V : a < 6. — Figure 33. {a) : l <ib. Comme 1, {a

Fiç. 33.

{b) : l—b. Comme 111, {b).

{d) : l—r. Arc d'équilibre limité à ;3 = 71 (cadre face contre le mur la limite Inférieure étant instable.

(e) r<, l. Comme I, {a).

EXERCICES PROPOSES

1. Un poids P de iiS"^- est attaché aux extrémités de deux cordes AT et RP, ayant respectivement pour longueurs 2™ et 3", 20, et fixées en A Haag. — Exercices, III. "

lG2

et en B. le point B étant placé à So"'" au-dessus de A et à une dislance horizontale de ce point égale à i'",9o. Calculer les tensions des deux corJes.

2. Un ballon pesant Sco'^s a une force ascensionnelle de loo't-'. Il supporte un trapèze, au(|uel est suspendu un gymnaste pesant 66'^^'. (Jael

elTort doivent supporter les bras de ce dernier?

Introduire la force

d'inertie du gymnaste. L'elfort sur chaque bras est de 33 ( i

3. Un train est animé" d'un mouvement uniformément accéléré. Un pendule, dont une extrémité est attachée à Pinlérieur d'un wagon, s'écarte de 28° de la verticale. Calculer l'accélération du Irain.

k. Un train pesant i 10', non compris la locomotive, se compose de 18 wagons ayant sensiblement le même poids. Le train démarre d'un mouvement accéléré tel que la vitesse atteigne 4o'^'" à l'heure au bout de 2 minutes. Sachant que les résistances passives sont en moyenne de 4''^ par tonne, calculer les tensions des attelages reliant chaque wagon au précédent et le premier wagon à la locomotive.

5. Un train, pesant en tout 120', descend une pente de 5 pour k^o. Les résistances passives sont de 7"^= par tonne. Le train comprend un wagonciterne, contenant un certain liquide. En supposant ce liquide en équilibre relatif, calculer l'angle que fait sa surface libre avec le plan horizontal.

6. Un point mobile M est soumis, de la part de n points lixes, à des attractions, dont chacune est proportionnelle à la masse du point attirant et à sa distance à M. Quelle est la position d'équilibre de M? L'équilibre est-il stable? En serait-il de même si les attractions étaient remplacées par des répulsions? (La résultante des attractions est h^cmème (|ue si les points attirants étaient confondus en leur centre de gravité.)

7. On donne // points fixes en ligne droite M,, AL. ..•, M«, de masses m^, m.^, . . ., /n„. Un point libre M est attiré par ces points fixes suivant la loi de .\ewton (n^OS). Démontrer (ju'il y a une position d é(|uilibre sur cha(|ue segment limité par dcwx points attirants consécutifs. iVouver qu'elles sont toutes instables.

(La résultante croît de — ce a -hœ, quand M va de M/ au point suivant M,vi. l'our l'instabilité, prendre la jmsition d'équilibre pour origine et développer la fonction des force* suivant les puissances des

STATIQVE. lG3

coordonnées .r, y, - de M. On trouve que L\,— L" a le signe de 2.r- — y- — z'-. Donc, U n'esl pas maximum en O,)

8. On reprend les points précédents; mais on les sup[)ose dislri])ués d une manière quelconque dans l'espace. Démontrer que, pour <|u\ine position d'équilibre O soit stable, il faut et il suffit qu'une droite quelconque OA issue de O fasse avec OM,, OM,, ..., 0M„ des an;:les 5,, 0-2, .... 5,,, tels que Ton ail

(0 3 2;7:icos-^5,-27f>^'

/', désignant la dislance OM,. Lorsque tous les points sont dans un même plan, celte condition peut s'interpréter de la manière suivante. On porte, suivant une direction quelconque de ce plan, des longueurs OP, propor-

in.

tionnelles à -^' Ou prend le symétrique OQ, de chaque vecteur OP/

|>ar rapport à OM,. Puis on fait la somme géométrique OQ des OQ,-.

Pour la stabilité, il faut et il suffit que la longueur de OO soit inférieure

au tiers de la somme des longueurs OQ,. En déduire que si le.-> masses attirantes sont égales et situées au\ sommets d'un polygone régulier, le centre de ce polygone est une position d'équilibre stable.

[Développer U suivant les puissances de x^y,z, en s'arièlant au second ordre. En écrivant que les termes du second degré ont une somme négative, quels que soient x,y, z, on trouve la condition (i). Dans le cas où les points sont dans un même plan, évaluer les angles 6, au moyen de l'angle polaire 6^ de OA. On arrive à une inégalité de la ferme

A cos5 + B sin 5 + 0 > o,

(|ui doit être vérifiée quel (|ue soit 5, ce qui exige C->.A*-i-B-. A et !^>

sont les composantes de 0<^). Dans le cas du polygone régulier, <) est eu O.]

9. Un fil élastique a pour longueur naturelle i™. Il s'allonge de 38"^"" sous Taclion d'un poids de loo». On fixe ses deux exlrëmilés en deux points A et B, situés sur une même horizontale, à i'",25 l'un de l'autre. Au milieu P du fil, ou attache un poids de jSo». Calculer la distance de la position d'équilibre à la droite AB, à i*"" près.

