Soit

une équation entre les deux variables j: et ^. Les racines

(*) Une traduction du Mémoire de M. Minding a été publiée dans le tome VI du Journal de Mtuhémaùquet purei et appliquées.

y sont des fonctions de x, et, si Téquation est complète, chaque racine, ainsi qu'on Ta vu au n** 268, peut être développée dans une série de la forme

en sorte que, dans le cas général, les racines / d'une équation à deux variables x e\y sont du premier degré par rapport à a:(*\ Mais il n'en est pas toujours ainsi, lorsque l'équation que l'on considère manque de quelques termes. Nous allons indiquer un procédé pour trouver généralement les degrés des racines j^ de l'équation ( i ) , et pour former les développements de ces racines en séries ordonnées suivant les puissai^ces décroissantes de or. En ordonnant l'équation ( i ) par rapport aux puissances décroissantes de y^ nous l'écrirons de la manière suivante ;

(2) Aj'»-4-Air'"«-f-...-4-Ajfc7"'*-h...-f-A/^'«i-4-A/+,=o, et nous désignerons par

les degrés des coefficients

A. Al, A,, . . ., Ajt, . . ., A/, A,^j,

qui sont des fonctions entières de x.

Cela posé, désignons par r un exposant indéterminé, par u une nouvelle variable, et faisons

(*) On dit qu'une fonction j" de x est do de{p*é r, lorsque le quotient

^— U eit ni nul ni infini pour x = ao . X' ^

638 COURS D^ÀLGEBRB 813PÉIIIBUEE.

l'équatîon (2) devient

(3) Ax'«'•|l"'-^-AlX'».'•«"*.-h...-+-A4,J:'"l''tt'««-^...^-A/^:=:0,

OU, en divisant par Ax""",

4 «"'-h — II'". -H... -h -^ ^ tt'"*-f-...-h-"^'- —

dans cette équation, les degrés relatifs à j: des coefficients des termes qui suivent le premier sont respectivement

\ ^ ''Xm — m, ]

ï [m — fnj^]{ /|» •••» lîii /;•

\ ^ ^ \ w — nifc ; \ w y

Désignons par p^ le plus grand des nombres

m — nii

et supposons que - soit le dernier de ceux qui sont

égaux à Pi. Si Ton faitr = pi, quelques-uns des nombres (5) seront nuls, mais tous les autres, et en particulier ceux qui suivent le A'*"*, seront négatifs; en sori€ que, pour .r = 00 , Téquation (4) prendra la forme

(6) tt'"-f-. . .-hB^ii'^* — o, ou «'"»/(«) — o,

les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier d'entre eux B;t étant différent de zéro. Cetr« équation (6) a 7«A racines nulles, et ni — nij^ racines finies et différentes de zéro. Il s'ensuit que, parmi les racines j^ de l'équation (2), il y en a m^ dont les degrés sont inférieurs d p^, et m — nifi dont les degrés sont égaux à 0| . En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières

SECTION II. CHAPITRE V. 63g

racines sont égaux aux diverses valeurs de «x^«, quand on prend successivement pour a chacune des racines de Téquation

Cherchons maintenant les premiers termes des séries qui représentent les m* racines j^ de degré inférieur à pi . En divisant l'équation (3) par A^ x'"*'", elle devient

/ A xf '"-'"»)'■

j «m ^ j i^nn >!....

V A* Ak

les coeflicients des termes qui précèdent u'^k ont pour degrés

et ceux des termes qui suivent u"*» ont pour degrés

Désignons par fa le plus grand des nombres

et supposons que — — — soit le dernier de ceux qui

sont égaux à jOa- H est aisé de voir que p^ est plus petit que /5|. En effet, on a, par hypothèse,

/7Z — /Wjt • /w — m^-'

= ou <p,

ou >/),

640 COURS D'ALGkBIlE SUPÉRlEUIlB.

et Ton en déduit

£^^-<?i. ou p.<pt.

Si Ton faitr= C2, les nombres (9) sont nuls ou négatifs, et en particulier tous ceux qui suivent le {k — Ay*™' sont négatifs. On voit aussi que tous les nombres (8) sont né~ gatifs; car, si g^ est <^ A, on a, par hypothèse,

avec ~ ^ = Pi»

m — nifc ^^

d'où

et .''-*ZliV p,>o.

nig — m^

D'après cela, si Ton y fait /' = pa et j: = 00 , Téquation (7) prendra la forme

(10) tt'"*-H. . .-h Bjt/tt'"*'=r 0, ou «'"*'/,(l/) =10,

les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier B;i/ étant différent de zéro. Cette équation (10) a rrik* racines nulles et nin — /«a/ racines finies et différentes de zéro. II s'ensuit que, parmi les racines j^ de l'équation (2), il y en a mf^i dont les degrés sont inférieurs à pa, etm^ — iHf^ dont les degrés sont égaux à p^* En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières racines sont égaux aux valeurs de ax^* quand on prend successivement pour OL chacune des racines de l'équation

