Nous simplifierons l'écriture en posant
X,.=: a/. j;,-h a; j;. H- «^0:3 +.,.+ a^Xp,
V,= A-, -ar
c'est-à-dire en mettant les équations (i) [86] sous la forme
(2) X,= V, ir=i,2,3,...,n).
Nous considérerons alors les expressions V,, Vj, V3, ..., V„, comme les seconds membres des n équations (2). Rien ne sera cbangé par là au système proposé.
89. Ces préliminaires établis, nous pouvons énoncer la proposition qui renferme toute la théorie des équations du premier degré :
j* Pour (jue n équations linéaires à m inconnues soient
ALGEBRE SUPERIEURE,
COMPATIBLES, U faut et il suffît que tous les déterminants caractéristiques du système soient nuls ou qu'il n'en existe aucun. 2° Les équations données étant compatibles, le système qu'elles forment admet lxe solution unique et déterminée, lorsque toutes les inconnues sont principales {auquel cas m = n ■=^ p). Lorsque toutes les inconnues ne sont pas principales, le système est indéiekminé.
90. Nous démontrerons d'abord la première partie de celte proposition.
Formons les deux déterminants suivants, en les égalant à zéro.
aÇ+' . .
— Vï
^p-l-OL
Dans le premier, nous ferons varier [3 depuis i jusqu'à p, et nous aurons/) équations; dans le second, nous ferons varier a depuis i jusqu'à n — p, et nous aurons n — p équations. L'ensemble des expressions (3) et (3') constitue donc un système de n équations entre les m inconnues x^, x^, x^, . . . , x,^.
Nous allons comparer le système (2) au système (3, 3') et prouver leur équivalence.
Il est d'abord évident que toute solution du système (2) satisfait au système (3, 3'); car, pour cette solution, la dernière colonne de chacun des déterminants (3) et (3') est composée d'éléments nuls, et ces déterminants sont nuls (52).
Réciproquement, toute solution du système (3, 3') satisfait au système (2).
En effet, multiplions respectivement les équations (3), ce qui ne changera pas leurs solutions, par les facteurs
a-j-, «Zy, <2y, . • • , Cl^,
y étant l'un des nombres i, 2, 3, . . ., p. Il suffira pour cela de multiplier la dernière ligne du déterminant (3) par le facteur considéré (oi), c'est-à-dire de remplacer l'élément i de cette dernière ligne par ce facteur. Les nouveaux déterminants obtenus ne différeront que par leur dernière ligne, où tous les éléments sont nuls, excepté le facteur introduit à la place de i. Par conséquent, (3 devant varier de i à /o, ou le rang de la colonne où se trouvait l'élément i devant varier de I à/?, on n'aura, pour ajouter ces nouveaux déterminants, ce qui est permis {Alg. élém., l'22), qu'à conserver toutes les autres lignes du déterminant (3), en remplaçant la dernière par la somme do toutes les dernières lignes des nouveaux déterminants (08) ou, à cause des éléments nuls, par hi ligne
«Y Oy «Y .
On a ainsi la relation
.. aÇ
Xy-\"..
En écrivant la dernière colonne comme nous l'indiquons, celte relation devieni
a\ a\ ... a'I X, — V, 4- o a\ al ... qP X. — W 4- o
+ Xy-Vy
74 ALGEBKE SUPERIEURE.
et l'on voit alors qu'elle se décompose (56) en deux déterminants dont l'un, formé par toutes les colonnes moins la dernière, est nul comme présentant deux lignes identiques {hl), et dont l'autre, formé par toutes les colonnes moins l'avant-dernière, est précisément égal eu valeur absolue au déterminant principal ô multiplié par le facteur Xy — V^y (51). On a donc, puisque ô n'est pas nul (87),
ou
Si l'on considère maintenant le déterminant (3'), les solutions qu'on vient de trouver annulent tous les éléments de la dernière colonne, moins le dernier. Les équations (3') se réduisent donc (51) à
OU a
^p+OL — ' p+a.
11 résulte de celte anal3'se que toute solution du système (3, 3') vérifie le système (2). Ces deux systèmes sont bien, par suite, équivalents, et nous pouvons considérer le système (3, 3') à la place du système (2).
Nous allons simplifier le système (3, 3').