10. On reprend le fil précédent et un autre fil identique, dont une

lG4 CHAPITRE IX.

extrémité est fixée à 2'" au-dessus du milieu de Alî el l'autre extrémité attachée au point P. Position d équilibre.

11. Un jioint pesant I^ est attaclié à n (ils élastiques, dont les autres extrémités sont fixes. Démontrer que toute position d'équilibre est stable. (Prendre cette position pour origine et développer la fonction (les forces suivant les puissances de œ^ y, z, comme dans l'Exercice n°8. Les termes du second degré sont toujours négatifs.)

12. Un point M est mobile, sans frottement, sur un cercle. 11 est attaché à deux fils élastiques, fixés, d'autre part, en deux points A el A' diamétralement opposés du cercle. Les coefficients d'élasticité étant supposés égaux, mais les longueurs naturelles / et /'quelconques, trouver la position d'équilibre pour laquelle les deux fils sont tendus. Montrer quelle n'existe que si /- -^ /'-<< 4 I^"- Est-elle stable ?

13. Positions d'équilii»re d'un point pesant pouAanl «ilisser avec frottement sur un cercle dont le plan est incliné.

14. Même question, le cercle étant remplacé par une hélice circulaire. (La direction des tangentes aux extrémités des arcs d'équilibre peut être obtenue par l'intersection de deux cônes de révolution.)

l.'J. Mrme question avec une parabole dont la tangente au sommet est horizontale et dont l'axe est incliné.

10. Un cercle, dont le plan est horizontal, tourne avec une vitesse angulaire constante w autour d un axe vertical, (|ui passe à la distance a de son centre. Positions d'équilibre relatif d'un point pesant pouvant glisser avec frottement sur ce cercle. (Sirt<;KsinQ, o désignant l'angle de frottement, l'équilibre est indifférent, quel que soit o). Si a > H sincp, l'équilibre est indifférent tant que <o ne dépasse pas une certaine limite. Au delà de cette limite, il va deux arcs d'écjuilibre, a\ant respectivement pour milieux les points le plus éloigné et le plus rapproché de l'axe.)

17. Equilibre relatif d'un point pesant pouvant glisser avec frottement sur un(! parabole qui tourne uniformément autour de son axe supposé vertical. ( Les distances des positions limites à l'axe sont données pai- une équation du second degré.)

18. I]qiiilibre avec frottement d'un point pesant sur un ellipsoïde ayant un axe vertical.

lî). Même question avec un cône de révolution dont l'axe est incliné.

STATIQUK. l6>

20. Quand un point est en équilibre à la surface de la Terre, son poids est la résultante de l'attraction de la Terre et de la force centrifuge due à la rotation de celle-ci autour de la ligne des pôles. Montrer que la verticale est déviée, par rapport au ravon terrestre, d un angle égal

. sin>. cos). . , , , • , ,. ... ■ II

j A étant la latitude, et que 1 accélération de la pesanteur est

. , . / sin2>.

égale a i»- i —

j) ^désignant sa valeur à léqualeur.

'21. Un corps solide est terminé par une calotte sphérique, par laquelle il repose sur un plan horizontal parfaitement poli. Quelle est la condition pour qu'il puisse se tenir en équilibre stable?

'22. Un corps solide pesant est suspendu par deux fils AB,A'B'. Démontrer que, pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la \erticale du centre de gravité rencontre AA' et passe par le point de rencontre des deux fils.

23. Une poutre de 4™ de long et pesant 34o''s est suspendue, par ses extrémités, à deux chaînes de 12™ de long fixées à deux points situés sur une même horizontale à 5™, 00 lun de l'autre. Calculer les tensions des deux chaînes.

2i. La ligne des gonds d'une poite fait langle i avec la verticale. Q)uelle force faut-il appliquer normalement à la porte pour la maintenir dans une position faisant langle o avec la position d'équilibre stable? (Prendre la ligne des gonds pour axe des z et la position d'équilibre pour plan des zjc. )

25. Une table repose par trois pieds A, B, C sur le plan horizontal. Elle supporte un poids P (y compris celui de la table), appliqué en un point projeté horizontalement en un point M dont les coordonnées trilinéaires normales (t. II, n° loo) par rapport au triangle ABC sont .r,y,z. Calculer les pressions des trois pieds. (Prendre les moments résultants par lapport aux côtés du triangle.)

20. La table précédente est, en outre, soumise à une force horizontale F, de cote h, et projetée horizontalement suivant la bissectrice de langle A, le triangle ABC étant supposé équilatéral. Cliercher les conditions d"é(|uilibre, en supposant un même coefficient de frollenieniy pour les trois pieds. Dans quel cas la table bascule-t-elle et dans quel cas glisse-t-elle sur le plan horizontal? (Calculer les pressions des pieds.

i66 cmi'irr.E ix.

