CHAPITRE IX

PROBLÂMES DXTSRS.

V^ §• Obtenir^ à Vmde de la planchette^ la distance des extrémités d'une ligne brisée accessible.

a^8. IN'ous consacrerons ce dernier chapitre à la résolution de quelques problèmes, comme exemples d'applications des levés à la planchette. Nous, y comprendrons aussi la solution de questions fondamentales, propres à conduire à celles de tous les problèmes inverses des lef^ésà la planc/iette, problèmes dan» lesquels le dessin d'un projet quelconque étant arrêté sur le plan d*un terrain acces«sible, on se propose d*en construire le traéé sur ce terrain mê^ie. JjB. nature de Finstrument doiit nous allons nous servir, nous force d'ailleurs à npusbprner ici à des solutions purement graphiques.

, 249. -^Pour résoudre le problème* énoncé,, hous représenterons par ÂBCDM^fig, 56, la ligne bri&ée des extrémités ^, i?, de laquelle il s'agit de trouver U <Ustance iAE* Dans ce but^ on relèvera en J7 l'angle JBC repré^nté, par akc sûr la planchette, on mesurera JB elBC pour en prendre les. valeurs â^, bc, k l'échelle; de sorte que a, b^ c, seroht les positijons respectives des trois points ^, 5,, C. Puis avjec éc et c, on^.^e i^neitra en station au point Cr pôUT' y relever Tatigle BCD et la position d du point Z?^. et

1 «yïj L£T^

Ton continuera de cheminer ainsi jusqu^à cç^quW soit arrivé à la position é de Textrémité E de la ligne brisée donnée. Cela fait^ on joindra les positions a,e, des extrémités de cette ligne, par une droite ae^. dont on prendra la valeur sur réchelle à laquelle on aura opéré, et cette valeur sera évidemment le ttombi^ d'unkés dé mesure <30fiJ;enueâ <laos la dis«* tance ^jE* cherdiée. . '

II® §. Arriver^ àV aide ^ela planchette^ àlafongueur d*une, droite qu'il :est impossible de chaîner.

Art. .1. Les deux extrémités de la droite sont cLccessibhs.

!25o. Si l^^deuK extrémités àt la droite sont accès* ^iblfes.9 00 Conçoit ^< Ttioe à l'autre,^ sut le terrain > Ui»e ligné brisée accessible de la pl>a6 sifqpf^form.e; •et. le problème $é. réduit ÛQn à trouvier la distance 4e5:ex^j9é«iités de œtte ligi>e, problème que. nous venons de résoudrc dans le paragraphe ptécédent.

Art. tl. Une seule èxtrémîté de la droite est accessible.

^5i. B^fig.S^^ é<»nt ^extrémité inaccessible de la dibite jiB^ oh choisira sur le* terrain deux points C^'D^ d^où on puitôë découvrir le point B^ et tels que leiardisitance DC soit mesurable. On tracera alofê'sur 4a plaaidiettè un« dix>ite i/c égalant la droite DC à une itehelie choisie, et on détermimra par intersection la pbsitijcm h du point inaccessible B^ relatirement aux points d^ c, regardés comme les positions respectives de D et C. Cela fait, on cheminera de D en>/ par le polygone accessible DE A le plus simple^

À LA PLAirCHETTE. ' tjS

dont on lèvera le plan dea ; et aB sera ainsi à Féchelle choisie la longueur de la ligne ^£j de laquelle on ponrra donc obtenir la valeur en unités de mesure quelconques.

!i5a. Le problème résolu dans le cas actuel, peut être encore énoncé de cette manière : TrxMiper à quelle distance on est d'un point inaccessible ^ que l'on peut ou non découvrir.

