GG ~ ,

Si Ton tient compte des symétries évidentes de la question, on conclut de là que /a position d'équilibre du triangle MNP est homothélique et

concentrique au triangle ABC. le rapport d'Iioniolhétie étant -•

Il est facile de voir que l'équilibre est stable. En effet, si Ton fait le chansfement de variables

la fonction U devient un polynôme en «,, . . ., ('3 qui ne renferme plus de termes du premier degré, car ses six. dérivées du premier ordre doivent s'annulei- pour //,=r //om ... = (-3== o; il est, au surplus, très facile de s'en assurer par un calcul direct, (^uanl aux termes du second degré, ils constituent une forme quadratique définie (*) négative (t. 1, n° 300). Il suit de là que U est maximum lorsque les nouvelles variables sont toutes nulles. Par conséquent, l'équilibre est stable, en veitu du théorème général du n° 120.

fie/narque. — L'équation (4) et l'équation analogue en y auraient pu

('; La foinie quadnilique esL définie, car sou discriitiinanl n'est pas nul, sans quoi le systf-me (2), (3), olilenu en annulant les dérivées, aurait été incompalilile nu iridélerminé, c- qui n'ii |);is 111 lieu.

STATIQUE. l47

être obtenues directement, en écrivant que les forces extérieures ont une somme géométrique nulle.

k. On donne un dièdre droit XOY, dont l'arête O est horizontale et dont la concavité est tournée vers le haut. Dans ce dièdre, on pose deux sphères pesantes et l'on cherche à les placer en équilibre de telle manière qu'elles soient tangentes entre elles et que chacune d'elles ne sait tangente qu'à une seule face du dièdre. Cet équilibre est-il possible et., s'il Vest, est-il stable ? On suppose qu'il n'y a pas de frottement.

Montrons d'abord, ainsi qu'on le devine par raison de symétrie, que les centres C et D {Jig. 26) des deux sphères sont nécessairement dans

Fiîr. 2G.

un même plan perpendiculaire à l'arête O du dièdre. En effet, la sphère C, par exemple, est soumise à son poids I^, à la réaction A de la face OX et à la réaction N de la sphère D. Ces trois forces doivent avoir une somme géométrique nulle. Or, les deux premières sont perpendiculaires à 0, donc aussi la troisième. Comme cette dernière est dirigée suivant la normale DC, celte droite est bien perpendiculaire à O.

Prenons dès lors, le plan ACDB comme plan de figure et prenons

comme inconnue l'angle 5=:\0X, DCJ. Cet angle étant calculé, on en déduira facilement les positions des deux sphères, car si R désigne le rayon d"e C et R' celui de D, les coordonnées des centres sont

.z =R'— (H -H R')cosÔ, R; R', ri=R— (R + R')sin{),

ainsi qu'on le voit en projetant sur les axes les contours OBDC et OACD.

Cela posé, on peut employer diverses méthodes pour trouver la position d'équilibre.

l48 CHAIMTRE IX.

Première méthode. — Calculons N en projetant les forces appliquées à C sur OX. de manière à éliminer la réaction A. Nous avons