R2+R'=+RR
D étant la den-^ilé et R et R' les rayons en mètres. Avec les données numériques, la vitesse ne doit pas dépasser 5io tours par minute.]
40. Déterminer la forme d'équilibre d'un fil dont chaque élément est soumis à un poids proportionnel à sa projection horizontale.
[Câble d\in pont suspendu. Si p désigne le poids du tablier par unité
de longueur, on a
^/ (T "^in a)
Tcos3( ~ const. — a, — ^ — =pcosûc.
as
En éliminant T on trouve ds, puis
a If I
r =r — langa, y = —
p " 2 /j cos^a
La courbe est une parabole.]
VI. On considère une chaîne constituée {)ar des barres 01 . i;?, 23, ... ; n — I , n,
dont chacune est articulée avec la suivante on leur extrémité commune. A chaque articulation (ou nœud) est appliqué un poids p. De plus, les longueurs des barres sont choisies de telle manière que, dans la position d'équilibre, elles aient toutes des projections horizontales égales à une
igo CHAPITRE X.
même constante a. Enfin, on suppose que rextrémité n de la chaîne est au même niveau que rex.trémilé o. Calculer les coordonnées du sommet t en prenant pour axe des a; l'horizontale ow et pour axe des y la verticale descendante de o. On néglige les poids des barres vis-à-vis de p.
[On suppose que chaque articulation est entièrement libre, c'est-à-dire que l'axe qui relie deux barres consécutives exerce sur chacune d'elles une réaction unique, sans aucun couple. Celte réaction est la tension de la barre. Pour chaque barre, les deux tensions doivent se faire équilibre. En chaque nœud, l'axe d'articulation doit être en équilibre sous l'action du poids p et des deuv tensions. Eu écrivant toutes ces conditions et éliminant les tensions, on trouve une formule de récurrence entre les coefficients angulaires de deux barres consécutives
/«/+i — /n, =r- — ni^
m étant une constante. On en déduit «i^-, puis on calcule Xi et enfin yj.
On trouve
., /(/— I) Xizzz la^ y/= lu — ma ,
b désignant encore une constante. Tous les nœuds sont sur une même parabole. C'est encore le problème du pont suspendu.^
42. On considère la poutre représentée par la figure 43. On suppose
Fig. /,3. .
qu'en chaque nœud les quatre barres aboutissantes sont librement articulées. Une charge uniforme de p kilogrammes est appliquée à chacune des barres horizontales supérieures. Calculer les efforts dans les différentes barres et dire si ce sont des tensions ou des compressions. On néglige le poids des barres. Application numérique : tous les triangles sont isoscèles et ont chacun o"',85 de base et i'°,io de hauteur. Il y a i3 nœuds A et i4 nœuds B. Le poids p est de i'. Quelle section doit avoir chaque barre, si l'on veut que l'effort longitudinal dans chacune d'elles ne dépasse pas 6''? par millimélre carré? [Chaque barre horizontale supérieure exerce sur l'axe d'articulation qui est à chaque extrémité
AI'PI.ICATIONS ni-; hX STATIQI'E. '99
une force égale à — • Aux nœuds exlrèmes inférieurs s'exercenl les réactions des points d'appui. On pari du nœud B.. La réaction en ce point se décompose suivant B, A, et B| B.,. On passe ensuite à A,; sa condition d'équilibre donne les tensions dans AjB, et AjAj. Puis on passe à B,. A,, ....]
43. La ferme représentée par la figure 44 supporte une charge verti-
cale de 3« sur chacune des poutres AB, BG, CD, DE. Calculer les efforts longitudinaux dans chaque poutre et les , composantes horizontales et verticales des réactions sur les appuis A et E. Refaire le même calcul, en supposant qu'en plus des forces ci-dessus on ait une pression normale de 20oo''8 sur AB et de Dooi^ssur BC. On néglige le poids des poutres et Ton suppose des articulations parfaites en A, B, C, D, É. Données numériques :
ABzirBC^CD^ DE = 3"'; BD^ô-^.So; AK = 9'".
(Transporter les charges aux nœuds. Calculer les réactions verticales en A et E. Puis écrire l'équilibre de chaque nœud en partant de A.)
kk. La figure f\5 représente une chèvre constituée par deux tiges
Fig. 45.
égales OA et Oj A, de 6'" de long et dont l'écartemenl horizontal 00, est de 2™, 5. Elles sont reliées par un tirant CC,, tel que
OC
L'inclinaison du plan de la chèvre est 45°. Elle est maintenue au moyen d'une corde AB, située dans le plan de symétrie et faisant 25" avec le plan horizontal. Un treuil, ayant pour axe CG,, sert à enrouler une corde, qui passe sur une poulie fixe en A, puis sur une poulie mobile P et enfin vient s'attacher en A. A la poulie P est suspendue une charge de 8oo''K. Calculer la tension de AB, les compressions de AC, AC,, OC, OjC, et la tension de CC],
45. Une poutre est soumise à des forces admettant le plan ccOy pour plan de symétrie ( /iff. \6). On considère une section droite quelconque P
Fig. 46.
de celte poutre. Les forces extérieures appliquées sur la partie PA de la poutre peuvent être réduites à une force (X,Y) appliquée en P et à un couple, de moment M. Ces forces font équilibre aux réactions élastiques exercées, le long de la section considérée, par la partie OP de la poutre sur la partie PA. La composante X s'appelle la tension en P; Y s'appelle Veffort tranchant et M s'appelle le moment fléchissant. Démontrer que l'effort irancliant est, au signe près, la dérivée du moment fléchissant par rapport à la dislance OP ^ .r. (Ecrire les conditions universelles pour la portion de poutre comprise entre les plans jc q\. x -V- dx.)
4-6. On démontre, dans la Résistance des matériaux, que le moment fléchissant précédent est proportionnel à la courbure de la Jibre neutre (lieu des centres de gravité des sections droites) en P, si cette fibre est recliligne à l'état naturel. Calculer la forme que prend la poutre, si elle est encastrée en O et si elle est seulement soumise à un poids P appliqué en A. (On a sensiblement M =: Kj". Il suffit donc de calculer iVI en fonction de X et d'intégrer deux fois. L'encastrement signifie que la tangente en O est O x.)
