On peut construire des tables de logarithmes
plus ou moins étendues, permettant d'effectuer les calculs avec plus ou moins de précision.
Les principes sur lesquels on s'appuie pour faire usage d'une table de logarithmes sont toujours les mêmes; d'ailleurs, chaque table particulière comporte une instruction qu'il faut avoir soin de lire attentivement avant de se servir de la table. Nous nous contenterons donc d'indiquer comment on peut se servir de la table de logarithmes à quatre décimales placée à la fin de ce volume (Table I) ; comme tables à cinq décimales, nous signalerons celles publiées par J. Bourget (librairie Belin).
La Table I placée à la fin de ce volume contient avec quatre décimales les parties décimales des logarithmes des nombres depuis 100 jusqu'à 999. Pour trouver par exemple la partie décimale du logarithme de 478, on cherchera 47 dans la colonne intitulée N, puis sur la ligne en face de 47, on cherchera le nombre qui se trouve dans la colonne surmontée en haut du chiffre 8, dernier chiffre du nombre donné : c'est 6794. De même pour trouver la partie décimale du logarithme de 200, on cherche 20 dans la colonne N, et dans la ligne qui commence par 20, on cherche le nombre situé dans la colonne surmontée en haut du chiffre : c'est 3010. Les colonnes 0, 1 , 2, 3,4 sont toutes au verso des pages, les colonnes 5, 6, 7, 8, 9 au recto.
Ceci posé :
1° Soit à chercher le logarithme d'un nombre donné sous forme décimale.
On détermine d'abord à vue la caractéristique du logarithme; ensuite, on place par la pensée la virgule dans le nombre donné, de façon que le nouveau nombre obtenu ait une partie entière de trois chiffres ; ce nombre est donc de la forme N -f- a, N étant compris entre 100 et 1000, a étant inférieur à 1, et il suffit de chercher la partie décimale du logarithme de N -f- a. Celte partie décimale est comprise entre celle du logarithme de N et celle du logarithme de N -f- 1 , nombres tous deux inscrits dans la table : on voit d'ailleurs par l'inspection de la
table que les différences log N — log (N — 1), log (N + I) — log N, log (N + 2) — : log (N + *)> sont sensiblement égales; donc, dans les environs du nombre N, à des accroissements égaux du nombre correspondent des accroissements égaux du logarithme : si donc d est la différence log (N -f- 1) — log N, différence qui se calcule à vue en unités du quatrième ordre décifrial, la partie décimale du logarithme de N -f- a sera celle de log N, augmentée de la quantité ad, exprimée en unités du quatrième ordre décimal.
Soit par exemple à calculer le logarithme de it=3,1416. La caractéristique est 0; la partie décimale du logarithme de 314 est 4969 ; la différence log 315 — log 314 est de 14 unités du quatrième ordre décimal; on a 14x0,16=2,24 ; et par suite, puisque nous ne gardons que quatre chiffres décimaux :
log * =0,4969 + 0,0002 = 0,4971.
On écrit :
log 3,14 =0,4969 14X0,16 = 2,24
log 3,1416=0,4971.
Avec un peu d'habitude, un tel calcul se fait de tête, en regardant simplement la table. C'est ainsi que Ton trouve
log 271,83 =2,4343, log 0,098976 =2,9955, log 0,0036305 = 3,5600.
2° Soit à chercher le nombre qui correspond à un /ogarilhme donné.
On fait le calcul inverse. Si par exemple le logarithme donné est 0,4971, on cherche dans la table le nombre 314 dont la partie décimale du logarithme est 4969, nombre le plus voisin possible de 4971 et plus petit que 4971 ; on remarque la différence 2 entre 4971 et 4969, et la diffé*
Progressions et logarithmes. 307
rence 14 entre les parties décimales de log 315 et log 314 ; on divise 2 par 14, et Ton prend le quotient à un dixième près par défaut ou par excès, 0,1 ; le nombre formé par les quatre premiers chiffres du nombre cherché est 3141 ; il ne reste plus qu'à placer la virgule convenablement, ce qui se fait en regardant la caractéristique :1e nombre cherché est 3,141.