Art. m. Les deux extrémités de la droite sont inaccessibles.

a53. La manière de résoudre le problème dans le cas actuel ne diffère presque en rien de la construc« tion exécutée au n® 178. On mesurera en effet sur le terrain une ligne XYyJig. 33, des extrémités de laquelle on puisse apercevoir celles R^ P, de la droite inaccessible dont il s'agit de trouver la longueur. On tracera cnsuitesur la planchette une ligne x'j/ représentant XYkune échelle choisie, et il est clair qu'en employant la méthode d'intersection, on arrivera promptement aux positions r\p', des points JR, P, comme il est représenté par la figure; de sorte que la ligne r'p' étant la longueur de /7P à l'échelle mentionnée, il est tout simple d'en obtenir la valeur en unités de mesure quelconques.

254. Il est évident que la solution actuelle pourra s'appliquer aux deiit cas précédens, lorsque les lo*calités ne s'y opposeront pas; de sorte que, si de la première extrémité de la droite donnée on découvre la seconde , on pourra faire abouriir à cette première extrémité l'une de celles de la droite auxiliaii^ dont on doit effectuer l6 mesuràge.

176 hËYiS ^

IIP §. Trouver^ à F aide de la planchette ^ la pfus courte distance d'un point à une droite.

255* Ce problème offre six cas diffétens ; car chaque extrémité de la droite et le point donné lui-^ même peuvent ou non être accessibles. Cependant, comme ils se rapport€;Qt deux à deux, à chacun des trois cas du problème résolu dans le précédent paragraphe, nous allons seulement indiquer les modifications à apporter aux solutions expliquées , pour les rendre applicables au problème actuel.

Si le point donné est accessible , oiî le prendra pour un des sommets des polygones suivant lesquels ou a cheminé dans les solutions des deux premiers cas, OU) si cela n'était pas convenable, on lierait ce point à ces polygOQCS, par le. plus simple embran*cheipent possible, levé en cheminant. On suivrait une marche jErnalogue, en agissant relativement à la droite auxiliaire mesurée dans la solution du troi- •sièrne cas, comme on Ta faitàTégard des polygones.

!i56. Si le point donné était inaccessible, il faudrai4; déterminer sa . position par intersection , soit en partant de deux des sommets des polygones parcourus, soit des deux extrémités de la droite mesurée, ou de toute autre manière.

a57. Les positions respectives ab^ m^fig. 58, de la droite AB^ et du point M^ donnés, étant ainsi obtenues sur I9 planchette, il ne reste plus,. pour trouver leur plus courte distance cherchée, qu'à conduire par le point /n, une perpendiculaire mp

X LA J^LAWCHETTE» 1^7

à ni. Prenant en efTet la longueur de mp^ pour rappliquer sur Féchelle à laquelle on a opéré, on obtiendra la longueur de la ligne correspondante 3IP du terrain, en unités de mesure employées^

lY^ §• Trouivtrla distance de deux points accessibles^ visibles l'un de Vautre ^ et desquels on découvre deux autres points inaccessibles dont la distance est connue^

aSS. Ce problème est, en d^autres mots, Ténoncé de celui qui a été résolu n^ 178 : aussi la construc** tiou à faire est-elle la même. Â, P, /Sg. 33 , sont les points inaccessibles dont on connaît la distance^ et X^ Yj ceux dont il faut trouver l'écartement. £xé* feutant les opérations représentées dans la figure, ou obtiendra sur la planchette un quadrilatère x'y*pr\ semblable à celui XYPR de la carte topographique naturelle; on aura donc, la distance cherchée ^F: 7?/^ = x'y : r'p\ proportion d'où on déduira sa valeur en fonction de la longueur connue de iRP, après avoir mesuré les lignes xy\r'p\ en unités quelconques..

aSg. Si Ton ne voulait pas faire deii calcul, il faudrait, comme il est représienté par la fig. 34,, construire sur la droite /p, représentant RP à une échelle choisie, une figure rpxjr semblable à celle r'p'x'y obtenue sur la planchette. Alors eÉfectivement la ligner^, portée sur l'échelle, y indiquerait à combien d'upités de mesure est égale la distance JCF cherchée.

