Soient, comme au n° 70, (x) Ni220, Va 0: ee

n équations générales des degrés m,,mm:,..., my respectivement entre les 7 inconnues

Z4s 229 ee. Zn:

(2) (Zn) =0 l'équation finale du degré M—M Ma... Mn

obtenucenéliminantz,,z2:,...,z,,entreleséquations(r). On aura identiquement, comme on l’a vu,

(3) S(zn)= Ti Vi+ Ta Vote + Tr Va

T,,T:,...,T, étant des fonctions entières des inconnues. On peut toujours faire en sorte que les coefficients de ces polynômes soient des fonctions entières des coefficients des équations (1), et nous admettrons qu'ils aient été ramenés à cette forme, en sorte que j ( z,) sera une fonction

entière de z, et des coefficients des équations (1). Rappelons encore que la méthode exposée au n° 73 donne le moyen de former les m systèmes de solutions des équabons (1) qui répondent respectivement aux 71 racines de l'équation ( Re

Cela posé, donnons aux coefficients

des équations (1) les valeurs particulières AC), BU), CU), ...,

et soient

(4) Voeio: MER LAS V0

ce que deviennent alors les équations (1). Désignonsaussi par f(0/(z»), T°, les valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les polynômes f(z,), T,,...; l’équation (2) deviendra

(5) FO (Zn) =0

et l’on aura x \ : 1) TION EN EX re uen OR PEAR OS RS

Supposons d’abord que le premier membre de l’équation (à )ne se réduise pas identiquement à zéro. Il est évident, par la formule (6), que les seules valeurs finies de l’inconnue z, qui puissent, avec des valeurs convenables desautres inconnues, constituer dessystèmes de solutions pour les équations (4), sont les racines de l’équation (5), et celle-ci sera l'équation finale relative au cas particulier que nous considérons.

Dans le passage des équations générales aux équations particulières le degré de l’équation finale peut s’abaisser par l’'évanouissement de quelques-uns des premiers termes

de la fonction f{z,); si ce degré se réduit à m —", l'équation finale (2) a p racines qui deviennent infinies quand on fait tendre les coefficients À, B,..., vers les limites A0), B(0),.... [Il est essentiel de tenir compte de ces racines infinies et de ne point abaisser au-dessous de 7 le nombre des systèmes de solutions des équations proposées. Ces m systèmes de solutions nous sont donnés par les formules des n°73 et 74; les formules (7) du n°73 suffisent toujours quand l'équation finale (5) n’a pas de racines égales ; autrement il faut avoir recours aux formules (8), (9), ... (n°74). Le cas où l'équation finale acquiert des racines égales mérite d’arrêter notre attention; parmi les m systèmes de solutions des équations (4), 1l s'en trouve alors plusieurs qui fournissent la même valeur pour l’inconnue z,. Il peut même arriver que À de ces systèmes coïncident entièrement, et, dans ce cas, 1ls constituent, pour les équations proposées (4), ce qu'on nomme une solution multiple d'ordre k.

L’équation finale relative aux équations générales (1) nous donne ainsi la véritable équation finale qui se rapporte aux équations particulières (4); mais, quand on veut obtenir celle-ci par une voie directe, il est essentiel de maintenir à chaque racine le degré de multiplicité qui lui convient.

87. Supposons maintenant que la fonction /(z,) se réduise 1dentiquement à zéro quand on fait A = Al, B— B(0,.... Nous poserons

A—AU)+eA), B—B(0+eBU), C—C(0) + eCU),

A), B(), CU)... étant, ainsi ques, des constantes indéterminées, en sorte que la généralité des équations (1) ne sera point altérée. En faisant cette substitution dans les polynômes Vzet T} et en ordonnant ensuite les résul-

1] de

SECTION I. — CHAPITRE IV. 189 als par rapportaux puissances croissantes de €, on aura __ y(0) 7(1) Vue rt eV, (a

rr(0) 4 à ) 9 rpm 2 a rr(3) Al; Her sr? AH NaRes DRE

' et re étant des polynômes indépendants de €. La

fonction f (z,) prendra donc la forme Han) = SO (an) + af (an) + / (an) +.

