CHAPITRE V

ÉTUDE DE LA SÉRIE e. — LEilITE DE ( 1+ - ) QUAND CROIT INDÉFINLMENT. — SÉRIE e^.

Étude de la série e.

398. La série connue sous ce nom et qui joue un rôle si important en Analyse est la suivante :

III I

Nous allons démontrer que cette série est convergente et qu'elle a pour limite un nombre incommensurable, qu'on peut calculer avec une approximation quelconque en prenant dans la série un nombre suffisant de termes.

399 1° Convergence de la série.

Nous avons ici (373)

Un-^\ i

Un ~ « H- 1

Ce rapport, plus petit que i, tend vers la limite zéro, lorsque n croît indéfiniment : la série est donc convergente.

iOO. ?." Limite de l'erreur commise sur la somme de la série, en s' arrêtant à un certain terme.

Supposons qu'on s'arrête au terme u^ inclusivement, et cherchons la limite de l'erreur que l'on commet alors sur la valeur de la série.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SSq

On a

et, à partir de ce terme, le rapport d'un terme au précédent est égal, puis inférieur à — On a, par exemple,

On peut donc prendre le nombre fixe A"< i, au-dessous du-

quel le rapport "^' finit toujours par tomber en tendant vers

sa limite (371, 373), égal à Alorr, le premier terme

négligé M„+i a pour expression ku„, et les suivants sont moindres que /<■-«„, k^u„, .... de sorte que (371) la limite de l'erreur commise en conservant les (n + i) premiers termes de la série est inférieure {Alg. élém., 3i2) à

ku„

c'est-à-dire à

= - Un.

Si l'on désigne par s l'erreur commise en s'arrêtant à «„ inclusivement, on a finalement

401. 3° La limite de la somme de la série est un nombre incommensurable compris entre 2 ~ et 3.

La somme de la série est comprise entre les nombres 2 { et 3.

En effet, les trois premiers termes de la série constituant une somme égale à 2 ^, la valeur de la série est supérieure à ce nombre.

D'autre part, les termes suivants de la série satisfont évi-

34o ALGÈBRE SUPÉRIEt RE.

demment aux inésalités

Le reste de la série, au delà du troisième terme, est donc

inférieur à la limite de la somme des termes de la progression

par quotient, décroissante et illimitée, qui a pour premier

terme — et, pour raison, -, c est-a-dire a 2- 2

La limite de la série est, par conséquent, inférieure à 2

ou au nombre 3.

Il reste à prouver que cette limite est un nombre incommensurable.

Admettons, pour un instant, qu'elle soit égale à un nombre

commensurable -• On aurait alors évidemment, p et a étant des entiers,

I (f/^lj(<74-2) (^-|-lj(^-+-2)(grH-3)

Multiplions les deux membres de cette égalité 5«/>/:>o5ee par le produit 1 .2.3. . .^. Le premier membre deviendra le nombre entier /». 1 .2.3. . .(9- — i). Dans le second membre, tous les

termes, depuis i jusqu'à la fraction

> se transfor-

nieront en nombres entiers dont on représentera la somme par l'entier N, et le multiplicateur de la parenthèse se trouvera réduit à l'unité. On aura donc finalement

ALGÈBRE SUPÉRIEUriE. 34 I

Mais, à partir du second terme, les différents termes de la parenthèse du second membre sont respectivement inférieurs aux fractions

La parenthèse elle-même est donc inférieure à la limite de la somme des termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée,

qT'l ^ (7 + T7 ^ {q + I)^ + (^ + i)-* + • • •'

c'est-à-dire à