COS Q
(1) NC0S9 — PC0S0:=0, Nr^rP 1.
^ ' ' COS d
En opérant de même pour la sphère D, on trou\e
(2) N'sin9 — Qsinco^o, N'= Q ^^.
^ ' ^ ' sin U
Or, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la léaction. ou doit avoir N'-i- rs= o; d'où
coso ,^ sinca
^ ' COS 9 sin 7
d'où l'on lire
(4) tango = — yj- tango.
Telle est la valeur de & qui correspond à la position d'éqiiililtre.
Deuxième méthode. — Appliquons le théorème des travaux virtuels en écrivant que la fonction des forces est maximum (n° 120). Si :; et ;;' désignent les cotes de C et de D, cette fonction est
Or,
z::= X COS 9 + R sincp = (l{ + li') COS0 coso + const.,
:;'rr H' coso 4- j'sino =r — (R H- R') sin 0 sin o + const.; d'où, en négligeant des constantes additives, (.5) U 1= (R4- !'«') (QsinOsino — Pcos(9coso).
Ln annulant —— -, on retrouve (A).
dO ^ '
Cette métliode a l'avantage de nous renseii^ncr immédialemeiit sur la stabilité. Il suffit de voir si U est maximum ou minimum, en se servant, par exemple, de la dérivée seconde, U' := — U. En tenant compte de (4 ), on tiouve
sm 7
Comme, d'après (4), 0 est négatif, on en conclut que U",> o et, par
STATIQUE. l49
suite, U passe par un minimum (t. I, n° i'ih-). Donc, Véquilibre csL instable.
Pratiquement, cet équilibre est impossible à réaliser. Si l'on clierche à le produire, Tune des sphères glisse sous l'autre et vient reposer dans le fond du dièdre, dont elle louche alors les deu\ faces.
Calcul des réactions des plans OX et OY. — Si l'on projette les forces appliquées à la sphère G sur la perpendiculaire à DC, on a
A ces 9 — P bin ( o — 5 ) m o ; d'où
^^^pSin(c9-6)
COSÔ
On calcule de même
sin (© — B)
ÀnB
Comme vérification, la somme algébrique des projections de ces deux réactions sur la perpendiculaire à O; doit être nulle, en vertu des conditions universelles appliquées au système des deux sphères. Cela se traduit par l'égalité
Acoscp — Bsincp=:o.
En remplaçant V et B par les valeurs ci-dessus, on retombe sur l'équation (3).
5. Sur un plateau dUuie balance, se trouve un vase contenant un liquide au repos jusqu'à une certaine hauteur. Sur l'autre plateau, on met une tare., de manière que raiguille soit au zéro. On plonge dans le liquide un corps solide S et l'on rétablit l'équilibre avec des poids marques. Dans quel plateau doivent-ils être placés et quelle doit être leur somme?
Soit P le poids total du vase et du liquide, donc de la tare. Dans les nouvelles conditions, ce poids P doit former un système nul avec les réactions B du plateau et B' du solide S. Or, en \ertu du principe d'Archimède (•), les réactions B' ont une résultante verticale, dirigée de
(" ' ) Voici la déiiionslratiûii de ce princific. La pression eu chaque point de la surface S de S ne dépend, si le liquide est en équilibre, que de la dislance de ce point à la surface libre. Donc, si le solide n'existait pas et si la surface libre restait la même, la distribution des pressions sur 2 ne serait pas modifiée. Mais, si l'on applique les conditions universelles d'équilibre à la masse de liquide intérieure à il, on trouve que ces pressions ont une résultante égale et opposée au poids ]>, ce qui est le principe d'Archimède.
haut, en bas el égale au poids p du liquide déplacé par S. Il s'ensuit c]ue les réactions R du plateau ont une résultante verticale, dirigée de bas en haut et égale à P -h/?. Les réactions du vase sur le plateau ont une résultante opposée à la précédente. C'est cette résultante qui doit être égale au jjoids toial placé dans le deuxième plateau. Donc, ce poids doit être augmenté de /j. et cela donne la réponse à la ([uestion posée.
6. Une table repose sur un plan horizontal par quatre pieds A, B, C, D, formant un rectangle. Elle supporte une charge P, appliquée en un point quelconque. Calculer les pressions des quatre pieds, en supposant que chacun d'eux se raccourcit proportionnellement à la pression qu'il supporte et que la table reste plane.
Prenons pour axes de coordonnées les axes du rectangle ABCD {Jig. 2") el soient (j-, y) les coordonnées du point M où le poids P
Fis. 27.
