AB
= n, AOC = (p, et appelant P le poids de Téchelle. Il ne reste plus ensuite quà remplacer dans celte formule X par — y et V' par f ou bien x par/" et y par — f.
35. On suppose que le cadre de TExercice résolu n" 9 est allaclié au mur par deux, ficelles OC et OA. Calculer les tensions de ces ficelles et examiner dans quelles conditions elles sont positives.
36. Une échelle double AOB repose, par ses pieds A et B, sur un sol horizontal. Ses deux parties sont reliées par une corde horizontale A'B', de masse négligeable. On appelle P le poids de OA, appliqué à la distance p du sommet O et. de même, Q le poids de OB, appliqué à la distance q.
1° Calculer la tension de la corde, en négligeant les frottements.
1° Déterminer les positions d'é<iuilibre de l'échelle, en tenant compte des frottements en A et B et en supposant que la corde n'existe pas et que OA = OB.
Ecrire les conditions universelles pour Féchelle complète; puis,
prendre les moments par rapport à 0 pour OA et OB séparément, en introduisant les angles avec la verticale. Pour 2", si x et / désignent les rapports de la force de frottement à la réaction normale en A et B, la force de frottement en chaque pied étant comptée positivement vers l'autre pied, ou Iroine qu'on peut poser
( A =P(rt-/^)-+-Q(«-Hry), Br=P(«+/0+<.M«-7).
On trouve ensuite, eu posant AOB=:v«a, , AB
i2in"a = I
Dés que / atteint V *^" 17' '^ P'ed A ou B glisse.
37. Calculer le couple de pivotement (no 1)50), en supposant que Paire de contact est un cercle et que la pression e^t uniforme.
38. Même question, en supposant que laiii; de contact est une ellipse et que la pression p en M est une fonction du rap[)ort t^= — rj j P désignant l'extrémité du demi-diamètre O.M.
I Considérer l'ellipse comme la projection d'un cercle, pour évaluer
l'aire élémentaire abldtdo, o désio;nant l'anomalie excentrique. Le couple élémentaire correspondant au secteur d'ouverture 6^c; est
.dC =1 fabo do j pl^ dl,
ç désignant le demi-diamètre OP. Le couple total se ramène au calcul de l'intéirrale
/ s/ Cl' cos- o -+- b- sin- o do,
qui est égale à la longueur de l'ellipse, comme on le voit en changeant o en o -r •
39. Pour faire rouler horizontalement un madrier de poids P, on le pose sur /* rouleaux perpendiculaires au madrier, de rayon commim K et de poids commun p. Calculer la force horizontale F avec laquelle il faut tirer sur le madrier, connaissant les coefficients de frottement de roulement h el h' de chaque rouleau sur le madrier et sur le sol. Application numérique : •
P = 3oo'^s, n = 3, /^ = i8''if. R = 8'"',
[Appelons Y el Y' les réactions normales du sol et du madrier sur un rouleau, X et X' les réactions tangenlielles évaluées positivement dans le sens de F, C et C les couples de roulement exercés par le sol et par le madrier sur le rouleau. Ecrire les trois conditions universelles pour le rouleau et les équations C = AY, C'=r A' Y' ; puis, éliminer X', Y', C, C. On obtient ainsi une équation, que l'on ajoute à toutes les équations analogues données par les n rouleaux. En tenant compte des équations universelles appliquées au madrier, on obtient
•2KF = P(// ^/t')-h np/i'.] ko. Une tige est posée sur un plan incliné sur lequel elle peut glisser,
CHAPITRK IX.
avec frolleinent, en pivotant autour d'une de ses extrémités O. Déterminer ses positions d'équilibre, en admettant que la pression (ju elle exerce sur le plan est répartie uniformément. [Prendre les moments par rapport à O. On trouve que Pangle de la tige avec la ligne de plus grande pente ne doit pas dépasser arc sin(/coti),]
kl. En cJia<jue point M dun corps solide, on applique une force F, de direction et de grandeur déterminées. Chercher les conditions auxquelles doivent satisfaire toutes ces forces pour qu'elles se fassent équilibre, quelle que soit l'orientation du corps solide {équilibre astaiicjue).
