SI V
rapp-ort -. — ~ le rapport - — , et il viendra immédiatement sin6.z; bx
,. sinaa: .. ax a lim - — ; — ^ lim ~ — = y siny^ bx b
527. On peut donner une autre forme, souvent plus commode, à ce premier principe.
En effet, lorsque La limite du rapport de deux injiniment petits est égale à l'unité, la différence de ces injiniment petits est infiniment petite relativement à chacun d'eux; et, réciproquement, si la différence de deux infiniment petits est infiniment petite relativement à chacun d'eux, la limite de leur rapport est égale à l'unité.
Soient a et [3 les deux infiniment petits, et ô leur différence.
Si l'on a
lim -^ =1 et a — p = o.
on déduit évidemment de la dernière égalité (341, 342)
lim 75 = iH- lim 75 et lim -^i — lim-* p p a a
Ces deux relations justifient la proposition énoncée; car, si
l'on a lim 7^=1, ce qui entraîne lini - = i , on a, à la fois
lim-=:o et lim:5=o;
et si l'on a, par exemple, lim- =0, il en résulte
lim - =1, lim 75 =1
et, par conséquent, hm 0=0.
On peut donc énoncer comme il suit le puemier principe :
La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas modifiée, lorsqu'on leur substitue d'autres quantités qui en difièrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes.
528. Lemhe. — Si la somme de quantités infiniment petites, dont le nombre croit indéfiiniment, a une valeur déterminée S ou tend vers une limite fiinie S, et qu'on les multiplie respectivement par d'' autres quantités infiniment petites, la somme des produits obtenus a pour limite zéro ou est infiniment petite.
Soient
a,, ao, a3, ..., «„,
les infiniment petits proposés dont la somme est S ou a pour limite S, quand n croit indéfiniment; soient
Wj, OJ2, W3, . . ., G)„,
d'autres infiniment petits.
Formons la somme
ai Wi + «2 Wo + y-i 0)3 + ... + y-n 0)„.
Désignons par co, la valeur absolue de celui des infiniment petits de la seconde suite qui a la plus grande valeur absolue. Il est évident que la somme que nous venons d'indiquer sera
moindre, en valeur absolue, que le produit (a,+ «2+ «3 + . . .+ «„)&)/.
Or la limite de ce produit est égale (340, 343) à
S limwj-, c'esl-à-dire à zéro. Le lemme est donc démontré.
529. Deuxième principe. — La limite de la somme de quantités infiniment petites, dont le nombre augmente indéjinim,ent; reste la même quand on leur substitue d'autres quantités dont les rapports arec les premières ont respectivement l'un ité pour lim ite .
Soient
les infiniment petits considérés, et
les infiniment petits dont les rapports aux précédents ont respectivement l'unité pour limite.
Le théorème est évident quand n est fini, puisque la limite d'une somme de quantités en nombre fini est égale à la somme des limites de ces quantités (34.2) et que, si l'on a
hm^ =1, Pi on a aussi
limai=: lim (3,.
Mais il ne l'est pins quand n est infini. Il faut alors une démonstration spéciale, qui nécessite le lemme que nous venons d'établir (528).
Si l'on a
lim
Pi" '
lim:^
lim -^ -=1,
lim
les
rapports
inverses
ont
aussi r
unité pour
limite
, et r
on peut
poser
Êi-
= 1 -+- COi,
= 1+ Wa,
Dr C. — Cours. III.
en désignant par Wj, &),, M3. • • -, ^hn d'autres infiniment petits tendant vers zéro en même temps que les précédents. On déduit évidemment de ces égalités
lim((3,-f-;3, + P3 4-.
lim(ai+ cy.2-h y-s-^.
+ lim(aiaj, 4- agcj;
Mais, en supposant que les conditions du lemme (528) soient remplies, la limite de la dernière somme du second membre de l'égalité résultante est zéro, et l'on a simplement
lim(!3i + [3, 4- j33 + . . .-H (3,.,) = lini(a, + «2+ «3 -*-•• • -H ««)•
530. On peut appliquer à l'énoncé du deuxième principe la même modification (527) qu'à l'énoncé du premier principe.
On peut donc théoriquement les réunir, et leur ensemble constitue le principe fondamental suivant :
Principe fondahemal. — Les limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits, dont le nombre augmente indéfiniment, ne sont pas modifiées, lorsqu'on leur substitue d'autres quantités qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites relativement à eux-mêmes.
Cet énoncé général permet de supprimer respectivement, dans les quantités infiniment petites qu'on peut avoir à considérer, toutes les parties infiniment petites relativement à ces quantités elles-mêmes. Ainsi, un infiniment petit d'ordre supérieur est, en vertu de ce principe, négligeable devant tout infiniment petit d'ordre moindre (520). Les calculs peuvent être par là grandement simplifiés; et il n'en résulte aucune erreur dans la recherche des limites de rapports ou de sommes de ces quantités infiniment petites.
Nous en avons rencontré de nombreux exemples en Géométrie (t. II).
531. Les principes que nous venons de démontrer (526, 529, 530) ne sont autre chose, en réalité, que la Méthode i.\i'iNiTÉsiMALE elle-même, et celle-ci, comme on le voit, n'est qu'une des formes de la Méthode des limites (348).
ALGÈBRE SUPÉRIEUllE. 435
Les quantités infiniment petites s'introduisent en effet, précisément, dans le calcul des grandeurs déterminées, soit en regardant une pareille grandeur comme la limite du rapport de deux infiniment petits, soit en la concevant comme décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites. Le premier point de vue appartient aux modernes; le second point de vue a été celui des anciens et, notamment, d'ARciiiMÈDE.
Le Calcul dlJJérenUel découle du premier principe (526), tandis que le deuxième principe (329) se rapporte spécialement au Calcul intégral.
436 ALGÈBRE SUPÉraEURE.
