A + RO

où D désigne le diamètre de la poulie et A et li deux coefficients numé-

ri(jues, qui dépendent de la corde considérée. Montrer qu'il revient au

même d'admettre que le brin mené se raccorde progressivement à la

poulie de telle manière que lorsqu'il est parallèle au brin menant, sa

distance au centre dépasse le rayon de la quantité h=i V;

Application numérique. — Popr une corde goudronnée de 3o fds, A = o,35o et B Z3: o,oi'.'.6, <^> et R étant évalués en kilogrammes et i) en mètres. Calculer la distance h pour une poulie de So*^'" de diamètre et pour une cliarge Q égale à ■.ïoo''i''. (^)uel est le rendement de cette poulie, en supposant, en outre, que son axe a ^o™'" de diamètre et que son coefficient de frottement est 0,12?

11. Pour freiner un arbre qui tourne, on enroule sur cet arbre une corde, dont une extrémité est fixe et l'on lire sur l'autre extrémité. Calculer le niomenl de freinage. Application numérique : Le diamètre de l'arbre est de 20"=™; on lire sur la corde avec une force de 25''" elTon veut obtenir un moment de freinage égal à 3 kilogrammètres. Calculeil'angle d'enroulement. Le coefficient de frottement est o,25. (On supposera successivement que la corde est enroulée dans le sens de la rotation dt- larbre, puis dans le sens opposé.)

12. L!ne poulie tourne à la vitesse de i3oo tours par minute. Son diamètre est de 20"". i'>lle entraîne une courroie en cuir de 7""" d'épaisseur

et (le (lensilé 1,1. L'angle d'enroulemenl est de ij'i". Le coefficienl de frottement est o.S. La puissance transmise est de i5 chevaux. Calculer la largeur minimum que doit avoir la courroie, sachant qu'elle peut résister à une traction de 4o'''-' par centimètre carré. On tiendra compte de la force centrifuge. {Cf. Exercice proposé n° i3 du Chapitre IX. )

13. Dans un palan, la mou lie supérieure comprend n -i- i poulies et la moufle inférieure en comprend n. Le dernier brin de la corde est

allaciié à la chape de la moufle inférieure, (.alculer le rapport — •

li. Un palan différentiel est constitué par une poulie fixe A k deux gorges, de rayons R et R' très voisins {fig. 38) et par une poulie mobile

Fisr. 38.

ordinaire B. l ne chaîne passe sur les trois gorges, comme l'indique la figure, l^es gorges de A sont munies d'empreintes pour éviter le glissement de la chaîne, malgré que le brin C ail une tension négligeable, qui

résulte de son propre poids. Calculer le rapport -- en négligeant d'abord

le frottement. Puis, calculer les limites entre lesquelles il doit être compris pour que le palan reste en équilibre, en tenant compte du frottement de A sur son axe. Quelle valeur doit avoir P pour que 15 monte? Quelle est la condition pour que le palan reste en équilil)re, quand on cesse d'exercer la force P, tout en maintenant (^)? < )uelle est la limite

supérieure du rendement dans cette hypothèse? de l'axe, on a, en gardant les notations du n" Lo6,

Si r désigne le rayoi

R — /sin y.

iqo

CILVl'lïRi: X.

B monte (K's que — atleinl la valeur olHenue en remplaçant a par riiriele de frottement o. L'arc-boiitement a lieu si R — R'<; i/'sincp. La limite supérieure du rendement est- i — ); elle est un peu plus

petite que -; cf. u° i3'i.

to. Le treuil diUérenliel est constitué par deux cylindres de même ave et de rayons R et R' très voisins, sur lesquels la corde senroule en sens inverse, chacune.de ses extrémités étant fixée à l'un des cylindres. L'ne poulie mobile repose sur celte corde et supporte le poids Q à soulever. Trouver la condition d'équilibre, sans frottement et en tenant compte du frottement des tourillons. (>hercher la condition d'irréversibilité. {Cf. Exercice précédent.)