On trouvera de même
pour le logarithme 3,3495 le nombre 2236,
164. — On peut résoudre les mêmes problèmes à l'aide de la Table II, qui est une table A' antilogarithmes à quatre décimales; elle contient les nombres compris entre 1000 et 10000 dont les parties décimales des logarithmes sont successivement 000, 001 , 002, . . 998, 999 : elle est disposée comme la Table L
L'usage d'une telle table se comprend tout de suite.
1° Soit à chercher le nombre qui correspond à un logarithme donné.
Soit, par exemple, 2,3497 le logarithme donné : on cherche 34 dans la colonne L, et, dans la ligne qui est en face de 34, on cherche le nombre 2234 situé dans la colonne surmontée du chiffre 9 ; la différence entre ce nombre et le suivant (celui qui correspond à 350) est 5 ; le produit de cette différence 5 par le nombre 0,7 que l'on obtient en faisant exprimer des dixièmes au dernier chiffre du logarithme donné, est 3,5, ou en ne gardant que les unités, et forçant le chiffre 3 comme d'habitude, 4; le nombre cherché commence donc par 2234 -(- 4 ou 2238; il ne reste plus qu'à placer la virgule, ce qui se fait en regardant la caractéristique : le nombre cherché est 0,02238.
2° Soit à chercher le logarithme d'un nombre donné sous forme décimale.
On fera le calcul inverse du précédent ; mais il est préférable de se servir de la Table I, de même que, pour
ANDOYER. — ALGÈBRE. i4
308 LÎVRR IV.
résoudre le problème précédent, la Table II est plus avantageuse.
165. — On voit que les Tables I et II, prises ensemble ou isolément, permettent d'effectuer à l'aide de logarithmes des calculs dans lesquels on conserve les quatre premiers chiffres des nombres à partir du premier chiffre significatif. Le résultat lui-même sera obtenu avec quatre chiffres ; mais il est trop clair qu'on ne peut répondre en aucune façon du dernier, surtout si le calcul est un peu long : en général on peut compter avec une quasi-certitude sur les trois premiers.
Pour effectuer un calcul logarithmique, on sait que si le résultat du calcul est donné par une série de multiplications, divisions, élévations à des puissances, extractions de racines, on est ramené à des additions ou soustractions de logarithmes, à des multiplications ou divisions de logarithmes par des nombres entiers. Ces opérations ne demandent aucune explication particulière si les logarithmes sur lesquels on opère ont tous leurs caractéristiques positives, et si Ton ne rencontre que des soustractions possibles, au sens arithmétique; examinons le cas où certains de ces logarithmes ont des caractéristiques négatives.
Soit, par exemple, l'addition
On additionne comme d'habitude en commençant par la droite, et on trouve la partie décimale 4429 avec la retenue 2; alors on dit 2 et 2, 4, et — 5, — 1, et — 3, — 4; le résultat est 4,4429. Ceci résulte de ce que, d'après les conventions faites, 5,6117 représente le nombre —5+0,6117,3;9171 représentée nombre — 3+0,9174, et que pour calculer la valeur du polynôme
on peut calculer d'abord la somme
puis la somme 2 — 5 — 3, ce qui correspond aux opérations faites.
De même, s'il faut retrancher 3,9824 de 2,3485, on retranchera 9824 de 3485, ce qui donnera 3661 avec la retenue 1; on dira alors 3 et 1 de retenue, 4; 4 de 2
reste— 2; le résultat est 2,3661. En effet la différence 2,3485 — 3,9824 peut s'écrire sous la forme (1,3485
— 0,9824) + (1—3) ou encore (1,3485— 0,9824) + (2
— 4), ce qui correspond aux opérations faites. On expliquera de même les soustractions :
Pour multiplier un logarithme à caractéristique négative par un nombre entier, on fera les mêmes remarques que pour l'addition; ainsi
On a multiplié la partie décimale par 4, ce qui a donné 1384 avec la retenue 2, et on a dit 4 fois —3, — 12, et 2 de retenue, — 10.
Enfin pour diviser un logarithme à caractéristique négative par un nombre entier, on fait le calcul inverse du
précédent; pour diviser par exemple 10,1384 par 4, on prend le multiple de 4 immédiatement supérieur à 10, soit 12; et Ton dit, le quart de — 12 est — 3; je retiens 2; le quart de 21 est 5; je retiens 1 ; etc. Le résultat
est 3,5346.