En continuant ainsi , on déterminera les premiers termes des séries qui représentent les m^/ racines de degré inférieur à j02* Ce que nous avons dit suffit évidepiment pour établir le théorème suivant :

SGCTIOn II. — CHAPITRE V. 64'

Théorème. — Etant donnée V équation

Aj"' H- A,jr'"« -l-- . . . 4- A/j'" i -h A/+, = o,

ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de y, et dans laquelle les coefficients

A, A,, A, Ai.4.1

sont des fonctions entières de x ayant respectivement pour degrés

si pi désigne le plus grand des nombres

U.y — U. f^î — ÇA f*,-4-l — ^ . , 5 . . . , ,

ni — m

et que — '- soit le dernier de ceux dont la valeur

' m — irik

est pi^ l'équation proposée aura m — nik racines de

degré ptj etsi k est <^ i ■+- 1 ^ les mk autres racines seront

de degré inférieur à p{. Si, en second lieu, p2 désigne

le plus grand des nombres

et que — — soit le dernier de ceux dont la valeur

est p2f l'équation proposée aura nik — /«*/ racines de degré p^j et si h! est <^i-\-iy les m^t autres racines seront de degré inférieur à p^- Si, en troisième lieu, p^ désigne le plus grand des nombres

et que "-^ — soit le dernier de ceux dont la valeur

m^j—rnj^j,

est jDj, r équation proposée aura ntki — uiffii racines de S., Alg.sup. — I. 41

0*42 COURS d'algêbue stjpérietjke.

degré p^^ et si k' est <^i -\-i, les nikff autres racines seront de degré inférieur à pa, et ainsi de suite.

Quand on aura trouvé les premiers termes des séries qui représentent les diverses racines j- de l'équation proposée, on obtiendra aisément et de la même manière autant de termes qu'on voudra de ces séries. Considérons, par exemple, une racine dont le premier terme soit aa% on posera

ii la proposée n'a qu'une seule racine dont le premier terme soit ax^, la transformée en z n'aura qu'une seule racine de degré inférieur à ^o, et si la proposée a plusieurs racines ayant ax^ pour premier terme, la transformée aura un pareil nombre de racines de degré inférieur à p. On trouvera les premiers termes de ces racines de l'équation en z, comme on a trouvé les premiers termes des racines de l'équation en j ; on connaîtra ainsi les deux premiers termes des racines de l'équation en y qui ont ax^ pour premier terme. El, en suivant la même marcbc, on calculera autant de termes que Ton voudra des racines de l'équation en^.

Exemple. — Proposons-nous de trouver les degrés des racines j' do l'équation

nous désignons, a\cc Bézout, par la notation 'Xj\X) un pohnùme en x du dc^ré u.

D'après le théorème que nous venons d'établir, il faut d'abord former les nombres

SECTtCVN II. — CHAPITTIE V. 643

dont le maximum est -\ le dernier nombre égal à ce maximum occupeint le deuxième rang, Téquation proposée a deux racines de degré -• Pour avoir les degrés des autres racines, il faut former les nombres

dont le maximum est — ~\ le seul nombre égal à ce

maximum occupant le troisième rang, Téquation pro-

posée a trois racines du degré — - •

Formation de V équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux éi/uations quelconques à deux inconnues, — Déterniinalion du degré de l'équation finale.

2u0. Soient les deux équations

» N(.r, y. — Bx" -+- B, J«. -f . . . -r- By r"; 4- By^ . :^: 0,

que nous supposons ordonnées par rappoi t aux puissances décroissantes de y, et dans lesquelles les coefficients A, A|, . . . , B, B,, . . sont des fonctions entières de x. Il s'agit de former Téquation fînale qui résulte de réliminalîon dej^.

Désignons par riij>2y • • m y m les racines de l'équation (i) résolue par rapporter, parrî^, rj2; • •? *?/* les racines de Téquation (2), et posons

P - M .r,*ri M r, „,;,..M ;.r, 7,^\ Q ^^ N ;.r, r, N [r, ra) . . . N ^.r, J„ ).

644 couns d'algèbre suvéhieuee.

On a

M(^,j):=rA(r-ri)(jr-V,)...(r-

d'où

M(.r,ï3,) — A(i3, — r,)(iî, — r,]. . .{î7, ■

-Jm)»

M(.r,>îj; r= A:>ï, — Ji ):»î, — J,;...(^,-

Il suit de là que -— est égal au produît des différences

qu'on obtient en retranchant chacune des racines j<, Jsi • • • >Jmde chacune des racines tii, Tj,, r^j, . . . , t,„. On

trouverait de même que — est égal au produit des différences qu'on obtient en retranchant chaque racine r, de chaque racine j>^, et, comme le nombre de ces différeru^es est mw, on a

A« ^ ^ B'" ou

(3) B'"Pr^(— ij^'^A^Q.