IG. Treuil des carriers. — Un homme monte le long de la circonférence de rayon R. Le poids (^) est attaché à une corde qui s'enroule sur un cylindre de rayon IV. Trouver les jiositions d'équilibre. Ouelle est la posilion stable? Chercher l'arc d'étjuilibre, en tenant compte du frotle-

Fig. H.

ment des tourillons. .Montrer que sa projection sur le diamètre horizontal a pour milieu la projection de la position d'é(juilibre sans frottement. [Si 5 désigne Pan^le r:OA, on a, en gardant les notations du

OH'+ (P -^ ())/'siiia

sin(5

PR

Les extrémités de l'arc d'équilibre sont obtenues pour y.

APPLICATIONS DE lA STATIOl'K. I9I

17. dlculer le^ ivVactions sur les tleux lourillons, dans le Ireiiil ordinaire. Puis chercher les conditions d'équilibre, en tenant compte du frottement. Calculer le rendement ({uand le poids i) monte d'un mouvement uniforme. Entre quelles limites varie ce rendement quand la manivelle fait un tour complet? Examiner le cas où le treuil est actionné par un couple.

18. Un treuil, de 3o'=" de diamètre, doit soulever une charge de 6oo''b. Il est actionné par l'intermédiaire d'un engrenage, comprenant une roue de i"',o5 de diamètre, solidaire du treuil, engrenant avec une roue de 1 5"" de diamètre, solidaire de la manivelle. Celle-ci a 40*"™ de long. Calculer la force qui doit être appliquée normalement à son extrémité, eu négligeant les frottements. Calculer également l'effort sur les dents en contact, ainsi que les réactions sur les tourillons, en supposant que la corde est à 70"^™ du tourillon de droite et à i"%3o du tourillon de gauche, que le plan de l'engrenage est à 20'^°' à gauche du tourillon de gauche et que le contact a lieu au point le plus bas de la grande roue.

19. Un volant de 2' tourne à i5o tours par minute. Son centre de gravité est à 8""" de l'axe. Sachant que l'axe est horizontal, que les lourillons ont 10''"' de diamètre et que leur coefficient de frottement sur les coussinets est de 0,07, calculer la puissance perdue par le frottement. Où doit-on placer un poids de loo*^? pour équilibrer le volant? Que devient alors la puissance perdue?

21). On applique aux roues extrêmes d'un train d'engrenages des couples C et C Quelle est la condition d'équilibre, si l'on connaît la raison ? [Cf. Exercice proposé n" 20 du Chapitre lll.)

21. Montrer que, dans un engrenage conique, la condition d"c(|uiiibre est donnée par la même règle (]ue dans un engrenage plan, ainsi que l'ellort sur les dents.

22. Une vis sans fin engrène avec une roue de rajon H. On applique à la vis un couple G et à la roue un couple C. Condition d'équilibre, en négligeant le frottement. (Travaux \irtuels.)

23. Un cric est constitué par une crémaillère {Jig'- ^o), qui engrène avec une roue de rayon K'. Cette roue est solidaire d'une autre roue, de rayon R, qui engrène à son tour avec une roue de rayon U", solidaire d'une manivelle, de longueur /. Quelle force faut-il appliquer norinaKmenl à l'extrémité de la mani\elle pour soulever un poids donné Q* ? (Travaux virtuels. )

CHAPITRK X.

•lï. Ouelle esl la charge maximum que peut traîner, en la remontant sur un plan incliné, un cheval exerçant, parallèlement à une ligne de plus grande pente, une traction T? Quel est le poids minimum que doit

Fig. 4o.

avoir le cheval? On appelle ./"et /' les coefficients de frottement de la charge et du cheval sur le plan. Application numérique :

T=rll()'^i?, /z=o,o5, f'=o,3,

tang/f= 0, «)3.

2o. Deux poids P et O sont posés sur un même plan incliné. Ils sont reliés par une corde qui passe sur une poulie fixe dans le plan, de manière que les deux brins soient parallèles aux lignes de plus grande pente.

Condition d'équilibre. ( Si/et /' sont les coefficients de frottement, on doit avoir, en supposant P >> Q, tang/ << -^^ -y—

•li). Même problème, en supposant les deux poids posés sur des plans inclinés diflerents ayant leurs horizontales parallèles, la poulie étant placée perpendiculairement à leur intersection.