On a de même :
166. — Pour retrancher a de b, il suffit d'ajouter — a à b; donc, pour retrancher un logarithme d'un autre,
il suffit d'ajouter à celui-ci la différence enlre et le premier, écrite elle-même sous forme de logarithme. On ramène ainsi une soustraction à une addition, ce qui peut être avantageux si Ton a à faire plusieurs additions et soustractions successives.
La différence entre et un logarithme, écrite sous forme de logarithme, est le complément de ce logarithme ; le complément du logarithme de a est le cologarithme de a.
Le complément d'un logarithme s'écrit à vue : soit à former le complément de 3,2937; en faisant la soustraction
on trouve 4,7063; de même le complément de 3,2937 est 2,7063. On voit que l'on a la règle pratique suivante :
1° On ajoute 1 à la caractéristique du logarithme donné et on change le signe de la somme obtenue : c'est la caractéristique du complément;
2° on remplace chacun des chiffres de la partie décimale par son complément à 9, ce qui se fait à vue, sauf le dernier chiffre significatif qui se remplace par son complément à 10; on obtient ainsi la partie décimale du cornplément.
Exemples :
Si log a — 0, 4 980, on a colog a = ï,8020 ; si log a = 5,0800, on a colog a — 4,9200 ; si log a= 7,3972, on a colog a= 8,6028.
167. — Donnons maintenant des exemples de calculs logarithmiques.
1° Soit à calculer
On a la disposition suivante :
log 3,217 =0,5075 log 0,1691 =ï,2282 2 log 0,1691 =2,4564 log 2,614 = 0,4173 colog 2,614 = 1,5827 log 37,93 =1,5790
3 colog 37,83 = ï,4737 | log 37,93 =0,5263
logo? =2,0203
2° Calculer le poids d'une sphère pleine en or, dont le rayon est 13 om ,47, sachant que la densité de l'or est 19,26.
Si x est le poids cherché exprimé en kilogrammes, on a :
x-=r gTrX 1,347 X 19,26,
et par suite le calcul suivant :
log 4 = 0,6021 log 1,347=0,1293
colog 3 = 1,5229
log tu = 0,4971 3 log 1,347 = 0,3879
log 19,26 = 1,2847
log x = 2,2947 a?=197 K8r ,l.
3° Quel est le rayon d'une sphère en or qui pèse 97 K?r ,84? Si x est le rayon cherché exprimé en décimètres, on a :.
d'où le calcul :
log 97,84 = 1 ,9905 log tu = 0,4971 log 3 = 0,4771 log 19,26 = \ ,2847
colog 4 = ï,3979
colog tc = 1,5029
colog 19,26 = 2,7153
3 log x = 0,0837 log x = 0,0279 x = 1 dn S067.
Nous trouverons plus loin d'autres exemples.
§ 3. — Tables de Logarithmes des lignes trigonométriques des angles.
168. — Pour effectuer les calculs de trigonométrie, il est avantageux de posséder une table donnant non pas les valeurs de ces lignes, mais leurs logarithmes.
La Table IH, placée à la fin du volume, contient les logarithmes des six lignes trigonométriques de tous les angles aigus de dix minutes en dix minutes, avec quatre décimales.
Les logarithmes des sécantes, cosécanles et cotangentes sont les compléments des logarithmes des cosinus, sinus et tangentes correspondants; nous les avons inscrits dans la table pour plus de commodité. De même le logarithme d'une tangente est la différence entre les logarithmes du sinus et du cosinus correspondants.
On sait comment les lignes trigonométriques d'un angle obtus se déduisent de celles de l'angle aigu qui est son supplément.
La Table III est disposée absolument comme la Table des lignes trigonométriques placée à la fin du Cours de géométrie : on s'en sert de la même façon en faisant bien attention que les logarithmes des lignes sinus, langentes
et . augmentent en même temps que l'angle aigu,
tandis que les logarithmes des lignes cosinus, -= et
7— - diminuent lorsque l'angle aigu augmente.
Exemple. — Calculer les logarithmes des lignes trigonométriques de 39° 53'.