(•[ue nous supposons être le poids total de la table et des objets qu'elle supporte) perce le plan horizontal. Appelons A, B, G, D les pressions des pieds représentés par les mêmes lettres. Le système de ces quatre forces verticales doit être équivalent à la force unique P. On a donc (t. Il, n° 1:27)
P = A + B + C + D, P.r= (A — B — G + D)^, Pr = (A4-B — C — D)/a
Naus avons quatre inconnues et seulement trois é([uations. Les liaisons sont hyperstatiques (n° 143) et les équations universelles d'équilibre sont insuffisantes pour nous donner la répartition des pressions. Faisons alors intervenir l'hypothèse supplémentaire de l'énoncé. Soient oc, [3, y, ô les raccourcissements des pieds A, B, G, D. Ils ne sont pas indépendants, du fait que la table reste })lane. On pourrait exprimer cette condition au moyen des coordonnées des extrémités supérieures des quatre pieds, en se servant de la formule (34) du n° 91 du Tome H. Mais il est plus simple d'exprimer que les milieux des diagonales AG et BD restent
STATIQUE. l5l
confondus, c'est-à-dire qu'ils s'abaissent de la même quantité. Cela nous donne immédiatement la relation cherchée
Comme les pressions sont proportionnelles aux raccourcissements, on en déduit
Nous avons maintenant quatre équations et Ton en tire, par un calcul simple,
Ce calcul n'est valable que si les quatre pressions trouvées sont positives, si Ton suppose que les pieds de la table sont simplement posés sur le plan horizontal, sans y être attachés. Ceci se traduit par quatre inégalités du premier degré en ^s j»^ qui s'interprètent comme il a été expliqué au n° 36 du Tome II. On reconnaît sans peine qu'elles ne sont toutes satisfaites que .9/' M est intérieur au losange EFGH {fig. 27).
Si M se trouve, au contraire, dans le triangle AEH, par exemple, on a
On conclut de là que le pied C ne presse pas sur le sol et, par conséquent, qu'en réalité, la table fonctionne comme un trépied, les points d'appui étant A, B, D. Nous devons alors reprendre les équations universelles (i), (2), (3) et y annuler G. Nous n'avons plus que trois inconnues et un calcul facile nous donne
Ces pressions doivent encore être positives. Cela est bien réalisé si M est, comme nous l'avons supposé, intérieur au triangle AEH. Si M était, au contraire, à l'extérieur du rectangle, par exemple dans la région (.37 > a, o <Cy <.h), B deviendrait négatif, le pied B se soulèverait en même temps que C, la table basculerait autour de la ligne AI). Si l'on a\ ait j; > f/ et y >- ^, B et D deviendraient négatifs, les trois pieds C, B, D quitteraient le sol; la table pivoterait sur le pied A.
l52 CIIAI'ITKI': IX.
7 ('). Dans le but de mesurer la ritesse initiale d'un projectile, on se propose de lui faire entraîner un fil de longueur indéfinie et dont une ejotrémité comporte une boucle qui coiffe l'obus à sa sortie du canon. Calculer la tension 'du fil. Calculer la vitesse à partir de laquelle se produit la rupture, en supposant que la tension de rupture est de -^^ par niilli mètre carré et que la densité du fil est de i,3.
Au temps t, une certaine longueur de fil a pris la \ ilesse c du projectile. Si nous supposons cette vitesse uniforme et si nous négligeons !e poids du fil et la résistance de l'air, le iil est rectiligne el a une tension T uniforme (n° liG). i^our calculer cette tension, appliquons le théorème des quantités de mouvement au fil qui suit un point quelconque A de la portion déjà entraînée. Pendant le temps dt, une longueur V dt de ce fil passe de la vitesse o à la vitesse <•. Si tn désigne la masse de i''" de longueur de fil. la quantité de mouvement est augmentée de mç dl.v ^^ nn'-dt, dans la direction de la vitesse de l'obus. D'autre part, les forces extérieures se réduisent, avec les approximations supposées ci-dessus, à la tension T appliquée en A. Ceci nous prouve d'abord que cette tension doit être parallèle à la vitesse du projectile et, par conséquent, que le fil prend la direction de cette \ itesse, comme cela paraît bien é\ident a priori. En outre, T doit être égal au quotient de l'accroissement de la quantité de mouvement par dt, soit
(i) T = mr^
Si S désigne la surface, en centimètres carrés, de la section droite du fil, si D désigne sa densité et si enfin c est évalué en centimètres par seconde, on a
(2) T = DSc^dvnes =z —- kilogrammes-poids.
Si R désigne la tension de rupture par millimètre carré, la \ itesse de rupture est donnée par
DS <•" ^ /o , q8 1 H . « ,
(3) -= looRS, V = loooo t / — -, centimètres par seconde
ou
(4) V = 100 t / — mètres par seconde.