(I^rendre un Irièdre fixe Oxyz- et un trièdre 0 x' y' z' lié au corps solide. Si X, Y, Z sont les composantes de F suivant Oxyz., on doit avoir
(i) iX=:o, l\ = o, lZ=zo;
puis, en apj)liquant les formules du changement de coordonnées,
(2) blx'Z+ù'ly'Z -4- b"lz'Z = clx'Y + c'ly'Y + c"lz'\\
et les deux formules analogues. Ceci doit avoir lieu, quelle que soit l'orientation de Ox' y'z'. Des conditions évidemment suffisantes sont que les neuf quantités
ix'X, ly'X, Iz'X,
Ix'W ly'.Y, ^z'Y, Ix'Z, ly'Z, Iz'Z
soient toutes nulles. On démontre qu'elles sont nécessaires, en prenant d'abord Ox' y'z' suivant Oxyz, puis en le faisant tourner de r. autour ileOz.)
h'I. Trouver la figure d'équilibre d\in fil ilexible honiogènc pesant, suspendu par ses deux extrémités. (Admettre que c'est une ligne plane. .Si l'axe des ./: est horizontal et l'axe des y vertical et dirigé vers le haut, on a, en appelant a l'angle polaire de la tangente,
T cos X -= a, T si n a = p ^'■.9,
a désignant une constante et 0 la densité linéaire. En éliminant T, on est lanjené au Chapitre XXIV du Tome 11.)
ï'.i. On suppose «lu'un fil llexible liomogè-ne est en éciuilibre sous l'action de certaines forces. On le fait glisser sur lui-mètne, de manière
STAlIQfi;. I. »
([iiil dessine toujours la même courbe dans Te-pace, cliacun de ses poinls avant une vitesse constante r. Montrer que ['(([uilibre relatif persiste, la tension en chaque point étant simplement augmentée de la quantité constante pc-, p désignant la densité linéaire.
[Prendre les équations intrinsèques (n'iiS), en ajoutant aux forces données les forces d'inertie. La force d'inertie appliquée à chaque élé-
ment est — oy ds. Ses composantes intrinsèques sont données par le n" 8. On peut aussi calculer l'accroissement de tension, en appliquant le théorème de la projection des ([uantilés de mouvement (n° 05) à une portion quelconque du fil.]
APPLICATIONS DE LA STATIfH T.
EXERCICES RESOLUS
1. On considère le dispositif de V Exercice proposé n" 'ii du Chapitre III [fia- 34). On applique un couple G à la roue (G ), un couple G'
Fiï. 3^
à la roue (G') et un couple A au porte-saLellile (A).
1° Trouver les conditions d'équilibre, en négligeant les frottements. Calculer l'effort V sur chaque dent.
1'- On suppose que le système tourne uniformément, h'valuer le rapport x entre le travail absorbé par le frottement du satellite sur son axe et le travail utile, en supposant <[ue l'on fixe une quelconque des pièces, les deux autres devenant l'une motrice et Vautre résistante.
3° On rend A solidaire de la roue arrière d' une bicyclette, G étant fixé au cadre et G' au pignon moteur. Calculer F et x, en supposant que le poids total de la bicyclette est F et qu'elle monte une pente p, avec une faible vitesse.
4° On fixe A au cadre, G' à la roue et G au pignon moteur. Faire les mêmes calculs que dans 3".
Application numérique : V = loo^f-', p r= o, i6; U'=: :>. R nr 35'"'" ; dia-
APPLICATIONS DE \.\ STAriQLt;. IjS
mètre de la roue arrière : -o"""; diamètre de Vaxe du satellite : 6'"™; coefficient de frottement du satellite sur cet axe .• o, i.