'11. Quelle force verticale faut-il exercer sur un coin, dont Fangle au sommet est de 00°, pour produire une force horizontale de 5oo''8, sachant que le coefficient de frottement est de o,4o?

28. Calculer le rendement de la vis. Etudier ses variations avec le pas. Calculer sa limite supérieure pour une vis de serrage.

APPLICATIONS l)K LA STATIQUE. IQÎ

Avec les nolalions du ii" l()î), le leiideinenl est lting<col(t 4- 9). Sa dérivée par rapport à i a lé signe de cos(2< + (p). Pour une vis de serrage, /<9, la limite supérieure du rendement est -(i — /"M. Elle est

inférieure à -, conformément au n° 134. 2 J

29. Un vérin est constitué par une vis verticale, sur rextrémité de laquelle appuie une charge de 1'^ qu'il s'agit de soulever. La vis est actionnée par une manivelle de 4o'='" de long. Quelle force doit-on appliquer normalement à son extrémité? (^uel est le rendement du vérin? Quel travail faut-il fournir pour soulever la charge de i™? Le pas de la vis est de 6"'". Son diamètre est de 40™™- Son coefficient de frottement est 0,12.

30. L'écrou du vérin ci-dessus a 3o™™ de hauteur. Calculer la charge maximum qui peut être soulevée, sans craindre l'arasement des filets. On suppose que le filet est carré et a pour hauteur la moitié du pas. Sa résistance pratique au cisaillement est de 8"^=' par millimètre carré. [On pourrait employer la formule (89) du no 109. Il est plus simple et pratiquement aussi exact de considérer la charge comme répartie uniformément sur une surface égale à la moitié de la surface intérieure de l'écrou.]

31. Un rectangle ABCD glisse entre deux glissières G et G', dont la distance est un peu plus grande que la hauteur BC du rectangle. En son centre O sont appliquées une force P, parallèle aux glissières, et une force Q, faisant l'angle aigu a avec la direction opposée à P et dirigée.

pour fixer les idées, du côté de G. A partir de quelle valeur du rapport — -

le rectangle se met-il en mouvement dans le sens de P? Quelle forme faut-il donner au rectangle pour avoir le plus petit rappoit? (Supposons que AB soit voisin de G et ait le sens de P. A priori, (pialre cas sont possibles, le contact avec les glissières pouvant avoir lieu le long de AB, le long de CD, en A et C ou en B et D. Introduire les composantes normales des réactions. On peut les calculer, dans chaque hypothèse, ainsi

que le rapport — • En remarquant que les réactions normales doivent ètio

positives, on constate que le deuxième et le troisième cas sont toujours impossibles. Le premier est possible siAB>/.BG, et le quatrième quand on a l'inégalité contraire. Le premier est le plus avantageux.) Haag. — Exercices^ III. >>

32. Un embrayage à cônes est conslitiié par un cône creux A, dans lequel vient s'eml)oîler un tronc de cône B, de même angle au sommet 2a que A. Un ressort pousse B vers le souimel de A avec une force F. Sachant que A tourne à une vitesse de a tours pai- minute et transmet une puissance de W chevaux, calculer le minimum de F pour que A entraîne B sans glissement. Calculer la longuem- / de l'arête de B de manière que la pression moyenne entre les deux cônes soit p kilogrammes par centimètre carré. Application numérique :

W:::=l5, /=0,2, a=^ll°, « := 5oO, j9=:I,5,

rayon moyen de B = iS*^

»cm

(Calculer le moment des forces de frottement par rapport à l'axe des deux cônes, à l'instant où le glissement par rotation va se produire. On

„ -^, 225ooO «îin a . . ^

trouve h = VV ;; j /• désignant le ravon moyen en centimètres.

T. fin ^ . j ■

n ■ I ITT J 12600 . , r. n 1- •

ruis / r= W —T-i — en centimètres. I^oui- I application numérique,

on trouve F = 1 3-'-*'', / ^r 5 1.""". )

33. Un plateau circulaire, de rayon R, mû par un moteurdeW chevaux, tourne autour de son centre à la vitesse de n tours par minute. Un galet, dont le plan est perpendiculaire au plateau et dont l'axe est fixe, est appuyé tangentiellement à la circonférence du plateau, avec une force normale de F kilogrammes. Calculer le minimum de F pour que le galet tourne autour de son axe sans glisser sur le plateau.