1° logsin39°50'=ï,8066 15X0,3 = 4,5
log sin37°53'=f,8071
(15 est en unilés du quatrième ordre décimal la différence entre log sin 40° et log sin 39° 50').
2° log 4- 39° 50' = 0,1 93 4 15x0,3 = 4,5
° sm ' '
log 4- 39° 53' = 0,1929.
3° logtg 39°50' = ï,9212 26x0,3 = 7,8
logig 39° 53' = 1,9220.
4° log— 39°50' = 0,0788 20x0,3—7,8
tfe
log.— 39°53' = 0,0780.
5° log cos 39° 50' = ï, 8853 10x0,3 = 3
log cos 39° 53' = î,8850.
6° log— : 39° 50' = 0,1147 10x0,3 = 3
log— 39° 53' = 0,1 150.
° cos
2° Quel est l'angle x tel que log sin #=ï,3415? On a :
log sin # = ï,3415
log sin 12° 4(y = 1.3410 «7. = 0,1
3° Quel est l'angle x tel que log cos a? = ï,5728?
On a :
log cos a? = ï,5728
log cos 68° = T,5736 ^ = 0,3
Ces exemples montrent suffisamment que l'usage de cette table est le même que celui de la Table des lignes trigonométriques.
Remarques. — 1° Lorsque les angles sont petits, inférieurs à 5°, la table ne permet plus le calcul des
logarithmes des lignes sinus, -r-, lang, -. avec précision; leurs différences successives varient trop vile; il en
est de même pour les lignes cosinus, — , tang, t — -
quand l'angle est supérieur à 85°.
Dans ces cas, on ne calcule plus sur les lignes mal déterminées qu'avec trois décimales, parce que, en conservant ce nombre de chiffres, les différences successives varient assez peu pour permettre l'interpolation.
Enfin, si l'angle donné x est très petit, inférieur à 1°, et si n est sa valeur en minutes, on peut appliquer les formules suivantes :
log sin # = log n-\- 4,4637.
log tg x=\og w-f- 4,4637.
Ce nombre 4,4637 est le logarithme du sinus et de la tangente de l'angle de {'.
Connaissant les logarithmes du sinus et de la tangente,
on a facilement ceux des lignes -t— et
sin tang
De même, si l'angle est supérieur à 89°, on ramène la recherche des logarithmes de ses lignes trigonométriques à la même recherche relative à son complément.
2° On verra que, comme quand il s'agit des valeurs mêmes des lignes trigonométriques, un angle est d'au-
tant mieux déterminé par la connaissance du logarithme d'une de ses lignes trigonométriques que la différence tabulaire correspondante est plus grande; aussi délermine-t-on mal un angle inférieur à 35° par le logarithme de son cosinus, et un angle supérieur à 55° par le logarithme de son sinus. En général, il vaut mieux déterminer un angle par le logarithme de sa tangente.
3° Nous avons supposé plus haut qu'on ne déterminait les angles qu'à une minule près; on peul avoir dans bien des cas une plus grande approximation quand la différence tabulaire est suffisamment grande ; on pourra donc dans les calculs où les données sont connues avec précision, et si les circonstances le permettent, déterminer les angles au dixième de minute près.
169. — Gomme exemples, nous allons résoudre par l'emploi des logarithmes les mêmes exercices que dans le Cours de géométrie : on devra se reporter aux notations qui y ont été employées.
1° Résoudre un triangle rectangle , connaissant a=169 m , B = 22°37'.
On a d'abord :
puis
6 = asinB, c = acosB, S = ê>6c,
d'où le calcul
log a = 2,2279 log a = 2,2279 log b = 1 ,8129
log sin B = 1,5850 log cos B = 1,9652 log c = 2,1931
log 6 = 1,8129 log c=2,1931 colog 2 = 1,6990
log S = 3,7050 6=65 m ,0, c = 156 m ,00, S = 5070 m *.