V^ §. Obtenir avec la planchette^ l'aire d'un terrain

quelconque.

îà6o. On lèvera, à une échelle choisie, le plan de la limite du terrain dont l'aire est demandée ; et si cette limite aàcde...,, fig. 69, est polygonale, on divisera Tétendue du terrain en triangles tels que abc, ace^ cde^ ...., dont la somme des surfaces fournira évidemment l'aire cherchée.

On sait" que le plus petit nombre possible de triangles en lesquels un polygone puisse être décomposé, égale le nombre des côtés de ce polygone, moins a* Quoique cette décomposition soit faisable de plusieurs manières, il faudra, dans le cas actuel, donner la préférence au mode de partage qui fournira le plus grand nombre de triangles différant le moins possible de la forme équitatérale. Cela fait, o» mesurera à l'échelle les longueurs de la base et de la hauteéir de chaque triangle, telles queac et bp, ce et «^..•,pour en faire les produits ac.bp^ce.ag... La moitié de chacun dB ces produits étant l'aire particulière du triangle correspondant, il en résulte qiie l'aire totale cherchée abcdej:=z | {ac.bp + ce.aq + ce.dr+ ....)

a6i. Au lieu de se servir des hauteurs des triangles, on peut exprimer leurs surfaces en fonction de leu^s trois côtés. On se souvient qu'en effet , la surface d'un triangle égale la racine carrée du produit de son demi-périmètre , multiplié par les trois €x,cès de ce demi-périmètre sur chacun de ses côtés. Quoique le calcul de Taire d'un polygone, cherchée

A LÀ PLAHCnETT»» 1*75

par celte formule, ne soit pas aussi expéditif que le calcul indiqué dans le numéro précédent, on ne doit pourtant pas négliger d'en faire usage» Car il est très-diffîcile de passer exactement du plan d'un polygone à la valeur de sa surface, et ce n'est qu'en prenant une moyenne entre plusieurs résultats obtenus par des voies différentes, que l'on peut espérer de s'être assez approché du véritable.

262* Si la limite du terrain à mesurer est formée d'une ligne courbe rentrante sur elle-même , telle que ahcdefj fig. 60, on lui conduira une tangente extérieure to, dirigée à peu près perpendiculaire* ment à la plus grande dimension de l'espace embrassé; ensuite, par le point de contact a, on fera passer une droite at/, coupant ai à angles droits. Et si Von veut avoir la surface cherchée en ares ou cairés de 10 mètres de côté, par exemple^ on divisera^ à partir de^^la ligne ad e^ portions de 10 mètres cha* cune^ et par Êous les points de division i, 2, 3, 4— ^ on lui conduira des perpendiculaires i'i",2'a% 3'3'\..,. n'n!\ Cela fait, on prendra à V échelle les valeurs ^ de ces perpendiculaires en mètres y pour en faire la somme dont le dixième indiquera le nombre d'ares contenus dans Vaire abcdef. La raison de ce procédé est facile à trouver, et sera d'ailleurs exposée dans notre Traité d^ arpentage.

La règle que nous venons de donner conduira a un résultat d'autant plus voisin de la vérité, que les portions de ligne courbe a\\ ai\ l'a', i"a".... s'écarteront moins de la lîgne droite; et que la distance du dernier point n de division de la ligne ad^ en

I 8o LÈVES

portions de i o mètres , à l'extrémité d de cette droite, difFétera moins du côté de l'are, •

263. Si la distance mentionnée nd^fig. 61 , di£fé^ rait beaucoup du côté de Tare , il ne faudrait comprendre dans la somme à faire que la moitié de la dernière perpendiculaire /^'/^". Ou n'aurait ainsi l'aire cherchée que jusqu'à cette perpendiculaire; et pour avoit la valeur de l'autre partie n!n"d^ on diviserait de même n!n" en portions de 10 mètres aux points ly 2, 3 ....) et le dixième de la somme faite des petpendicïilaires 11', 2a .... à n!n"j et de la moitié de la dernière 44 '> fournirait^ comme pn vient de le voir, l'aire nt\ù^'d. Quant au petit triangle rectangle n!'L\t\i dont les côtés sont plus petits que celui de l'are , on calculera facilement sa surface, qu'il faudra ajouter à la somme des deux précédemment obtenues, pour avoir l'aire totale cherchée.