Par hypothèse, le terme f(0) (z,) est nul; quelques-uns des coefficients des puissances de € peuvent aussi se réduire à zéro, mais ils ne peuvent pas tous s’évanouir, car | l'expression précédente de f(z,) se rapporte toujours à un système d'équations générales. Désignons par ft#) (z,) le premier des coefficients qui sont différents de zéro, on aura alors identiquement

Fa (zh) — O0, "ne (zh) = O, . PACE (2h) — 0, et l’expression de f{z,) deviendra Plan) = ef (an) + FD (2)

en conséquence, l'équation finale relative au système général (1) prendra la forme

FM (z,) + sfr) (z,) +. ..— 0,

Maintenant, pour passer des équations générales aux équations particulières (4), il suffit de faire tendre e vers zéro, et à la limite l’équation finale se réduira à

FE (zx) = 0.

L'analyse qui précède nous conduit donc toujours à une équation limite, soit que les équations proposées admettent des solutions en nombre limité, soit que ces

équations constituent un système indéterminé, et admettent en conséquence une infinité de solutions.

Lorsque le premier cas a lieu, il y a pour les équauons proposées une certaine équation finale

p(Zn) 0

qui est indépendante des quantités arbitraires At), B(?, C1), et dont le premier membre est évidemment un diviseur de f# (z,);, on a donc

FO (an) = (an) (27),

D{z») étant une fonction entière de z, et des arbitraires A(1), B(1),....

Lorsque les équations proposées admettent une infinité de solutions, 1l n'y a plus d’équation finale; l'équation limite

JY(zn) = 0 correspond à ce qu’on nomme, dans la Géométrie, une enveloppe. Elle fournit les valeurs limites qui conviennent à l'inconnue z,, dans le cas d’un système variable que l’on fait tendre, suivant une loi quelconque, vers un système composé d'équations indéterminées.

88. Les considérations que nous venons de présenter peuvent se résumer par les propositions suivantes :

Le degré de l'équation finale qui resulte de l’élimination de n—1 inconnues entre n équations algébriques quelconques à n inconnues est au plus égal au produit des degrés de ces équations.

Dans le passage d'un système d'équations genérales à un système d ‘équations particulières respectivement de mémes degrés, le degré de l'équation finale peut s'abaisser, soit par l’évanouissement de quelquestermes, soit par la suppression d’un facteur.

Il serait facile d'établir par notre analyse que l’équation finale relative aux équations (4) peut toujours se mettre sous la forme

(0) (0) à (0) SA MERE A PERRET A ETS

S,, S»,..., Sh étant des fonctions entières. La détermination directe de ces polynômes multiplicateurs, dans les différents cas qui peuvent se présenter, est le problème que Bezout s’est proposé de résoudre, et dont le développement forme l’objet de la Zhéorie des équations algébriques, que nous lui devons. La solution n’est pas exempte de difficultés, et l’application de la théorie est fort laborieuse; aussi nous n’entrerons à ce sujet dans aucun détail, et nous renverrons à la Section suivante, où l’on trouvera l’exposition d’une nouvelle méthode d'élimination.

Il ne sera pas inutile, en terminant, de présenter un exemple simple dans lequel le degré de l’équation finale s’abaisse par la suppression d’un facteur. Je choisirai, à cet effet, le cas de deux équations du deuxième degré que nous avons déjà considéré au n°78. Les inconnues étant x et y, soient

V,=Py? +Qy +R —o, (r) V=PP+Q y +R —0o

deux équations générales du deuxième degré; P et P sont des constantes, Q et Q’ sont des fonctions linéaires de x, R et R’ sont des fonctions entières du deuxième degré. Les facteurs T,, T2, par lesquels il faut multiplier respectivement V, et V., ont ici pour valeurs

Ep (PQ —QP')(Py #0") PRE —PR'), T:=+ (PQ —QP')(Py +Q)+P(RP'—PR'),

et le premier membre de l'équation finale est (3) Ti Vi + Te Va — (PQ! — QP’)(QR' — RQ') — (RP'—PR'}.