2° Résoudre un triangle rectangle, connaissant b = 65 m , B = 22°37, On a d'abord :
puis
6 b bc
a "~~sinB' C ~~tgB' S ~~2 ; d'où le calcul .
log 6 = 1,8129 log 6 = 1,8129 logé = 1,8129
1 1 loff c = 2 1 932
log -r-^ = 0,41 50 log ,—5 =■= 0,3803 , * - r ' aûA ° sin B ' tg B ' colog 2 = 1 ,6990
log a = 2,2279 loge = 2,1932 log S = 3,7051 rt = 169 m ,0, c = 156 m ,0, S = 5071 nta «.
3° Résoudre un triangle rectangle, connaissant a=169 m , b=65 m .
On a :
sinB = -, C = 90° — B, c = a cos B, S=^bc, a z
d'où le calcul
log b = 1,8129 log a= 2,2279 log 6 = 1,8129 log a = 2,2279 log cos B = 1,9652 log c = 2,1931
log sin B = ï ,5850 log c = 2 , 1 93 1 colog 2 = 1,6990
log S = 3,7050 B = 22°37', C = 67°23', c = 156 m ,0, S=5070 m «.
4° Résoudre un triangle rectangle, connaissantb=6b m , c = 156 m .
Où a :
tgB = -, C = 90° — B, a = -^r = — ^r, S = |ôc,
& c sin B cos B 2 '
d'où le calcul
log 6 = 1,8129 log c = 2,1931 log 6 = 1,8129
log 0=2^ i = log e = 2 1931
log tg B = 1 ,6198 cos B ___ colog 2 = 1,6990
log a = 2,2279 log S = 3,7050 B = 22°37', G=67°23', a=169 m ,0, S = 5070 m *.
5° Résoudre un triangle, connaissant a = 201 m , B = 38°42', C = 18°14'.
On a :
A=rl80° — B — C = 123°4',
. a sin B asinG 1 . .
sin A ' sin A ' 2
d'où le calcul
log a = 2,3032 log a = 2,3032 log a = 2,3032
log sin B = ï,7960 log sin C = ï,4954 lo 8 b = 2,1759
1 ,1a a^- ]o S sin C = 1 ,4954
lo gihr = ' 0767l °8m = ' 0767 œlog 2 = 1,6990
log 6 = 2,1759 log c= 1,8753 log S =3,6735
6° Résoudre un triangle, connaissant b=150 m , c=75 m T
On a :
B + C A 2 yU 2'
on emploie la formule (Exercice 8, p. 279, Cours de géo-
métrie) ig - (B — C) = ^p cotg ^ >
et Ton a ainsi B et G ; puis on a :
b sin A c sin A „ 1 . . .
a= — : — 5T = — ' — 7Ti S==ô6csinA.
smB sin G 2
et par suite
log (b — c) = 1 ,8751 log b = 2,1761
colog (b + c) = 3,6478 log sin A = ï,9233
log-^=ï,7342 lo giî ^g=l,2038
° 2 log a = 3, 3032
loglgg(B — C. = ï,257i
log ^ = 2,1761 loge = 1,8751
logsinA = ï,9233
colog 2 = ï, 6990
log S = 3, 6735 B=38°43', C = i8°13', a = 201 m ,0, S = 4716^.
7° Résoudre un triangle, connaissant a = 201 m , b = 150 m , c=75 ra .
On emploie les formules (Exercice 6, p. 179, Cours de géométrie) :
g 2 V P(P~ a ) g 2"~V PiP-*) '
t c t / (p-«)(P-ft) ,
S = Vp(p-a)(p-b)(p-c), ou
log p = 2, 32.84 log {p — b)=.\, 7993
log (p — a) = 1,0792 log (p — c) = 2,1399
] g ( p ft) = i ,7993 C olog p = 3,6716
log (p - c) = 2,1399 colog (p fl) = 2 j9208
2 log S = 7,3468 .
log S = 3,6734 2 log tg ^ A = 0,5316
log tg s A =0,2658
log ( p — c) = 2,1399 log (p — a) = 1,0792 log (p — a) = i ,0792 log (p — b) = 1,7993
colog p = 3,6716 cologp = 3,6716
colog (p — 6) = 2,2007 colog (p — c) = 3,8601
2 log tg^Br^ 1,0914 2 log ^ C= 2,4102
log tg g B = 1,5457 log tg |C= 1,9051
Ces mêmes formules serviront à résoudre rapidement les problèmes sur le terrain.
Exercices
