CHAPITRE PREMIER

DE LA CONIOGR APHIE.

I er . §. Par un point donné sur une droite , en conduire une autre qui fasse avec elle un angle égal à celui compris par deux lignes tracées sur le

papier. .

Art. I. Emploi de la corde de l'angle donné.

i. LES goniomètres ordinaires, ainsi que la boussole , fournissant en grades ou centièmes du quart de cercle la valeur des angles observés, il convient, avant d’expliquer l’usage de ces instrur*ens dans les levés topographiques., de faire voir comment la valeur numérique d’un angle étant don- N® a. i

. née , on peut traecr sur le papier deux droites qui le comprennent. Pour ne rien omettre de ce qui intéresse à ce sujet , nous parlerons en outre , et tout d’abord, du cas où l’angle est donné graphiquement sur le papier.

2 . Nous désignerons sous le nom de goniographie l’ensemble des divers moyens de résoudre les utiles problèmes que nous venons d’énoncer d’une manière générale.

3. On propose de conduire par le point A de la droite AB,fig. i, une autre lignez/ é? faisant avec elle un angle BAC égal à l’angle bac donné sur le papier.

On sait que, pour résoudre ce problème, on porte sur les deux côtés de l’augle donné, de a en c et en b, une même longueur de droite quelconque, avec lfi^uelle on décrit ensuite, du point A comme centre, un arc de cercle BC d’une grandeur suffisante; après quoi on prend, avec le compas, la distance des points b , c , qui peut être considérée comme la corde de l’angle donné; et du point B pour centre, on décrit avec cette distance un nouvel arc de cercle CD qui coupe l’arc BC déjà tracé, en un point C, où doit passqr la ligue ^Ccherchée. •

4. Cette construction fait voir que la ligne A C sera d’autant mieux arrêtée sur le papier, que les points c, A, seront plus éloignés l’un de l’autre, et que l’intersection C, des arcs de cercle BC, CD, sera plus distincte. La première condition aura lieu en prenant le rayon arbitraire, choisi d’abord, le plus grand possible; la seconde exige que l’angle sous lequel se coupent les arcs BC, CD, angle qui est le

même que celui de leurs tangentes au point C, et est par suite égal à l’angle BCA , compris entre les rayons passant au point d’intersection des arcs mentionnés, ne soit pas moindre que ^ioo grades.

Si donc on remarque qu’en nommant œ ï angle donné, le triangle ABC fournit ce— 200* — 2 BCA, on verra de suite que la construction précédente peut être employée avantageusement lorsque l’angle ce donné n’est pas plus grand que — grades.

5 . Si l’angle donné dépassait cette limite, il faudrait, pour se servir des cordes avec avantage, construire son supplément à 200 grades.

Art. II. Emploi de la tangente ou de la cotangente de l’angle

donné.

6. Au lieu de la corde de l’angle donné bac ,Jig. 2, on peut employer sa tangente. Supposons en effet que, par le point b connu sur le côté ab , on lui conduise une perpendiculaire bc jusqu’à la rencontre de l’autre côté de l’angle. Il est clair que, si ' ‘ on Celève la longueur de la ligne ab pour la transporter de A en B, sur la ligne donnée AB , et si on prend BC perpendiculaire à AB et égal k bc, les triangles ABC, abc, seront égaux par construction ; donc la ligne A C formera avec AB un angle CAB égal à l’angle donné cab , ce qu’il fallait obtenir.

7. Cette construction, qui n’exige, comme la précédente, que l’emploi de la règle et du compas, pourra être employée tant que l’angle acb, sous lequel se coupent le côté ac de l’angle donné, et la

perpendiculaire bc à l’autre côté , ne sera pas moindre que 7100 grades. Cela aura évidemment lieu, si l’angle donné n’est pas plus grand que jioo

8. Quand l’angle donné sera compris entre j et j de too grades, il faudra, pour opérer comme on vient de le dire, construire son complément à 100 grades, en employant sa cotangente. On construira enfin le supplément de l’angle donné, au moyen de sa tangente, si cet angle, moindre que 1 droits, est plus grand que 7 de 1 00 grades.

Art. III. Emploi de la sécante ou de la cosécante de l’angle donné, et encore de son cosinus ou de son sinus.

g. On peut aussi faire usage de la sécante pour résoudre le problème dont nous nous occupons. En effet, la construction étant commencée comme dans l’article précédent, relevons la longueur ac,Jig. 5 , pour décrire du point A, comme centre, un arc de cercle CD, qui coupera la perpendiculaire BC à AB, en un certain point C, tel que les triangles ABC, abc, seront encore égaux par construction; de sorte que la droite AC sera évidemment la ligne cherchée.