3'*. On considère la bielle de l'Kxercice résolu n" 3 du Chapitre 111. Calculer le couple moteur appliqué à la manivelle en fonction de la pression totale P sur le piston. Calculer également la tension de la bielle. [Si l'on néglige les frottements, appliquer les travaux virtuels ; on trouve immédiatement

(Z^=\*— =: l'H sin «(i -H e cos </),

en appliquant la formule (7) de l'exercice précité. Si l'on appelle y le coefficient de frottement de la coquille B du piston sur les glissières, en supposant (|u'on se trouve dans le cas favorable de l'Exercice n" 31, on a un couple C lié au j^récédent par la formule

„, „ coscp n / , r ■ \

U = C '-:—. — = C ( I -h /i? si iw/ ) ,

coscp — y sin (^

APPLICATIONS UE LA STATIQl li.

au troisième ordre près. La tension est — I'

igS

/'si II 9

P ( I 4-/t' si II n

Il faut prendre // compris entre o et ;:, la tension étant une conipre:*sion quand B va vers O et une véiitable tension dans le mouvement opposé. On a négligé le poids de la bielle.]

33. Une chaudière cylindrique de rayon R renferme de la vaj)eur à la pression de p kilogrammes par centimètre carré. Calculer la tension moyenne du métal par millimètre carré d'une section droite, puis d'une section méridienne. Si la chaudière éclate, comment se produira vraisemblablement la rupture? Quelle épaisseur faut-il donner à une chaudière de I™ de diamètre, si Ton veut que la tension moyenne du métal ne

dépasse pas S''» par millimètre carré, en supposant /?=; 2,5? ( La résultante des tensions du métal doit être égale à la résultante des pressions

de la vapeur. Un trouve - — et

ie e )

36. Établir l'équation d'équilibre du régulateur de Watt, en tenant compte du poids du collier C.

37. La figure 4 I représente le régulateur de Farcot. Les articulations

sont en A, A', B, B', M. On détermine les dimensions des tiges de manière que la vitesse angulaire d'équilibre ait un minimum égal à la

igG CHAl'ITRK X.

vitesse de régime normal de la machine. Il en lésnlle qu'au voisinage de celte vitesse normale, la vitesse d'éqnilibre du régulateur est sensiblement constante, ce qui est un avantage précieux pour certaines machines. On dit que le régulateur est sensiblement isochrone. [En négligeant le poids du manchon M, posant

AB=^rt, AG

OA — c, MDB = a,

la vitesse d'équilibre est donnée par

( /> >in a — c) cos a

Le minimum de oj^ a lieu pour un angle [3 tel que cm /;sin^[3; il est égal à 02 — o — • Si a = j3 H- £, on a, au troisième ordre près.

,,)'-■= 9J{\ + 3£- tang^P).]

h cos"p

38. La figure 42 représente le ré^iulateur de Bankine, qui est rigou-

Fig. 42.

reusement isochrone. Les articulations sont en 0 et C, qui sont fixes, et en E, D, D', qui sont mobiles, le manchon M coulissant le long de Or et I), \)' glissant dans des rainures pratiquées dans OA et OA'. Lt^s boules ont des poids tels rpi*; leur centre de gravité est en O. De plus, le

côlé du losange CDED' est égal à la dislance OG. ( On trouve

c^-2— ASJlK^^ en posant OA = a, OB = b, OC = CD = c.)

39. Un volant tourne avec la vitesse angulaire r»). Calculer la tension que donne la force centrifuge par millimètre carré dVine section diamétrale. Application numérique : volant en fonte de densité 7,1, de diamètres extérieur et intérieur 2'",4o et 2™. Calculer le nombre de tours maximum par minute, si l'on veut que la tension ne dépasse pas 2^^, 5.

[La résultante des tensions sur une section diamétrale doit équilibrer la force centrifuge sur la moitié du volant. En négligeant les rayons et supposant le volant de forme cylindrique, on trouve que la tension par millimètre carré est