Prenons d'abord le déterminant (3) qui est d'ordre p + i. 11 équivaut, à cause de l'élément i de la dernière ligne (51), au déterminant mineur de première classe obtenu en supprimant la dernière ligne et la colonne de rang j3, supposées toutes deux amenées préalablement au premier rang (59). On fera ensuite passer la dernière colonne à la place de la colonne de rang [3 supprimée. Pour ne rien changer à la valeur du déterminant, on devra, à cause de ces échanges (46), le multiplier par les deux facteurs (— i)p+?-' et (— i)p~^^, dont le produit est — i. Ainsi le déterminant (3) devient d'abord
a\-' X.-V, «?+' ... af
Xp— \ p
ALGEBRE SUPERIEURE.
A cause de la colonne composée (58), ce déterminant (4) peut ensuite se mettre sous la forme
al
On obtiendra les équations (3) en égalant ce résultat à zéro et en faisant varier |3 depuis i jusqu'à p.
Mais, à cause de la composition de X,, Xj, . . ., X^ (88), la deuxième partie du déterminant (4) est la somme des déterminants obtenus en prenant successivement dans la colonne composée une colonne partielle. En mettant en facteur commun dans cette colonne partielle l'inconnue qu'elle renferme (j7i, x^, ^3, . . . ou Xp), on fait apparaître deux colonnes identiques dans le déterminant correspondant qui est, par suite, égal à zéro. Il n'y a d'exception que pour la colonne partielle où l'indice supérieur du coefficient île l'inconnue a la valeur donnée à [3 et oiî le facteur commun est xu. On a donc, en réalité, à la place du déterminant (4) et pour les équations (3),
ci\ .
al .
. af
aj, .
al
«r' al «^•
at' al a^'
ou, le second d»!'lerminant n'élant autre cliose que le déterminant principal ô,
'j6 ALGÈBRE SUPÉPaEUUE.
Quant au déterminant (3'), il est égal, si l'on tient compte de la composition de Xi, X,, . . ., X^, X^+a, en même temps que de celle de Vi, V2, . . ., V^, Vp+.a, à la somme des déterminants obtenus en prenant successivement dans la dernière colonne composée une colonne partielle. Tant que le rang de la colonne partielle choisie sera inférieur ou égal à p, le déterminant partiel correspondant sera nul comme ayant deux colonnes proportionnelles (00). Lorsque le rang de la colonne partielle choisie dépassera /? + i, on obtiendra, sauf le facteur commun a:p+^ à mettre en évidence, un déterminant partiel d'ordre p-+-i, déduit du Tableau (T) [86]. Ce déterminant d'ordre p-\-i sera nul, lui aussi, d'après la définition du déterminant principal (87). Il ne restera donc plus, comme valeur du déterminant (3'), que le déterminant partiel correspondant à la colonne partielle de rang /> -H i (88) ou à la colonne partielle formée par les termes tout connus des équations (i) [86], changés de signe, c'est-à-dire (o4)
al
.. al
kp
^/j-hOL
Or ce déterminant n'est pas autre chose que le déterminant caractéristique Op+a, changé de signe (87).
Il en résulte que les équations (3') se réduisent à
^p + OL
En divisant l'équation (5) par ô qui n'est pas nul, on substituera finalement au système (3, 3') le système formé par les équations (5, 5') ou par les équations
i^r' Vi a^^'
ALGEBRE SUPERIEURE.
et
(6') èp+-^ — o (« = i,2, 3, ...,« — /)).
Les équations (6') sont indépendantes des inconnues, condition qui n'est pas remplie par les équations (6). Il faut donc, pour que les équations (6, 6') soient compatibles, que les équations (6') soient satisfaites d'elles-mêmes, c'est-à-dire que le système (i) n'admette pas de déterminants caractéristiques ou que tous ses déterminants caractéristiques èp+i, èp+^, èp+^, ..., à^y soient nuls.
Inversement, s'il est ainsi, le système (6, 6') se réduit aux équations (6). D'ailleurs, à n'étant pas nul et V,, Vo, . . ., V^, étant des fonctions linéaires de Xp+^, Xp+^, Xp+z, • • •> •*";«) on voit que, pour tout système de valeurs attribuées arbitrairement à ces inconnues, on obtient, par ces équations (6), pour les autres inconnues x^, x-^, x^, . . ., .'^p, des valeurs déterminées. En d'autres termes, les équations proposées sont compatibles.
La première partie de la proposition fondamentale, énoncée au n° 89, est donc établie.