1° Appliquons le ihéorènie des travaux virtuels. Soient c, c' et a les vitesses angulaires des trois pièces. Elles sont liées par la relation {cf, exercice précité) :
(i) Rc + R'c'— (R + R')rtz=o.
Un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons donne lieu à des vitesses virtuelles satisfaisant à cette équation. Les travaux virtuels correspondants sont proportionnels à Ce, Cc',K(t. La somme tle ces travaux devant être nulle, on doit avoir
(2) Cc + G'c'+ Ar/ = (,
et cette équation doit être vérifiée pour tout système de valeurs de c, c', a satisfaisant à (j). Il revient au même de dire que les équations (i) et (2) doivent être équivalentes par rapport aux variables c, c', a. Autrement dit, leurs coefficients doivent être proporlionnels :
Telles sont les conditions d''équilibre. Elles donnent deux des couples, connaissant le troisième.
Soit maintenant F la réaction de C sur S, que nous supposerons tangente à G, pour simplifier. En annulant le moment résultant des forces appliquées à C par rapport à Taxe 0, nous avons
(4) Cr:=FR.
De même, la réaction F' de C sur S est donnée par
Enfin, la réaction F" du satellite sur son axe satisfait à Téquation
(6) ■ A=-Pîi^.
En annulant maintenant le moment par rapport à O' et la somme géométrique des forces appliquées au satellite, il vient
174 CIIAPlTRIi X.
En portant dans (4) et (5), on retrouve (3). Quant à l'efTorl F, il est égal
à la valeur commune des trois rapports (3). S'il v a\'ail /» saleNites,
l'effort sur chacun d'eux serait — j en supposant tous ces eftorts é^aux.
Tous ces résultats sont valables, quand les dilTérentes pièces tournent uniformément (n" 121 ).
?,° Si, comme cela a lieu dans la pratique, le coefficient de frottement du satellite sur son axe est petit, la réaction normale est sensiblement F' et la force de frottement /F" fn" 156). Si .v désigne la vitesse angulaire du satellite et r le rayon de l'axe, le travail absorbé par le frottement pendant V unité de temps est fV" r{s — r/), car le travail total des forces intérieures est indépendant du trièdre de référence ( n" 102) et on peut le calculer en prenant ce trièdre solidaire de A. On a, d'autre part,
Les formules (7) et (3) ne sont plus tout à fait exactes, car le moment de F" par rapport à O' n'est pas tout à fait nul ou, si l'on \eut, le travail total des couples C, C , A n'est pas tout à fait nul, puisqu'il est égal au travail du frottement. Toutefois, on peut pratiquement continuer à les ap[)liquer, pour l'évaluation du rapport Jt-, car ce rapport est proportionnel à /et, par suite, ne peut pas être connu avec une grande précision. Il est donc sans importance de le modifier légèrement, en faisant l'approximation ci-dessus.
Premier cas : on fixe C. — - < )ii a,, en tenant compte tie ( S),
iWa
onc
^^^ '' w - w 4 AH
Le travail utile est \.a. Donc
iWa
A a —R'-^—lV
en tenant conq)te de (6) et ne s'occupant (|ue des valeurs alsolucs. Deuxième cas : on fixe G'. — On a, en utilisant (8),
Le traxail utile est encoi-e A a. Donc
APPLICATIONS DE lA STATIQUE. Ijj
Troisième cas : on fixe A. — On a, en se servant de (8).
(l3) ^ rt=:o, ^— «— i^/l^
Le travail utile est Ce'. Donc
„ /F'/-.2RV' 4//- ^ "^^ "^ ~ G'c'^R'— K) ~ K'-H'
en tenant compte de (7) et (5).
En comparant (10), (12), (14), on voit que
R ~ K' " R + R' On a donc
(16) x<ix'<,x\
ce qui permet de comparer les rendements des trois dispositifs.
