in

identique à la proposée, est elle-même convergenie (370), puisque ses termes sont respectivement inférieurs à ceux de la série

dont nous avons déjà établi la convergence (377, 2").

Or la série (i), dont nous venons de démontrer la convergence, devient divergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement. Elle est, en effet, remplacée alors par la série harmonique (3G3).

Cela posé, nous allons grouper autrement les termes de la

ALaEBUE SUPERIEURE.

série (i), en prenant constamment deux termes positifs et un terme négatif dans l'ordre même fourni par les termes de la série. On obtient, de cetle manière, une nouvelle série

oïl les termes positifs sont avancés et les lermes négatifs reculés. Bien que les termes soient identiques de part et d'autre, nous allons montrer que les deux séries n'ont pas la même limite.

Remarquons que, lorsqu'on prend deux par deux les termes de la série (i), le /^'^'"'' groupe a pour expression

2 rt — I 2 n

En faisant dans cette expression « = i , 2, 3, . . . , n, on obtient, deux par deux et dans leur ordre, les différents termes de la série. Par suite, on peut égaler la limite S de la somme de la série (1) à la somme des valeurs obtenues en donnant à n, dans l'expression (a), toutes les valeurs entières possibles depuis « = i jusqu'à «=:cc. C'est ce qu'on exprime en posant

On peut également prendre quatre par quatre les termes de la série (i). Le /i'^'"'' groupe a, dans ce cas, pour expression

En y faisant, de même, /i=:i, 2, 3, ...,«, on obtient, quatre par quatre et dans leur ordre, les différents termes de la série. Par suite, on peut égaler aussi la limite S à la somme des valeurs obtenues en donnant à n, dans l'expression ((3), toutes les valeurs entières possibles depuis n = i jusqu'à n =r 00. On a donc encore

(B) Szz.2

4 /^ — 3 [\ii — 2 [\n — I [\n

33o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

D'autre part, si l'on prend trois par trois les termes de la série (2), le n'^"»^ groupe a pour expression

En y faisant /i = i, 2, Z, . . ., n, on obtient, trois par trois et dans leur ordre, les différents termes de la série. Par suite, en désignant par S' la limite de la somme de la série (2), on peut l'égaler à la somme des valeurs obtenues en donnant à n, dans l'expression (y), toutes les valeurs entières possibles depuis n =z 1 jusqu'à n = x, et poser

Retranchons, à présent, l'expression (,3) de l'expression (y). Le résultat de cette soustraction est

Ainsi, la différence des deux expressions (y) et i^) est précisément la moitié de l'expression (a). On a donc identiquement, c'est-à-dire quel que soit n,

4/1 — 6 4/1 — 2 4/1 — 1 4ny 2^2/1 — I 2/1

Si nous donnons à n, dans cette identité, toutes les valeurs entières possibles depuis « = 1 jusqu'à /i=:oo, et si nous ajoutons membre à membre tous les résultats obtenus, nous aurons évidemment, d'après les formules (A), (B), (C),

quelle que soit S.

Comme la série (i) est convergente, il résulte de là que la série (2), tout en changeant de somme, est restée convergente : c'est ce qui nariivcia pas toujours.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 33 l

Des séries à signes alternés (théorème III).

39i. m. Lorsque les termes cV une série sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils décroissent indéfiniment en valeur absolue en ayant pour limite zéro, la série est convergente.

Nous donnerons deux démonstrations de ce théorème remarquable.

Première démonstration. — On peut appliquer directement le caractère général de convergence des séries (365).

Soit, en mettant les signes des termes en évidence, la série

Pour qu'elle soit convergente, il faut et il suffit qu'on ait

lim ±{u^— «„+i+ ?/„4-2— ««4-3 + - ■ •— ««+p-i) =0,

quel que soit p, quand n croît indéfiniment. Mais, s'il s'agit de démontrer qu'une quantité dont la valeur aljsolue est A a pour limite zéro, son signe n'exerce aucune influence, puisqu'on a (340)

lim ±: A =dz lim A.

Il suffît donc de considérer l'expression

Comme on a, par hypothèse,

il est évident que cette expression est, à la fois, positive et plus petite que «„. On peut, en effet, l'écrire des deux manières suivantes :

et

«/Z— ("«4-1— "/,4-2) — («« + 3— 11,1+:) — . . •— ll,i + p-\'

Elle est donc comprise entre o et u^, et c'est une moyenne entre ces deux extrêmes. Comme d'ailleurs u^ tend vers zéro quand n croît indéfîniment, elle a donc finalement zéro pour limite, et la série proposée est convergente.