264. On peut encore parvenir à l'airerWuh terrain limité par une ligne courba aa'bb'cc'..^^ fig. 62, en inscrivant ou circonscrivant à cette courbe, soit en totalité, soit eu partie, un polygone rectiligne abcd...y s'écartant le moins possible de la forme qu'elle affecte. On calculera en effet, comme on l'a dit, l'aire du polygone substitué, et on obtiendra la valeur des espèces de segmens ou portions de surface aa'b, bb'cy cdd..., comprises entre les côtés de ce polygone, et les portions correspondantes de la courbe limite, en employant la méthode indiquée dans le précédent numéro. Partant, il sera fort aisé d'arriver à l'aire cherchée, puisqu'il suffira d'ajouter ou de retrancher de celle du polygone substitué, les aires

A LA. PLAUCHKTTÏ. ïêl

des espèces de segment désignés^ suivant que Findiquera la 6gare.

VI* §• • Trouver y à Vaide de ta planchette j le point d'un terrain accessible , correspondant à un point ajouté au plan de ce terrain.

a65. Tous les problèmes inverses des levés se réduisent en dernière analyse à celui que nous venons d'énoncer, et dont la solution exige qu'il existe sur le terrain , un chemin praticable allant de Fun des points dont les positions sont arrêtées sur le levé, au point du terrain que Ion cherche. Soient a, ô, c...^/ig. 63, des points du levé représentant ceux w/, -B, C... d'un terrain, sur lequel on propose de trouver le point correspondant à celui x indiqué sur le levé. Comme il sera toujours possible d^estimer à peu près le lieu où doit être le point cherché, on jugera facilement de quel point connu du terrain il donvient de partir pour aller le rejoindre. Supposons que ce soit du point B; on s'y mettra en station, et puis la ligne de foi de l'alidade passant aux points by Xy on fera planter un jalon X* dans la direction fournie par le plan de collimation de Talidade; de sorte que le point cheirché sera quelque part dans laclîrection BX\ Pour l'obtenir, il ne reste plus qu'à savoir à combien d'unités de mesure correspond la longueur de bx^ ce que l'échelle apprendra facilement, et à faire chaîner ensuite dans la direction BX\ une ligne BX égale à la longueur* trouvée ; rextrémilé X de cette ligçe, sera évidemment le

182 IMVtS

jX)int du terrain représenté par lé point x indiqué sur la minute.

'^66. S'il n'était pas possible d^apercevoir de Tua des points du terrain connus de position sur le levé, le lieu où l'on aura estimé que doijt se trouver le , point dii terrain correspondant à celui indiqué sur la minute, le problème proposé ne serait pas plus difficile à résoudre. Tout se réduirait alors à lever le plan du chemin praticable allant de Tun des points connus, au lieu où le point cherché doit se trouver, et à opérer à Textrémité de ce chemin, comme on l'a fait tout àTheure au point Jî, puisqu'on s'y trouvera dans des circonstances semblables.

VIF §. Trouver^ à Vaide de la planchette^ la ligne d'un terrain accessible ^ torresporidant à une droite ajoutée au plan de ce terrain.

267. Ce problème se résout à l'aide du précédent. Il est dair en effet que, si l'on trouve deux points du terrain, correspondant à deux points choisis de la droite donnée sur le levé, ces points détermine- ' ront sur ce terrain la trace d'un plan vertical, de laquelle la droite donnée est la position.