3° Le travail utile pendant l'unité de temps est k.a. Ce travail élève !e poids P d'un« hauteur égale à pK" a, en appelant R" le rayon de la roue arrière. On a donc
(17) \a = Vp R" n, A = V p R". S(jil R' =r:/iR. On a, d'après 1° et 2" (premier cas),
Daprès (1), le rapport des vitesses angulaires de la roue et du pignon
moteur est — =r . La dcmulliplicaLion est
A\ec les données numéri(|ues, on trouve
(2O FrzrlOo'^'B, .r=: 0,028, ''^— V
4" Le tra\ail utile est Ce'. On en déduit, comme ci-dessus, (22) C=:P/)R";
doù, en ulilisanl 1° el 2° (troisième cas),
La démultiplication est
Pp
mais, il faut remarquer que c et c' sont de signes contraires; par consé- (|uenl il faut rétropédaler.
Avec les données numériques, on trou\e
Dans la pratique, on emploie trois ou quatre satellites; l'efTort sur chacun d'eux est alors de SS""» ou 25'^s dans le premier cas et de 5()'^s ou 37''s,5 dans le second cas.
La perle de travail est de un peu plus de 2 pour 100 a\ec le premier dispositif et de presque 7 pour 100 avec le second. Elle est suffisamment appréciable pour justifier remploi de roulements à billes'dans les satellites.
2. Equilibre de la bicyclette. — Il s'agit d'un équilibre relatif, par rapport au trièdre de référence Oxyz {/ig. 35), dont l'axe Oy est la
Fis. 35.
trace horizontale du plan du cadre, orientée, par exemple, en sens in\erse de la marche; ()z est vertical etdiiigé vers le haut: ().r est perpendiculaire -AyOz; enfin, l'origine O est le point de contact de la roue arrière avec le sol, qui est supposé horizontal. Ce trièdre est animé d'un mou\einenl plan (n° 41); soit l :; son axe instantané de rotation. Su[tposons cet axe fixe et la vitesse angulaire constante; autrement dit, le cycliste effectue un mrage, de rayon 10 ::^ R, a\ec une vitesse uniforme c ■:=. Ho).
Les forces relalixes au irièdre Ojyz sont les forces de pesanteur, les forces centrifu;;es et les réactions du sol. Les forces de pesanteur ont pour résultante le poids total P. appliqué au centre de gravité G, que nous supposerons, pour simplifier, dans le plan du cadre. Si le rayon R est assez grand par rapport aii\ dimensions de la bicyclette, on peut admettre, sans erreur sensible (n° 138), que les forces centrifuges ont
également une résultante appliquée en G et égale à mco-FG, /n désignant
la masse totale — • On peut confondre pratiquement la distance PG avec R
et la force centrifuge est alors égale à — — • (^)uant aux réactions du sol,
elles sont appliquées aux points de contact des deux roues. L'un de ces points est O; l'autre est toujours à une distance très faible de Oy\ nous pouvons donc considérer les réactions comme appliquées en des points de Oy. La condition d'équilibre s'obtient alors en annulant le moment résultant du poids et de la force centrifuge par rapport à Oy. Or, ce moment est, en appelant h la distance de G à Oy,
(i) M = 6P(sin/ — t; — cosi
La condition d'équilibre est donc
(2) tang? — — -.
- Ro-
si elle est remplie, les deux forces admettent une résultante dirigée sui\ant la perpendiculaire GG' à Oy et les deux réactions du sol, qui doi\ ent former un système nul a\ ec cette résultante, ont la direction G G. Pour qu'il n'y ait pas glissement des roues sur le sol {dérapage)., il faut et il suffit que Tangle «soit inférieur àlangle de frottement, c'est-à-dire que Ion ait
L'équilibre n'est donc possible que si la \itesse ne dépasse pas une certaine vitesse critique, qui est d'autant plus petite que R est plus petit, c'est-à-dire que le \irage est plus court. Si cette \itesse est dépassée, il y a dérapage.
