problème des forces centrales.)

33. Mouvement d'un point pesant sur une sphère parfaitement polie. ( Pendule sphérique. )

31. Mouvement d'un point pesant sur un cylindre parfaitement poli, à génératrices verticales et de base (juelconque. Démontrer que la trajectoire peut être obtenue en enroulant sur le cylindre la parabole qui serait

décrite par le point, s'il était libre. \Projeter / =/?î.y sur la verticale et sur la tangente à la section droite. Si a désigne l'angle polaire de celte tangente dans JcOy, on doit avoir

x" cos y. -\- y" sin a r= o , ce qui donne /,/'=: o, en posant x' = il cosa et j' =: u sin a.

EXERCICES RESOLUS

1. Calculer l'influence de la diminution de la pesanteur avec l'altitude sur la portée d'un projectile dans le vide.

La pesanteur est, comme on sait, un cas particulier de la gravitation universelle. Le poids d'un corps est inversement proportionnel au carré de sa distance /• au centre de la Terre. Il en résulte que l'accélération de la pesanteur à l'altitude y est, en appelant R le rayon de la Terre,

Cela posé, il s'agit de calculer laccroissement de portée d\. obtenu en tenant compte de cette propriété, pour un projectile lancé dans le vide, avec la vitesse fo, inclinée de l'angle y. sur l'horizon. Nous allons indiquer deux méthodes, dont les principes, très différents l'un de l'autre, peuvent être appliqués au calcul des altérations produites par des Dertnrbations infiniment petites, dans un phénomène mécanique quelconque.

Méthode de l'accroissement fini. — Elle consiste à calculer la nouvelle portée et à en retrancher lancienne. Les équations différentielles (lu mouvement sont (*)

(') Nous admettons que la verticale reste parallèle à ellc-mènic bien que l'erreur qui résulte de ce fait soit du même ordre que celle que nous nous proposons de corriger. Nous en tiendrons compte seulement dans la deuxième méthode, qui donne des calculs beaucoup plus sinii)ics.

{)(') CHAIMTUE M.