Si l'on prend I'. = 7 et D =: i,!^, on trouve f = 23o"' par seconde.
C'j Cet exercice se rattache aussi jjirn au Clia|iilrc VII.
STATIQUE. l5/i
8. On pose un cvlindre de révolution sur un plan incliné^ la génératrice de contact faisant l'angle y. ai'ec la ligne de plus grande pente. Calculer la limite que ne doit pas dépasse/' cet angle pour que le cylindre ne roule pas. Dans quelles conditions le cylindre peut-il lester entièrement en équilibre ?
Soient R le rayon du cylindre, P son poids et i l'angle du plan incliné avec le plan horizontal. Le couple de frottement de roulement a un moment égal et opposé au moment du poids P par rapport à la génératrice de contact G. Pour évaluer ce moment, nous remarquons que le moment de P par rapport à la projection O sur G du centre de gravité du cylindre est horizontal et égal à PRsin/, Sa projection sur G est PRsinisina. D'autre part, la composante normale Xr^Pcosi. La condition de non-roulement est donc (n" 135)
PR sin / sin a <; A P cos i ou
(i) sina<-r- .•
^ ' Rtangi
Si elle est remplie, le cylindre ne peut pas rouler; mais il lui est peut-être encore permis de glisser. Pour qu'il reste totalement en équilibre, il faut et il suffit que Tangle i soit inférieur à l'angle '-p de frottement de glissement (n"^ 160, II).
La condition (i) est remplie quel que soit a. si
(2) R<Acoti.
Sinon, l'angle a doit être inférieur à une certaine limite 3 donnée par
(0) Sinp= r- ;•
^ ^ "^ Rtangi
En résumé, si l\ S h coli, le cylindre ne roule jamais: si '-9, il glisse: si i <C o, il reste au repos.
Si W<ih coti, le cylindre roule pour a > 3 ; pour a -< |3, // glisse, si ito\ il reste au repos ^ si i <io.
Application numérique. — Pour un cylindre de bois roulant sur un
plan en bois, on peut prendre, en unités M. K. S.. A := 0,002 et /rrr 0,6.
Supposons, par exemple, que « = o =: 3i°en\ iron. Le rayon limite h coli
est égal a — -> soit 3 de centimètre. Pour un rayon de 0™", on trouve
que Vangle limite 3 = -jS°. Pour un rayon de 25"""', on trou\ e ^3 =3 46'.
n. Ln cadre AB s'appuie en B contre un mur vertical Oz. Il est, d'autre part, attaché à ce mur au t?ioY^fi de la ficelle OC. Étudier son équilibre.
Fis. 2S.
Posons BG=:a, BC = Z^, 00 = /. Appelons a l'angle ^OC el |3 l'angle OBC. Chacun d'eux est compris entre o et t.. Ils sont liés par la relation
(i) l sin a =1 b sin [3.
Si l <i b, a peut varier de o à i:; j3 reste aigu el < ji', tel que
Si l'^b., on a des conclusions analogues, en échangeant les rôles de a. el ^i.
Equilibre sans frottement. — Appliquons, par exemple, le théorème des travaux virtuels, en écrivant ([ue la cote z du centre de gravité G est maximum ou minimum. Cela aura l'avantage de nous renseigner sur la stabilité, qui n'existe que lorsque z est maximum (n° 120). Nous avons, en projetant OCG sur Os,
(2) z^- Icosy. -^ {b — fl')cos;3. ,
Dérivons par rapport à c/. :
dz
-7— = — i sin a -(- ( a — o) sin ,i -j- ? dy. dy.
)u, en tenant compte de (i) et du la formule qu'on en déduit par
STATIQUE. i5'
dZ l cos a
(lérivalion,
dy. b cos-i dz h ^
(4) 77^ ^^ 7' ■ '^^"oy ('C0S3C — /'coSj3),
en posant
Celte dérivée s'annule pour
(6) / cosa = ^' cos,3.
Elevons au carré (i) et (6) et ajoutons; nous obtenons la valeur de 3 qui correspond à la position d'équilibre
(7) tan§^5.= l^.
Cet angle n'existe que si / est compris entre b et l . Si h > a, L' est négatif et supérieur à b en valeur absolue. Si 6 <; a, V est positif; il est > 6, si 2^ > a. -\ous avons dès lors à distinguer les cas suivants :
1° b <i - • — o <i l' <i b. Si l <i L' , 3i n'existe pas, l'équilibre est 2 i i 1
impossible. D'ailleurs, pour a rr 3 = o, la parenthèse de (4) est néga-
. dz . • 1 ■ I
tive; on en conclut que—— est constamment négative, car L étant <C.b,
|3 reste aigu et sa tangente reste positive. Comme z tend toujours à augmenter, on voit que a diminue quand on abandonne le cadre dans une position quelconque.