Si l'on tenait à avoir la longueur de la ligne sur le terrain , les deux points' mentionnés devraient (être choisis aux extrémités de la droite donnée sur le levé, afin d'éviter les chaînages qu'il faudrait exécuter ultérieurement dans le cas où l'on n'aurait pas eu cette attention. "

a68. On peut résoudre encore le problènae pro-

A LA PLAîrcnFTTE. l83

posé (rune autre manière. Soit prolongée la droite xy^ fig. 64» donnée sur la minute, jusqu'à la rencontrer, delà droite aé^correspondânt à la direction AB du terrain. On pourra trouver, à l 'aide de l'écheUe du plan , le nombre de mètres représentés par la ligne a/-, les faire chaîner ensuite de A en /? vers Bi et le point R du terrain ,sera te^ point correspondant à celui r du levé. Cela p(>sé,' on 6e mettra en station en R^ et la ligne de foi dé l'alidade étant sur là ligne Txy^ on fera planter un jalon X dans là direction fournie par son plan de collimation, et RX' sera évidemment la ligne du terrain correspondant à celle rxy ajoutée à son plan.

Si l'on désirait connaître en outre les eltrémités de la ligne cherchée, ilfaiulrait voir à l'échelle quels nombres de mètres valent les longueurs des lignes nr, xf^ afin de les faire chaîner de R en A" et de X' en y, dans la direction RX\ Les points X, Y y ainsi trouvés, seront évidemment ceux du terraitl, ayant! X ^ty pour positions sur la minute.

VHP §. Par un point ^onné sur It terrain ^conduire ^ à V aide de la ' ptanchette j une droites dans une situation indiquée, relativement à urie autre droite > assignée sur le terrain^ : • ;••

269. En particularisi^nt cet énoncé général, Ja. solution dii pfoblèrné proposé fpurnit, entre autres, celles de^ àtxxt problèmes suîvans: ,

Par un point donné sur lé terrain ^ conduire^ à . r aide de la planchette ^ soit une parallèle , soit une

1 84 I.EVis

perpendiculaire , à une autre droite assignée sur le terrain.

370. Les solutions de ces problèmes particuliers , comme celle du problème général, pourront offrir trois cas difTérens; car les deux extrémités de la droite assignée seront ou non accessibles^ ou bien une seule d'elles le sera pendant qu on ne pourra aborder la seconde. Quel que soit celui des cas où Ton se trouve > on relèvera avec la planchette les positions relatives ab^ c^fig. 65, de la droite ^£, et du point C^ assignés sur le terrain. On fera des opérations intermédiaires si les localités les rendent indispensables, et il sera possible de se mettre ensuite en station au point C Or, si on trace sur le levé la droite r^f ayant relativement à ab la situation que doit avoir à Tégard de jiB la ligne cherchée sur le terrain, cd sera évidemment la position de cette droite. On se mettra donc en station en (7, pour faire planter un jalon D' dans le plan de collimation de Talidade, pendant que la ligne de foi de cet instniment passera par cd^ et la ligne CD' du terrain sera celle qu'il était questiop de tvouver.

a7i« Ge problème reçoit des applications dans le percement des JarêtSy quand les laies doivent faire partie d'un même système , coordonné à une direction principale.

IX® §. Tracer sur leterraùiy à laide de la planchette y la ligne droite qui joint deux points donnés invisibles Fun de Vautre.

aja. Le problème énoncé offre trois cas difFcrens^

A n pLAPrcnETTE. i85

puisque les points donnés peuvent ep outre être ou non tous deux accessibles, ou Tun inaccessible et l'autre abordable. Quoi qu'il en soit, ce problème n'en est pas moins très-facile à résoudre. Il suffît pour cela de lever le plan d'un polygone acdefh,Jig. Çi&j conduisant de Tun des points donnés à Tautre ; de sorte que la dtoite abj qui sur le levé joindra les positions a,é, de ces points, que nous désignerons par A et j?,'sera la «position de la ligne qu'il s'agit de tracer sur le terrain ; ce que Ton peut exécuter de plusieurs manières.

