a première nous donne (3) .r = (•„/ cosa

La deuxième sinlègrt; au mo\'en de l'intégrale des forces vives (') :

avec

(5) a-=:2i,'R — (^5 sin-a.

L'équation (/J) s'intègre par une quadrature, en séparant les variables. Pour éviter le radical, on est conduit à poser

(6) y = atangcp, y = — (c^ sin-a — 2^H sin^t^)).

En différentianl la seconde é([ualion et portant dans la première, il vient

dt ^ ^-7 — cos^ o do ;

d'où, en intégrant,

(7) t =z — ^^— ;^ (20 + sin 20),

en prenant pour origine des temps l'instant où cp = o, c'est-à-dire, en vertu de la première équation (6), l'instant du passage au sommet de la trajectoire (*). Cette dernière courbe étant visiblement symétrique par rapport à la verticale du sommet, la durée de trajet T' est égale à — 2^0, ^„ désignant l'instant du départ du projectile, obtenu en remplaçnnt, dans (7), o parla valeur déduite de

(8) « langQ r= J'y = Cjsina.

( ' ) La fonction de forces est — = -— — •

(*) l'^n annulant 9 dans la deuxième équation (G), on a la flèche

vl sin^a

»':, sin" a 2fr r.

en négligeant les puissances de — supérieures à la premicie. On a donc = — •

On obtient ainsi, en tenant compte de (5),

2 arc ta

/CrtSinaX r/c,, sinal

Calculons le développement de celte quantité suivant les puissances croissantes du très petit rapport

c^sin^a F

en nous arrêtant au terme du premier ordre. En appliquant les méthodes du Chapitre Mil du Toine I, on trouve, tous calculs faits,

(II) T'=t(i+|,/),

T désignant la durée de trajet non altérée. Laccroissement relatif T'— T dT

— — est donc donné par la formule ^T 4 4 F

Comme, d'après (3), la portée est proportionnelle à la durée de trajet, le rapport-^ a la même valeur.

xMéthode différentielle. — Soient (.r, y) les coordonnées non altérées

du point M au temps / et {x -\- ox, y -{- oy) les coordonnées au mcme

instant, quand on tient compte de la diminution de g et aussi delà

convergence des verticales. Si l'on néglige les puissances de 7- et de —

supérieures à la première, les composantes de la pesanteur sont (')