L'équilibre est instable. En eflfet, si i de\ient plus grand que la \aleur /' donnée par (2), la formule (1) montre que le moment M de\ ient positif; donc, i augmente. De même, si /< i' , M est négatif, / diminue. Dans les deux cas on s'éloigne de la position d'équilibre.
Haag. — Exercices, III. 12
178 CHAPITKE X.
On peut remarquer que M est [iroportionnel à /> ; donc, on diminue rinstabiliLé en abaissant le centre de gravité.
Vsage du guidon. — Voyons maintenant quelle est rinfluence du guidon sur l'équililire. Soit AB la trace horizontale de la roue a\anl, A étant le point de contact {fig. ^5, h). La figure 0A13 tourne autour du point 1. Déplus, comme chaque roue roule sans glisser sur le sol (si elle ne dérape pas), elle est tangente à la trajectoire de son point de contact. Il s'ensuit (n° 42) que les normales, en O à OA et en B à Al> passent par I. (Nous Taxions déjà admis implicitement pour la normale en O. ) On a dès lors, dans le triangle rectangle lOA,
(4) tang5=r:^,
en appelant (i la distance constante OA.
Cette formule nous montre ({ue cest l'angle dont a tourné le guidon qui détermine le rayon de courbure du virage. Gomme ce rayon de courbure joue un rôle fondamental dans l'équilibre, il en est de même pour le guidon.
l'éliminons H entre (4 ) et les formules (1) et (2) :
(5) • M=:/>P(sinf tango cos/):
gn
(6) laiig/:= — tang^.
Il est facile de comprendre maintenant comment il faut manœuvrer pour rétablir l équilibre, lorsque celui-ci est rompu. Supposons que. le cycliste roulant en ligne droite, le cadre s'incline accidentellement \ers la gauche d'un certain angle ;„. Le moment M devient positif puisque S est nul. Donc, si le cycliste ne réagit pas. il tombe \ers la gauche. S'il tourne son guidon \ers la droite, comme le font les débutants, il ne fait (|u'augmenler M; il accélère sa chute. Si. au contraire, il tourne son guidon vers la gauche, il diminue M et. s'il le tourne assez rapidement, il arrive à le rendre négatif a\anl que le dérapage se soit produit. A partir de ce moment, la vitesse de chu»e se ralentit; elle finit par s'annuler et la bicyclette se redresse; la chute est évitée.
La formule (5) montre que, pour une \aleur donnée de !). M diminue d'autant plus que v est plus grand et a plus petit. Donc, les motnenients du guidon pour rétablir C équilibre doivent être d'autant plus petits que la vitesse est plus grande et la bicyclette plus courte. La première propriété est bien connue des cyclistes, qui savent que les écarts du
APPLICATIONS I)K LA STATlgLK. 179
guidon sont toujours très faibles aux. grandes vitesses. C'est ce qu'on exprime aussi (•[ueI({uefois en disant que la bicyclette est d'aulat»l plus slable qu'elle va plus \ ite. Ceci est parfaitement exact, à condition que le guidon soit manié a\ec une grande souplesse. Supposons, en eflet, que, la bicvclelte roulant en ligne droite à grande vitesse, le guidon prenne brusquement un écart accidentel assez grand (pro\oqué, par exemple, par un caillou), vers la gauche, pour fixer les idées. D'après la formule (5), M prend une grande valeur négative et la bicyclette s'incline rapidement vers la droite. Pour rétablir son équilibre, le cycliste tourne brusquement son guidon à droite. Mais, s'il dépasse la mesure. M prend une grande valeur positive et la machine s'incline rapidement vers la gauche. Après quelques oscillations, le cycliste se redressera, s'il dirige avec souplesse et ne perd pas son sang-froid; sinon, il finira par être projeté violemment sur le sol, soit d'un côté, soit de l'autre.