On voil que, lorsqu'on conserve seulement les n — i premiers termes de la série, l'erreur absolue qu'on commet est inférieure à m„.

Deuxième démonstration. — Soient S la somme de la série, supposée convergente, et S,, S2, Sj, . . ., S„ les sommes partielles formées par le premier, les deux premiers, les trois premiers, . . ., les n premiers termes de la série.

En remarquant que les sommes d'indices impairs sont terminées par un terme positif et celles d'indices pairs par un terme négatif, on peut écrire ces sommes partielles comme il suit :

h] :^ Uq,

Si=(«o— «l)+ («2— "3), 85= Mo— ("1— Z/.) — («3— "i),

Comme on a, par hypothèse,

on voit que les sommes d'indices impairs vont constamment en diminuant, tandis que les sommes d'indices pairs vont constamment en augmentant. Les sommes d'indices impairs constituent donc une suite indéfiniment décroissante et, les sommes d'indices pairs, une suite indéfiniment croissante.

Il est d'ailleurs facile de prouver que les sommes d'indices impairs sont toutes plus grandes que les sommes d'indices pairs, quelles que soient les sommes que l'on compare.

n et n' étant des entiers quelconques, prenons, par exemple, les sommes

^2n-ï-l 61 Son'*

Nous distinguerons deux cas, suivant que n' sera < ou > n.

Soit n' <C n.

Les sommes d'indices pairs allant en augmentant, on a alors

Mais, puisque S2,,-hi= S2„+ «2/0 on en conclut, a fortiori,

Soit «'> /i.

Les sommes d'indices impairs allant en diminuant, on a

Mais, puisque S2„-hi = S2„ h- «/,« > on en conclut, a fortiori,

Il résulte de là que, si les sommes d'indices impairs vont constamment en diminuant, elles restent toujours supérieures à une somme quelconque d'indice pair. Elles tendent donc vers une certaine limite fixe, qui est le plus petit nombre audessous duquel elles ne peuvent pas tomber.

De même, si les sommes d'indices pairs vont constamment en croissant, elles restent toujours inférieures à une somme (juelconque d'indice impair. Elles tendent donc aussi vers une certaine limite fixe, qui est le plus grand nombre qu'elles ne peuvent pas dépasser.

Nous n'avons plus qu'à prouver que les deux limites indi- (luées sont les mêmes et qu'elles représentent la somme S de la série.

En eîïol, d'après la loi de décroissance des termes, les sommes d'indices impairs étant terminées par un terme positif l'emportent toutes sur S, et les restes correspondants de la série sont négatifs.

De même, les sommes d'indices pairs étant terminées par un terme négatif sont toutes inférieures à S, et les restes correspondants de la série sont positifs.

En prenant deux sommes partielles consécutives, .S,^ et So/t+i, on peut donc écrire, quel que soit n,

Or on a

et, par hypothèse, à mesure que n croît indéfiniment, Uo,^ tend vers la limite zéro. Les sommes partielles considérées, dont la différence est un infiniment petit (336), tendent donc constamment vers une limite commune et, comme elles com-

prennent toujours entre elles la somme S, cette limite commune est précisément S.

La convergence de la série est ainsi démontrée.

D'après ce qui précède, la limite supérieure de l'erreur commise en s'arrêtant à un certain terme de la série est représentée en valeur absolue par le terme suivant. En prenant So,, au lieu de S, l'erreur commise est, en valeur absolue, moindre que le premier terme négligé M2«-

Si le premier terme négligé est positif, l'erreur est par défaut; si le premier terme négligé est négatif, l'erreur est par excès.

393. Nous avons supposé, dans notre deuxième démonstration, que la série commençait par un terme positif. La seule différence, si elle commençait par un terme négatif, c'est que la série et toutes les sommes partielles considérées seraient négatives au lieu d'être positives.

396. Il n'est pas inutile de représenter graphiquement les résultats qu'on vient d'obtenir.

Sur une ligne droite indéfinie OX, à partir d'une origine fixe 0, portons, dans le même sens, des longueurs proportionnelles aux différentes sommes partielles.

0 s, Si Se S., S3„+, S., Ç, S, X

Les longueurs OSi, OS3, OS3, ..., correspondant aux sommes d'indices impairs, vont en diminuant; les longueurs OS2, OS4, OSg, . .., correspondant aux sommes d'indices pairs, vont en augmentant. Les extrémités de ces deux suites de longueurs occupent sur la droite OX des régions complètement distinctes et qui ne peuvent empiéter l'une sur l'autre; mais elles se rapprochent constamment, de sorte que, à la limite, il n'y a plus, entre les deux régions, qu'un simple point de démarcation S. La longueur OS est proportionnelle à la somme S de la série.

Applications.