Ce premier membre se réduit à zéro, ainsi que les polynômes T, et T°, lorsqu'on suppose P — 0, P'= 0. Posons, conformément à ce qui a été dit précédemment,

PES EDINEPSESRRE

les formules (2)et (3) donneront

T: / / ! ! ! ! / I / = (PQ —p'Q)Q —el(pQ— p'Q)p'r+p'(p'R—pR')|, Ta ! / ! ! : 4 = =+ (PQ —p'Q)Q + (PQ —r'0)pr + p(r'R—pR')],

T T Va F V, = (pQ'—p'Q)(QR'—RQ')—:{pR —pR'}.

nm Faisons tendre maintenant € vers zéro et désignons Par VC LU T RRQ limites de V,, V2, - et on aura Ti (pQ—pQ)Q, Te =+(PQ—p'Q)Q et ,

TAN SE Ty (PQ —p'Q) (QRt= R Q').

Si l’on remplace dans cette dernière formule TA et T{) par leurs valeurs, les deux membres contiendront le facteur pQ'— p'Q, et en supprimant ce facteur il viendra

r 47 (0) COTE / + FAO Ha QIV SQREERQE l'équation finale se réduit donc à

QRERQ=0;,

FAX

et, comme on le voit, elle s’est abaissée au troisième degré par la suppression d’un facteur.

S1 l’on suppose que x et y représentent des coordonnées rectulignes, les équations proposées seront celles de deux coniques. L’équation finale que nous venons d’obtenir fera connaître les abscisses de trois des points d’intersection, mais les deux coniques doivent être regardées comme ayant un quatrième point commun situé à l’infini; l’ordonnée y de ce quatrième point est infinie, mais l’abscisse x est complétement indéterminée.

L'existence de solutions indéterminées se manifeste même chez les équations du premier degré. Effectivement, les deux équations

ay + bx + c—o, a'y +b'x+c—=o

représentent deux droites qui deviennent parallèles lorsqu’on suppose a—0,4—0. L'ordonnée du point d’intersection est alors infinie, mais l’abscisse est indéterminée.

Théorème relatif au degré de multiplicité des solutions de deux équations simultanées à deux inconnues.

89. Il existe, à légard des solutions multiples d’un système d'équations simultanées, un théorème analogue à celui qui concerne les racines multiples des équations à une inconnue. Nous allons établir ici ce théorème en nous bornant au cas de deux équations à deux inconnues x etre

Soient

(1) AE Oo EF Tr. 0

deux équations des degrés mn et x respectivemen t et auxquelles nous supposons la plus grande généralité possible. Pour donner à ces équations la solution += x, 3? —Yy0, il suffira d’assujetur les arbitraires contenues dans / et F

aux deux conditions

(2) TRI F0) 0, En Cela étant, ordonnons f(x,y), F (x, y) par rapport à X— Xo Et Y—Yo, puis posons

PTE rot

il est évident que les premiers membres des équations (1) prendront la forme

(3) ARE N CE) pi (4) Lit XQ A go(t) LEE (x —x)" Om F{x, y}={(+r— #1) dt) +(x— 2) ®, (4) SERA 2 L. (r— x)" ®,

Pa (4), P,(t) étant des fonctions entières de £, la première

du degré 1. etla seconde du degré y ; dans ce qui va suivre,

les indices 2 et y pourront surpasser mn et n respective-

ment, mais dans ce cas on fera o,(t) — 0, D,(t) = 0. Désignons par

Ÿ (x, J)=mo(é) + (z— root) +...+ (æ —xo)a(t)

une fonction entière arbitraire, d'un degré quelconque s, des deux variables x et y, et que nous ordonnons de la même manière que les fonctions f'et F. On aura identiquement

(4) F(x, J)— fe, 7) Ÿ (x, J)=(x—x6) HE (xx) T,+ Rae en posant, pour abréger,

Ti () —o(t)a(t),

et si l'on dispose des arbitraires contenues dans les fonc-

(6) F(x,r) — f(x, r)Ÿ (x, y) =(x —r) Tr + (re — 20) IT prise

üons fet F, ainsi que de celles contenues dans Y, de mamère que l’on ait identiquement

(5) PORT 0, fi NT 0,

la formule (4) deviendra

Cela posé, supposons qu’on veuille donner aux équations proposées la solution Cu LNSUIDTAque le second membre de la première formule (3) et celui de la formule (6) se réduisent à zéro POUT L'— "THE T0