Si l'<il<^b, ^3, existe; d'après (6), l"angle a, correspondant est
aigu. Pour a <; aj, -j- >>o; donc g est maximum pour la position d'équilibre, laquelle est une position di'équilibre stable.
Si l'> b, {j| n'existe pas ; on \ oit sans peine ([ue -^ est toujours > o.
Il n'v a pas de position iV équilibre et j3 tend toujours à augmenter, quelle que soit la position du cadre.
1° - <i b <Ca. — l' '> b. Si l <. b, 6, n'existe pas; il n'y a pas de position d'équilibre et a tend toujours à diminuer.
Si b <Z l <. l\ ,3, existe; la formule (6) montre d'ailleurs (|u'il est aigu.
Pour a<;a,, -r--<o'. tlonc 3 passe par un minimum. Véquilibie est de.
instable.
Si/^l\ l'équilibre est impossible et 3 tend toujours à augmenter.
3° b'^ a. — /'<C o, — /' := / > b. Si l <i b, V équilibre est impossible. y. tend toujours à diminuer.
Si b <C l <C l \ 5i existe et il est obtus après (6). On voit encore que z est minimum; l'équilibre est instable.
Si l"^ l'\ l'équilibre est impossible et |3 tend toujours à diminuer. On voit (|u'il n'v a qu'un seul cas où il existe une portion cVéquilibre stable.
11 nous resterait encore à examiner les cas intermédiaires. Signalons
seulement celui où ^ =: - et / = Z>. La formule (2) donne alors ; = o,
en remarquant ([ue a = 3. Le cadre est en équilibre dans n' importe
quelle position.
Equilibre avec frottement. — Soient iN et F les composantes normale et tangentielle de la réaction du mur sur le cadre en B, T la tension de la ficelle et P le poids du cadre. Toutes ces forces doivent former un système nul. En prenant le moment par rapport à O, on a
N^p^ii^,
en posant x z^ OB. En prenant ensuite le moment par rapport à G, il vient
(9) F^;sini3 + .\/>cos,3 + P(& — «)sin|3 = o.
En éliminant F entre ces deux équations, on obtient une équation qui [a — b) X — ab cos [3
donne le rapport — =1 y
^ absin^
ou, en remplaçant x par l cosa -f- b cosj3,
l{a — b) cos a — b- cos jS (a — ^)(/cosa — /' cos (3 )
absin^^j a/^sinS
Pour l'équilibre, ce rapport doit être compris entre f et f. Avant d'aller plus loin, il est intéressant de rapprocher la formule (10) de la formule (4). On voit ([ue, si (5 reste aigu ( / <; b), y a toujours le signe
STATIQIE. l57
de -^ et s^ annule en même temps. Ceci nous prouve que les positions
d'équilibre sans frottement trouvées précédemment seraient également obtenues en annulant y, ce qui était évident, puisque cela revient à écrire que la réaction est normale. En outre, si y est, par exemple, positif, la force de frottement en B est dirigée vers le bas; donc, si on la supprime, B tend à remonter et, par suite, y. tend à augmenter; donc
aussi z. puisque -r^ > o. Cela est bien conforme au fait utilisé précé- * dy.
demment que le centre de gravité tend toujours à descendre. On aurait
des conclusions analogues dans le cas où c'est y. ([ui reste aigu {l> b)\
mais on considérerait alors la dérivée -7^, déduite de (4) et de (3).
Il s'agit maintenant de trouver Les régions d'équilibre. Si Ton essaie de trouver directement les positions de démarrage, en égalant j à/ ou à — /, ou a des calculs compliqués, qui conduisent à une équation du quatrième degré. En outre, en admettant qu'on ait obtenu une telle position, on ne sait pas de quel côté est la région d'équilibre qu elle limite. Il n'est pas certain (et nous verrons même que cela peut être faux) que cette région soit du côté opposé à celui vers lequel se produit le démarrage et il est absolument nécessaire de résoudre la double inégalité
A cet eflet, nous allons {cf. n° 132) construire la courbe (a,/) ou (•3, r), suivant que c'est a ou 3 qui peut varier de o à 't.. Varc d'équilibre sera la portion de cette courbe qui est comprise entre les droites D
etD' :
Pour faire celte construction, nous utiliserons soit la formule (10), soit la formule équivalente, d'après (i),
( « — b){l cos a — /' cos 8 )
^ ' -^ atsina
Dérivons cette dernière par rapport à a; nous avons, en tenant compte de (3) et de (5),
/(a 6) -4- ôsinasinS./ ;;• 4- Z^'^cosacosp
dy cos,:j
dy. rt/sin'a
l58 CHAPITRE IX.