27. Un corps solide pesant, de poids 1', peut tourner autour dun axe liorizontal. Cliercher ses positions d'équilibre limite, en tenant compte du flottement des louiillons. {Cf. n" l'i-2.)

28. Un volant de 4' tourne à la vitesse de 1 10 tours par minute. Son centre de gravité se trouve à l'^^'de l'axe. Calculer les pressions sur les paliers, en supposant ceux-ci équidistants du plan de symétrie du volant et en supposant l'axe horizontal. Que deviennent ces pressions si Ton double la vitesse et si le centre de gravité est à 10'"'" de Taxe? (La pression sur chaque palier est de 22-o''S dans le premier cas et de i.i8o(>''^ dans le s^econd cas.)

29. (^iieJ contrepoids faul-il placer à 2'" de l'axe pour équilibrer le volant précédent? ( 2()''g ou 2<>o''n. )

39. Une poutre horizontale, de poids /?, repose sur trois appuis équidistants. I]lle supporte une charge P placée à la distance x du milieu. Calculer les réactions des trois appuis, en supposant que chacun d'eux fléchit dune quantité proportionnelle à la pression cju'ii supporte et <|ue la poutre reste rectiligne. (C/. Exercice résolu u" (5.)

31. Une trappe en fer, de 2'" de long, i"", 20 de large et 4'°™ d épaisseui-, est maintenue soulevée de langie 6, au moyen d'une chaîne dont une extrémité est attachée au milieu du bord o]>posé à la charnière et dont l'autre extrémité est fixée en un point situé à r",35 au-dessus du sol et à o™,2o en arrière de la charnière. Calculer la tension de la chaîne, ainsi que les réactions des deux gonds, pour des valeurs de h échelonnées de 10°, depuis 0° jusqu'à 90°. ("onstruire le graphique indi(iuant les variations de la tension de la chaîne.

32. Deux tiges CA et CB, de longueurs ia et 26 et de poids yy et rjr, sont soudées en C, de manière à former un angle 20. Aux extrémités A et B, on attache des poids P et ( K On place le s^'stème ainsi obtenu sur une sphère parfaitement pobe, de telle manière que les deux tiges soient tangentes. Chercher la position d'é([uilibre et dire si elle est stable. (Le centre de gravité G doit être sur la verticale du centre O de la sphère. Les diamètres aboutissant aux points de contact forment quatre angles ; pour qu'il puisse y avoir é([uilil)re stable, il faut et il suffit r|ue G soit dans celui ([ui est opposé par le soinuiet à l'angle qui contient C. )

33. Jùjuilibre d'une échelle appuyée sur un sol horizontal et contre un mur vertical, les coefficients de frottement étant / sur le sol et/' sur le mur.

STATIyLE. 167

[On peut se borner à cliercher l'inclinaisou de l'échelle au moment du démarrage el admettre ([ue les positions d'équilibre sont celles pour lesquelles l'inclinaison est moindre que cette inclinaison limite. Si l'on veut traiter la question en toute rigueur, il faut suivre la méthode générale du n° 132. Appelons x et v les rapports de la réaction tangentielle à la réaction normale en A sur le sol, et en B sur le mur. En éliminant les composantes nornaales CDlre les trois équations d'équilibre, on arrive à I équation

x{by -+-:;)-+-

en appelant a et 6 les distances du centre de gravité G à A et à B el posant

z :={a -\- h) tangs;,

a désignant l'angle de léchelle avec le plan horizontal. En outre, pour que les réactions normales soient positives, il faut et il suffit que x soit négatif. Pour qu'il y ait équilibre, il faut el il suffit que Ion puisse trouver une valeur de x comprise entre o et — /et une valeur de j' comprise entre — /' et/' satisfaisant à l'équation (i). 11 est commode d'interpréter géométriquement, en considérant j" et y comme des cooidonnées. L'équation (i) représente une hyperbole équilalere, qui doit avoir au moins un point à l'intérieur d'un certain rectangle. On trouve facilement que la condition pour qu il en soit ainsi est

Si elle est rem.plie, il y a tout un arc donnant des valeurs acceptables pour ^' et r. La détermination des valeurs eflectives que prennent ces <pianlités dans l'équilibre ne peut se faire qu'en faisant intervenir l'élasticité de l'échelle. Cj. n° IV^.]

3i. L'échelle précédente étant placée dans une position ([uelconque,. on la fixe au moyen d'une corde, qui relie un de ses points C au point O commun au sol, au mur el au plan de svniétrie de l'échelle. Calculer la tension de la corde, en supposant d'abord qu'il n'y a pas frottement, puis que l'échelle est sur le point de glisser, soit dans un sens, soit dans

l'autre. Lorsqu il n'v a pas frottement, la question est très simple: on

trouve que C doit être dans la moitié inférieure de l'échelle, pour f[ue la tension soit positive. Quand il v a frotleineril, on trouve, en adoptant

iG8 cii.vi'iTRi-: IX.

les notalioMS de Texercice précédent,

m xy cosa -f- .r sin a

en posant t^—

JdA

y cosa coso — x sin a sin es 4- sin ( a — o ) A G