PO R R

des fractions-?? ^ ne sera comprise entre — et ■^; en

conséquence, les rapports ^^7 et ^^ seront positifs. Si ces

rapports sont supérieurs à Tunité, les fractions ■— et -j^ seront deux réduites consécutives de z\ dans le cas contraire, soii il viendra

traire, soit ^= c-H —^ c étant Tentier contenu dans r, Si

Mc-f-M' M ^ , , ,

ce qui montre que r^ rrr et — sont alors deux ré-

duites consécutives de z. Or, au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, il suffît évidemment d'introduire

dans - un quotient de plus ; si donc la réduite — embrasse /r -t- 3 quotients au moins, la fraction — sera une

réduite de Zy et elle sera précédée de la réduite —y*

Il faut pour notre objet prendre le quotient complet J^ égal à z' ; par conséquent, pour que la fraction -^ ou

PoS^-p;r^ QoS'-q;r'

soit une réduite de z répondant au quotient complet qui

précède z'j il peut être nécessaire d'employer deux péri riodes de quotients, au moins, pour former la fraction -;; ;

mais deux périodes suffiront toujours si k est supérieur à I . Lorsque k est égal à i , la période se réduit à un seul

terme a ; les rapports ttt et j^ seront positifs si Ton prend

- = a H — î et il est facile de vérifier que ces mômes rapports seront supérieurs à i , à moins que l'on n'ait a = i. Dans ce cas particulier d'un seul quotient égal à l'unité, il est nécessaire d'introduire trois quotients au moins

dans la réduite - •

Désignons par—^ la valeur de l'expression précédente, lorsqu'on emploie n périodes de quotients pour former -• ^ on aura, en remplaçant P^ et Q'^ par leurs valeurs

SECTION I. CBAPITKB II. ^3

tirées des formules (6),

«, = P.(S' + ÎR')-P.|,

on, en éliminant P| et Qi par le moyen des formules (12),

$„ = P. (s' -f- ^^ R'^ - (EPo - FQo) ^ R',

^» = Q. (s' + ^-i^ R'^ - (DPo - EQo) 'j R'.

R' D'après notre hypothèse, ^ est une réduite de z' qui répond au dernier quotient de la /i**"*® période ; d'ailleurs -^ est la réduite qui répond au même quotient pris dans

la première période; donc les valeurs de R' et de S' seront données par les formules (12), si Ton y remplace

Po et Qo par 6 et 6', D, E, F par ^^,^\ E', — D', et

qu'on écrive n — i au lieu de tz ; on a ainsi

En faisant usage des formules (i3) et {14), ainsi que des relations

qui résultent de l'identité

74 couns d'algèbre supérieure.

on obtient les valeurs suivantes de R' et S' : *

p/ ^ et a— wj

Les expressions précédentes de $„ et de ^n deviennent ensuite

«« = Po^.~(EPo-FQo)r„,

^« = Qo««-(DPo~EQo)p„, et par conséquent on a

ce qui démontre bien que, pour les valeurs de n supé-

rieures à i, les fractions -—^ sont les réduites qui répon-

dent aux quotients complets précédant les quotients égaux à z' dans les périodes successives de la fraction continue z. Il faut remarquer que la première des ré-

duites -—^ 9 savoir -— ? ? peut répondre à un quotient com-

pris dans la partie non périodique.

31. Le cas de n = i constitue une exception; la fracp__ tion -~ peut être une réduite de z ou de a:, et dans ce

dernier cas elle répond toujours à un quotient compris

dans la partie non pério(fique ; il peut arriver aussi que

P la fraction — ^ ne fasse partie des réduites d'aucune des v-i

fractions continues x eiz.

Le cas de tz = a fait lui-même exception, comme nous l'avons déjà dit, lorsque les périodes de x et de z se réduisent à un seul quotient égal à l'unité. L'équation

ôx* — 25j:-t-3i = o

en offre un exemple. Les deux racines soni

— lO lO '

les réduites -■- de x qui répondent aux quotients périocliques sont données par les formules

On tire de là

Po 7 Pi 5 h — }^ h. — ^ Ei — il

Qo 3' Q,-4' Q.-7' Q3"ii' Q*~i8' •••'

puis, en donnant à n des valeurs négatives,

Dans cette dernière suite, la deuxième frac lion n'est une réduite pour aucune des deux racines j: et ^ ; la première et la troisième fraction sont des réduites de z qui répondent à deux quotients de la parue non périodique, •et ce n'est qu'à partir de la quatrième fraction que commencent les réduites relatives aux quotients périodiques.

Cas de la racine carrée d'un nombre entier.

32. On a, dans ce cas, E = o, D = i, F = — A et la formule (i i) se réduit à

P» - Q« V^Â = (Po - Qo V^i) («1» - i'n V^). P

Supposons que nos réduites ^r soient celles qui répon-

7^ couns d'algèbre supérieure.

dent aux quotients complets égaux à a -h ^Â, a étant le plus grand entier conteilu dans ^Â. Alors le premier terme de la période des quotients incomplets sera aa; on aura

~~ = ^ — a, doù Po = a — Sa, Qo = e;

en outre, comme on a ici E'= a, iy= i , les formul ^-^ ( \ • donneront

«, — a — 6a =r Po, (^4 =: € = Qo ; on aura donc

Exemple. — Soit A = 7. La période des quotients incomplets qui viennent après le premier quotient a est I, I, I, 4> I21 réduite qui répond au dernier quotient de

Pj — Qs V^ = 2024 — 765 \/7 , Ps — Qj v'7 = 3^^^7 — 12192 v/7,

d'où

33. On peut conclure de ce qui précède une propriété des réduites qui répondent au dernier quotient complet dans les périodes successives du développement de la ra« cine carrée d'un nombre entier. On a efiectivement

P;^, - Q^, s/Â = (Po - Qo V'Â)", P,n-i - Q,«-i v/Â = (Po - Qc v/Â)"*;

d'où

égalité qui se décompose dans les deux suivantes :

Si l'on désigne par X;, la réduite qui répond au quotient a -f- Y^Apris dans la tz**'"*' période, on aura

et les formules précédentes donneront

d'où il suit que la réduite X2 a est la moyenne arithmé-

A tique des deux quantités X;, et -- ? dont la moyenne

géométrique est \/X . La formule précédente peut encore se mettre sous la forme