OU, en tenant compte de (i),
. dv {a — 6)(/'cosa — /cosjS)
dy. al sin-a cosp
En tenant compte de (3) et (i), on a ensuite
dv («-^ ^) ( /' cosa — /cos3)
dp «/^ sin"-[3 cos a
Ces dérivées s'annulent pour
{i5) Z'cosa := /C0S|J.
On retrouve i'équalion (6), à l'échange près de / et de /'. En la combinant avec (i), comme on a fait pour (6), on trouve
(i6) tano^^o^z — ^j— ^^ =- -lang-[3,.
On voit que la dérivée de y s^ annule quand j ne s^annule pas, et vice versa.
Calculons les valeurs remarquables de r.
Pour a = j3 z= o, j devient infini avec le signe de (« — ^) (^ — ^') ;
Pour a = o, 3 = TT, y devient infini avec le signe de {a — b) {l -h l') ;
Pour a = TT, (3 ^ o, j devient infini a\ ec le signe de (^ — a){i-i-l').
Ceci suppose toulefois que les trois produits ci-dessus sont difl'érents <le zéro.
Si a := h, la première forme de la formule (lo) nous donne
(17) yrz:— cot(5
dont les variations sont évidentes.
Si l =: l' , on a , ,, , h cosa — cosô
a siHjj
Si a et ^ sont infiniment petits, leurs |)arlies principales sont liées,
,, , , ^ . . i f fy'\b
d après (1 ), par i y. = b^ et y est asymptotique a ^ ( 1 — TT ) ~* On verrait de même (jue, si 1 = — l', y est asymptotique à
lorsque ^ = r — £.
II nous est maintenant très facile de discuter les di/Térentes formes (jue peut alFecter notre courbe. Elles sont représentées sur les figures 9.9 à 33. Au sujet de leur interprétation, nous ferons l'observation suivante. On peut quitter un arc d'équilibre en traversant D ou D'. Dans le premier cas, j-^J\ la force de frottement est dirigée vers le bas; donc, le glissement du point B a lieu vers le haut et il est facile de vérifier que, dans tous les cas. celui des deux angles qui sert d'abscisse se met à augmenter. Autrement dit. le point représentatif M va vers la droite. Dès lors, si, au point de sortie, la pente de la courbe est positive, M s'éloigne de la région d'équilibre; nous dirons que l'équilibre est instable. Si, au contraire, la pente de la courbe est négative, M tend à rentrer dans la région d'équilibre; nous dirons que l'équilibre eslstable. Dans ce dernier cas, la région d'équilibre est celle vers laquelle se pr'oduit le démarrage, contrairement à ce que l'on admet habituellement. • [uand on résout les problèmes de Statique avec frottement en se bornant à chercher les conditions de dém'arrage.
Pour la sortie à travers D', on aboutit aux mêmes conclusions.
Sur les figures 29 à 33, nous avons indiqué par les lettres I et S les extrémités instables et stables des arcs d'équilibre.
Les cas à considérer sont les mêmes que tout à l'heure lorsqu il n'y avait pas frottement.
l : b <-■ — Figure 29. (a) : l< /'.Si le coefficient de frottement
Fig. 29.
ra./
est assez grand, il y a un arc d'équilibre, instable pour la limite inférieure et stable pour la limite supérieure ('). Le cadre tend toujours à descendre.
(•) Nous appelons limite supérieure cclli> pour laquelle le iioinl 15 csl it- yW^ élevé.
It)0 CHAPITRK IX.
(b) : 1=^1'. Arc d'équilibre limité à l'origine, stable pour la limite supérieure.
(c) : l'<Zl<ib. Arc d'équilibre comportant une position d'équilibre sans frottement (rapprocher de la première partie) et stable aux deux limites.
{d) : l=zb.\vc d'équilibre limité à la position d'équilibre sans frottement, qui est perpendiculaire au mur et que le cadre ne peut pas dépasser.
{e) : b<,l. Arc d'équilibre, si / est assez grand, stable pour la limite inférieure et instable pour la limite supérieure. Le cadre tend toujours à monter.
W: b=i —• — Figure So, On a les mêmes conclusions que précédem-
Fk'. 3o.
ment, sauf que le cas (c) n'existe pas et ([ue, dans les cas ( b) et (ci), qui se confondent, il y a équilibre indifférent sans frottement.