S'il est possible de stationner à l'un des points ^, J?, on le fera, et alors le plan de collimatîon de l'alidade fournira la ligne AB cherchée, par sa trace sur le terrain, si l'on a mis d'abord la ligne de foi de l'instrument sur la droite àh du levé. On pourra donc planter autant de jalons qu'on le voudra , dans la direction AB^ et tracer ainsi cette ligne sur un terrain libre et découvert.

273. On prévoit sans doute de quelle utilité est cette solution, pour ouvrir à travers les forêts , des laies joignant en ligne droite deux points assignés. Dans ce cas particulier, le polygone conduit entre les deux points extrêmes de la laie, ne pourra passer que par les communications déjà ouvertes dans la forêt, ou le long ''de sa lisière s'il n'existe intérieument aucun chemin.

a 74. Si l'on ne pouvait approcher d'aucun des deux points -^,iB, entre lesquels la ligne cherchée doit être conduite, on ne pourrait généralement la tracer que par points. Il faudrait alors partir de l'un des sommets

l86 LEVÉS ^ t

du polygone acdefb^ du point e par exemple, et cheminer, par un embranchement tel qœ eghy à la rencontre du lieu où le point de la ligne ÂB doit être déterminé. Supposant que du point G du terrain dont g est la position, on puisse aboutir à la ligne jiB^ par une direction représentée en gh sur la planchette, il suffira de mesurer ^ilz àTéchelle et de faire chaîner suivant cette direction,, et à partir dp G, un nombre de mçtres égal à lanaesurede^;

car.l'çxtréinité de la. distance mesurée sera^videm-*

ment un point de la ligne AB. On peut, de la même mamère, obtenir autant de points qu'on veut, de cette droite.

S'il est possible d^ stationner à Tnn des points obtenus, on pourra évidemment tracer avec des jalons, la pprtion adjacente de la ligne -dfjB, lorsque le terrain le permettra, en se conduisant à ce point . comme ,oa a-dijt4e.lç faire. n® 272, à celui des deux points donnés qu on supposait accessible.

X* §. Jl Taide de la pla,nchelie^ prolonger en ligne droite et au delà d\un obstacle bormuU la vue , une l^gne donnée sur le terrckin. ',

1-]^. Quelque deux cas puissent se présenter dans la résolutiop de ce problème, puisque la droite à prolonger peut être ou non accessible, les opérations à faire différeront peu lès unes des autres.' Tout se réduit en effet à lier la position ab de la ligne à prolonger en ligne droite au delà d'un obstacle opaque, tel qu'un édifice^ un bouquet de 'bois, etc*, avec

A T.A PLAirCHETTE. 187

le plan d'un polygone cde... tournant l'obstacle, et de l'extrémité e duquel on juge devoir apercevoir le prolongement de la ligne donnée , suivant la direction représentée en ^par exemple. Cela fait, sur la minute 9 on prolongera indéfiniment ab vers fg^ et l'on mesurera à l'échelle b longoeur représentée par la ligne ef; en sotte que, si Ton fait chaîner une égale longueur dans la direction correspondant à ef^ et à partir du point dont e est la position, l'extrémité du cb^Uiage sera le point du prolpngem^Uit cherché, représenté par le point /"du levé; . r

On peut de la même manière trouver d'autres points de ce prolongement, s'il n'est pas possible de stationner au premier point obtenu, afin de disposer le plan de coUimation de l'alidade suivant le prolongement cherché, pour le tracer sur le terrain avec des jalonç. '

ayG. Nous terminerons ici ce dernier chapitre, que nous aurions pu grossir indéfiniment, en y réunissant les solutions de beaucoup d'autres problèfnes, qu'il nous eût été, sans doute, facile de nous proposer. Nous pensons en effet que les exemples qu'on y a trouvés, suffiront pour faire voir comment on devra procéder avec la planchette,» à la résolution des divers problèmes dont on pourrait avoir à s'occuper.

Fm DU TRAITÉ BKS LEVÉS A LA PLANCHETTE.

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