Le problème que l’on a en vue, dans la trans

formation des équations, peut être énoncé de la manière suivante :

Etant donnée une équation f(z)— 0 du degré m, dont les racines sont représentées par z,, 22, ..., Zm, for-

mer une équation F (u) = o dont chaque racine u s'exprimepar une fonctionrationnelle donnée®(z1,22,..., zy) de pu racines de la proposée.

Il est évident que la solution de ce problème s’obtiendra

en éliminant les u quantités z,, z:,...,z, entre lesu +1 équations f(a)=0, ARE es 0 LAN CR f\z) = 0, 0 er RE nl

En traitant la question à ce point de vue, chacune des TACINES Z1, Z2,--., 2, est considérée comme ayant m valeurs différentes, et, par suite, u doit avoir en général m* valeurs distinctes; l’équation finale en w sera donc du degré m*. Il en résulte que, si l’on s'impose la condition que les quantités z,, z:, ..., z, soient distinctes, sauf le cas où la proposée aurait des racines égales, on obtiendra une transformée qui sera compliquée de solutions étrangères à la question. On peut cependant, dans chaque cas, diriger le calcul de l'élimination de manière à éviter ces solutions étrangères, mais le plus souvent il est préférable de résoudre le problème de la transformation par une autre méthode qui sera exposée dans la Section II. Nous nous bornerons ici à présenter deux exemples.

96. Prorrème ÏI. — Ætant donnée une équation f(z) = 0 du degré m, former une équation F (u) — 0 dont les racines soient les sommes prises deux à deux des racines de la première équation.

Désignons par z et par z, une racine quelconque de l'équation f (z) — 0. D’après ce qui a été dit plus haut, l'équation en u sera le résultat de l'élimination de z et z, entre