10. L’emploi de la sécante de l’angle donné veut donc , comme celui de sa tangente , que cet angle soit au-dessous de i 100 grades, pour que l’intersection des lignes ac, bc, soit distincte. Mais ici nous trouverons une condition de plus , car il faut en outre que l’angle sous lequel l’arc de cercle CD coupe la droite BC ne soit pas plus petit que 7100 grades; et comme cet angle est égal à CAB ou

cab , on voit encore que l’angle donné ne doit pas être moindre que -jioo grades.

1 1 . Les limites obtenues montrent qu’il est indifférent d’employer la sécante de l’angle donné, ou celle de son complément, laquelle est sa cosécante.

12. L’usage que nous venons de faire de la sécante et de la cosécante de l’angle donné , explique celui du cosinus et du sinus de cet angle ; car nous pouvons considérer la ligne ab comme le cosinus de l’angle cab pour un rayon égal à ac ; et dans cette hypothèse, la construction à faire sur la ligne ABe st absolument la même que précédemment.

i 5 . Aussi l’angle donné doit être compris entre les limites jioo grades et jioo grades; de sorte qu’il est indifférent d'employer le cosinus du complément de l’angle , c’est-à-dire , son sinus.

II*. §. La valeur numérique de T amplitude d'un

angle étant donnée, tracer cet angle sur le pa-

pier. v

Art. I. Emploi de la biseciion successive des angles.

14. On peut employer les partages successifs d’un arc de cercle en deux portions égales, pour obtenir graphiquement , et avec un degré d’exactitude voulu, un angle d’une amplitude donnée; de sorte que la règle et le compas suffisent alors pour résoudre ce problème. Tout le monde sait comment, avec ces instrumens, on arrive, sur une circonférence de cercle tracée , aux arcs égaux à un mjil-

tiple , soit do joo grades, soit de -, de 100 grades sous-tendu par le rayon ; on aura donc,

Pour

L’apgle droit éuot l'uait 4.

L’angle sous-tendu pour 1e rayoa

étant l’uni lé.

IOO,* r-

ïs5

3go6 s5

ig53 ia5

Ainsi de

suite.

i 5 . Cela posé, proposons-nous de conduire par le point a,fig. 4, de la droite ab, une ligne ac faisant avec elle et à moins de io' d’erreur, par eiemple, un angle de 73 grades 53 '. Du point a , comme centre et avec une ouverture de compas arbitraire, décrivons d’abord un arc bed égal à un angle droit, et remarquons ensuite que, d’après le tableau précédent, l’angle proposé contient :

7 de l’angle droit, ou 50 ,^'

7 la, 56

TT • v 6 , 25 ’,

Plus, un petit angle de o, og 25 ’*

Total 73, sr ' 55 qo

AU GONIOMETRE.

Si doue on ajoute à la suite les unes des autres, autour du point a et à partir de la droite ab, les lractions de l’angle droit dont nous venons de faire la somme, on aura évidemment résolu le problème proposé, puisque l’angle ainsi obtenu ne différera que de g' a 5 " eu moins, de l’angle donné.

Partant, divisons l’angle droit dab en deux portions égales par la droite ae, aboutissant au point e', intersection de deux arcs de cercle de même rayon, ayant leurs centres respectifs aux extrémités h, d, de l’arc de cercle bed. L’annle eab sera ainsi 7. Pour obtenir l’angle égal à 7, on divisera d abord en deux parties égales celui dac égal à ;, de sorte que eak vaudra j; on trouvera de même la moitié eag de ce dernier angle, laquelle vaudra j. Pour avoir la portion de l’angle donné égale à Tï» on divisera en deux parties égales le { trouvé, gak, adjacent à l’angle bag = -j- de sorte que si ah est la ligne de division, l’angle bah vaudra t-Pt-Hts- continuant de la même manière, ou parviendra à un angle bac , mesuré par un arc composé des portions be -j- eg + gh -f- hi -f- ic, égales respectivement à ~ t j,. ^ et ~ du quart de

la circonférence : doue 1 angle trouvé bac ne différera que de o,og 25 ,, de l’angle donné par son aui- * plitude numérique.

16. 011 opérerait d une manière analogue, si l’angle sous-tendu par le rayon était choisi pour unité.

Ait. II. Usage des tables des lignes trigonomclrii/ucs naturelles .