Or P est une fonction entière et symétrique des racines de l'équation (2), et ses coefficients sont des fonctions entières des coefficients de l'équation (i;^ donc H*"? est une fonction rationnelle des coefficients des équations proposées, et qui même est entière par rapport aux coefficients de l'équation (r). Pour la même raison A"Q est une fonction rationnelle des coefficients des équations proposées et qui est entière par rapport aux coefficients de l'équation (2). Donc, à cause de l'équation (3), B^P est une fonction entière des coefficients des équations (i) et 1^2), et, par suite, elle est une fonction entière de x.

SECTIO» II. CHAPITRE V. 64^

Nous la désignerons par F (:j:), et nous allons montrer que

est Téquation finale quî résulte de Télimination dcj^ entre les équations proposées.- En effet, soit a une valeur de x répondant à la question, c'est-à-dire telle, que les équations

aient au moins une racine commune; on a nécessairement, pour a: = a, P=o et Q = o, et, par suite, F(j:)=o. Réciproquement, soit a une racine de Y{x) = o j à cause de

Bm p f __ i]m/i A« Q = F (.r),

on a nécessairement P = o et Q = o pourx = a, et, par suite, les équations

ont au moins une racine commune. Cela suppose toutefois que A et B ne soient pas nuls en même temps, pour X = a\ mais il est évident que les équations proposées admettent alors la solution commune x = a^y = co , Au surplus, on peut exclure ce cas particulier en changeant infiniment peu les coefficients des polynômes A et B sans changer leurs degrés; d'où il suit que Téquation (4) n'aura jamais de racine étrangère. Et cette considération permet aussi de voir que, si A et 6 ont un facteur commun, le polynôme ^{oc) sera divisible par ce facteur.

Lorsque les polynômes A, A^, . . . , B,B|, . . . sont chacun le plus général possible de son degré, les équations (i) et (a) n'ont pas de solutions multiples et ne peuvent acquérir qu'une seule racine commune y pour chaque ra-

cine de Téqualidn finale. M»iis le contraire peut arriver si les cocnicients des polynômes A, A<, . . . , B, B,, ... ont des valeurs déterminées. Dans ce cas, cliaque racine de Téqualion finale aie degré demuUlplicilé convenable : il sufiit, pour s'en convaincre, de changer infiniment peu les coefficients des poJynomes A, A, , . . . , B, B^, . . . , <*t de supposer ensuite ces cliangements nuls.

Passons maintenant à la déterminalion du degré de l'équation finale. Pour cela, on chercliera les degrés fi, pa, ..., p„ des racines y?,, r,^. ...,r,„ de l'équation (2), et l'on en conclura aisément les degrés X, , X^? • • • » ^vi d^'s fonctions Mfj?, yj,), M(x, y:2), . . . , M(.r, y,,;). Ces degrés 2 peuvent être fractionnaires, mais ils ne sont jamais négatifs, parce que le polynôme A/^i est au moins du degré zéro. Enfin, si l'on désigne par v le degré du pohnômeB, il est évident que le degré de B'"P ou F(a:) sera

Il peut arriver, dans quelques cas particuliers, qu'il ne suffise pas de déterminer les degrés jO|, p2, .-., p„pour connaître À|, Xj, ...,). /m et qu'il soit nécessaire de calculer entièrement un ou plusieurs termes des séries qui représentent les racines 7:1, yja ym- Mais il est évident que

ces cas particuliers ne peuvent se présenter que si la série dans laquelle se développe l'une des racines y?,, ^2 » •••»yj/i coïncidc% dans quelques-uns de ses premiers termes, avec la série dans laquelle se développe l'une des racine?

Xi » .V- • • • • » ,J ffi •

Soient, pour exemple, les deux équations

[t, 8]y^-i- (.r, 6) y -4- (.r, C)]y-{- (.r, 4)yM- [:r, V y -^\^^^ -- O^

OÙ [x, p.) désigne, comme plus haut, un polynôme quelconque du degré a.

Les degrés pijOj, 03, 04, pg des racines de la seconde équation ont ici pour valeurs

pr-

=^Pî =

Pj-

pi

Pî =

on

en

déduit

D'ailleurs, v = 8 et m z^ 4 ? donc le degré de l'équation finale est ici

la limite assignée parle théorème de Bézout est6.i3 ou 78.

Lorsqu'on a deux cîquations entre deux inconnues x et ->', il peut arri\ er que l'équation finale résultant de l'élimination de j ne soit pas du même degré que l'équation qui résulte de l'élimination de x, Eflectivement, l'équation finale en x donne seulement les valeurs finies de X propres à satisfaire aux deux équations proposées, et si l'équation finale enj est d'un degré plus éle\é que celle en x, il y a nécessairement quelques racines de l'équation en y qui correspondent à des valeurs infinies ou indéterminées de x. D'après ce qui a été ditpiécédeniment, il sera facile, dans chaque cas, de déterminer ces valeurs.