T; A 24 To

== ; ces valeurs de x et de t devront donc satis-

faire aux deux équations

a (4) + (0) ga (4) += 0

D ET 0e 0 Mais, si l’on fait varier x, et y1 de manière que ces quantités tendent vers les limites x, et yo, les deux conditions imposées aux arbitraires se réduiront à une seule à la limite, car il suffira que les deux équations

pilé) —0, V0 soient satisfaites par la même valeur de {; cette valeur sera égale à la limite vers laquelle tend le rapport 17° y — Lo

quand y,et x, tendent vers y, et x,. Comme la première des équations précédentes est du premier degré, la condition dont nous venons de parler équivaut à celle de la divisibilité de Ty par 0, (#); enfin, parce que Tyrenferme le terme 54,(t)p,(t) et que les conditions (5) laissent 5x1 (4) indéterminée, on peut supposer cette fonction choisie de manière que l’on ait identiquement

(7) res 0,

On voit donc que, si l’on dispose des quantités qui res-

tent arbitraires de manière à satisfaire à l'équation (7), on augmentera d’une unité {n° 86) le degré de muluüphcité de la solution (xs, Yo):

résulte de là que les formules (5) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que le degré de muluiplhicité de la solution (x5, 70) soit égal à Æ; ces mêmes formules expriment qu'il existe une fonction d (x, y)telle, que l'équation (6) ait lieu identiquement. Il faut remarquer que le polynôme T} n’est pas divisible paro,(t), à moins que le degré de multiplicité de la solution (x9,Y0) ne soit supérieur à À ; en outre il est évident qu’en disposant de la fonction indéterminée 5;,(t), on pourra réduire T} à une constante différente de zéro.

Remplaçons £ par sa valeur 7%, la formule (6) de- BEE—E Lo viendra (8) RE SE — f(x, y) Ÿ ÉLa VA D à jar

x (x, 7) étant, d’après ce que nous venons de dire, un polynôme de la forme

(9) 2(m91= (er) D Go le — 0)" (7

ol?

où Get G},, désignent des coefficients constants et où le

signe Ÿ embrasse un nombre limité de termes dans

chacun desquels le degré p + q4 est supérieur à k.

Nous emploierons les caractéristiques D,, D, pour représenter les dérivées denos polynômes prises par rapport àx et à y respectivement; ansiD,F(x,7), D,E (x, y) désigneront les dérivées de F{x, y) relativement à x et à y. Cela posé, si dans l'identité (8) on remplace x par x + h, et qu'on égale les coefficients de la première puissance de dans les deux membres, il viendra

(ro) DSF(x,7)—f(x,r) Det (x, 7) —4 (x, 7) Def (2,7) = Dex (x

SECTION I. — CHAPITRE IVe 193

on aura aussi, en opérant de la même manière à l'égard de y, Gr) D, F(x,)—f(x,7)D, (x) —(e,r)D, f(x, 7) =D, x (e, »). Nous poserons (2) Fifx, y)=D,/f(x,7). D:F (e,7)—De f(x, y). D, F(x, 7) et nous ferons en même temps, pour abréger l'écriture,

her) =D, far) Det(r y)—-De f(x, y). D, 4 (2,7), (sr) =D, /(x,r) Dex(ar)-Drf(r y) Dix(e, 7) Alors, en ajoutant entre elles les équations (1o)et(rr)respectivement mulupliées par+D, f{x,y) et—D.f(x, y),

on trouvera

(13) Fer) —-f(rr)h(rr)=x(e y)

Les termes du premier degré en x—x, ety—70 dans f(x, y) ont pour somme (x—x)1(t), et la dérivée de cette somme par rapport à y est égale au coefficient g det dans 9,(t), coefficient que toute notre analyse suppose différent de zéro. Il en résulte que y, (x, y) contiendra le

terme kgG(x— xs)! avec d’autres termes qui seront tous d’un degré supérieur à k—1 par rapport à x —Xo et 7 —Y; cette fonction y,(x,7) aura donc la forme

(14) MINCM | = SH en) + Ye, q (x — x }P (y — To)4

Het H,,, étant des constantes, et la somme p + q étant | supérieure à À — 1.

| Les formules (13) et(14) montrent que (x, yo) est une solution multiple d'ordre k— 1 pour les équations simultanées

en) 0; VAE ee

Ce résultat subsistera lorsqu'on donnera des valeurs particulières aux quantités qui restent arbitraires dans F et dans f, lors même que ces valeurs feraient disparaître # de

S.— Alg. sup. I. 13

194 COURS D'ALGÈBKE SUPÉRIEURE.

01 (t), pourvu cependant que v,(t) ne se réduise pas à zéro. On évitera effectivement ce cas si l’on reprend l’analyse qui précède, après y avoir changé les lettres x et y l’une dans l’autre.