En résumé, aux faibles vitesses, la bicyclette est instable par rapport à la pesanteur, les chutes étant occasionnées par une inclinaison accidentelle du cadre, comme pour une chute au repos. Aux grandes vitesses, au contraire, la bicyclette est instable par rapport à la force centrifuge^ les chutes étant occasionnées par une trop grande déviation du guidon.
3. La grue représentée par la figure 36 doit soulever une charge O de lo'. Le câble s'enroule sur le tambour T, passe sur la poulie fixe A, puis dans un palan de six poulies et enfin vient s'attacher à l'extrémité de AB. La charge Q est suspendue à la- moufle inférieure du palan. L'enroulement sur le tambour T se fait par l'intermédiaire d'un train d'engrenages. La roue R, solidaire de T. engrène avec r, laquelle est solidaire de l\ . qui engrène avec r' ; enjin, r' est solidaire de la manivelle m, à r extrémité de laquelle s'exerce normalement la force P.
1° Calculer la force P nécessaire pour élever Q d'un mouvement uniforme, en négligeant les frottements.
2° Les barres OA, AB, CD, AE étant supposées articulées en O. A, C, D, E, calculer les réactions aux articulations. Calculer l'effort de tension ou de compression subi par chaque barre et calculer l aire minima que doit avoir sa section, sachant que la charge pratique de sécurité est de ôoo'^s par centimètre carré.
3° Quelle charge doit-on répartir uniformément sur la longueur UE pour que la grue ne bascule pas autour du point O ?
On négligera les poids des barres, poulies, câble, etc.
Les dimensions sont les suivantes : OA = S"", AB z= C", AD =: ^"\5,
i8o chapithe x.
AG = 3™.5, CD = 7'". 0E = 4"»; diamèlre du tambour T : So'^"' : longueur de la manivelle : 4o"'"; les roues R et R' ont chacune 90 dents et les roues r et r' ont chacune i5 dents.
Fi". 3G.
1" Appliquons la méthode des travaux virtuels. Nous allons, par exemple, égaler les travaux de P et de Q pour un lour complet du tambour. La roue /• fait 6 tours et/' en fait 36. Le travail de P est donc égal à
P X 36 X 27; X 40 kilogrammes x centimètre.
La longueur de câble enroulée est de 3o7:cm, C'est la diminution totale de longueur des six brins du palan. Chaque brin diminue donc de 5 -cm. Le tra\ail de Q est, par suite, Q x 5T: = 5()Ooor. On a donc l'équation
APPLICATIONS DE LA STATIQl K. l8l
d'où Ton lire
2° La barre CD est soumise aux rt'-aclions des points C et D. Comme nous négligeons son poids, ces deux réactions doivent former un système nul; autrement dit, elles doivent être égales et opposées et dirigées suivant CD. A.ppelons R la réaction de D sur CD, comptée positivement suivant le sens DC, c'est-à-dire si la barre est comprimée.
Considérons maintenant la barre AH. Elle est soumise aux tensions des sept brins qui aboutissent en B; les six premières ont pour résultante le
poids Q; la septième est égale à ^ et a la direction BA. La barre AB est
également soumise à la réaction l\ de CD et à la réaction du point V. l^renons le moment résultant par rapport à ce point, en négligeant toujours le poids de la barré, ainsi que le moment de la tension du brin AB (à cause de la peliiesse du r.iyon de la poulie A) ( ' ) :
Q xBH=:Rx AF;
d"où
Celte. réaction est positive; donc la barre CD est comprimée.
Ecrivons maintenant que la somme géométri([ue des forces appliquées à AB est nulle; cela nous donne les composantes X et Y (suivant les axes indiqués sur la ligure) de la réaction de A sur cette barre :
( 'i ) A r= — K SI Q C -h -^ SI n A = — (H — — —