Mais, si ÿ, (t) se réduit identiquement à zéro, la conclusion précédente ne peut pas être maintenue; dans ce cas, les deux équations

Dr TiN— 0; D} {Xe admettent la solution x = x, y =Yo:

Comme rien ne distingue les équations (1) l’une de

l’autre, on peut énoncer le théorème suivant que nous avions en vue :

THéorÈme. — Soient f(x, y)—=0, F(x, y) =o deux équations simultanées, et F, (x, y) la différence D, fe 7) Di F(a y) De fle,y) D, F(a y). Si les équations proposées admettent la solution x = xs, Y—=7Yyo avec un degré de multiplicité k, les équations Fi(x, y) =0, f(x, y)=—=o admettront la méme solution avec un degré de multiplicité précisément égal à k— 1, à moins que cette solution n'appartienne aux deux équations D,f (x, y)=0, D, f(x, y) —=o. Pareillement les équations Fi(x,y)= 0, F(x, y) =o admettront la solution x = x, y = 7, avec le degré de multiplicité k— 1, à moins que les deux équations DEF (x, 9) = 0 DE (x y) ton aentTReenmeRrEene solution.

On voit que, dans tous les cas, une solution multiple des équations f(x, y)—= 0, F(x, y) = o satisfait nécessairement à l'équation

Df(x,7).DeF(r,7)—D;/(x,7).D,E(r,7)=o.

90. La proposition que nous venons d'établir comprend le théorème qui se rapporte aux racines multiples des

équations à une seule inconnue; car, si on l’applique aux deux équations f(x) — 0, y — 0, dont la première a À racines égales à x,, elle indiquera que l’équation f'(x) —=0o a k— 1 racines égales à xs.

Mais le nouveau théorème n’a pas une étendue aussi grande que le premier, car nous avons exclu le cas d’une solution multiple qui satisferait aux quatre équations obtenues en égalant à zéro les dérivées relatives à x et à y des premiers membres des équations proposées. Ce cas est celui dans lequel la solution que l’on considère est une solution multiple de chacune des équations prises séparément. En effet, si l’on pose, comme au n° 89,

S — Yo =t(xz — x),

et que la fonction f(x, y) du degré m puisse se mettre sous la forme

Far) = fs —2)f pet) ++ (x — ai)" om (6),

9x (t) étant d’un degré égal à #, parmi les racines de l'équation ox) +... + (æ — 20 0m (4) 0

il y en aura k qui tendront vers des limites finies quand on fera tendre x vers xs, d’où il résulte que Æ solutions de l’équation f(x, y) = o viendront se confondre à la limite avec la solution (x, Yo). Si l’on suppose que x et y représentent des coordonnées rectilignes on pourra dire que le point (xs, yo) est un point multiple d'ordre k pour la courbe représentée par l'équation f(x, y)= 0.

Nous avons cru utile de faire cette indication, mais nous n’entrerons point dans l’examen des détails du cas singulier dont il vient d’être question. Remarquons seulement que, si deux équations

PAÉRN)—= ONTBAINT— 0

admettent la solution (x,, y) avec le degré de multüiplicité À, mais que cette solution soit simple pour chaque équation prise séparément, on pourra remplacer l’une des équations par une autre pour laquelle la solution (To, Yo) ait le degré de multiplicité k. Il est évident, en effet, qu’à la dernière des deux précédentes TS on peut substituer la suivante :

F(x,7)—f(ar)(er)=

qui remplira la condition requise si l’on détermine la fonctionŸ (x, y)comme on l’a expliqué au numéro précédent.

Application de la théorie du plus grand commun diviseur à la recherche des solutions communes à deux équations à deux inconnues.

91. La théorie du plus grand commun diviseur fournit une méthode très-simple pour ramener la résolution de deux équations à deux inconnues à celle d’un ou de plusieurs systèmes dans lesquels l’une des équations ne renferme qu'une seule inconnue. Nous allons exposer 1c1 cette méthode.

Soient

(1) Vi ONE == 0 deux équations algébriques entre les inconnues x et y.

S1 les polynômes V, et V, sont décomposables en facteurs, de manière que l’on ait

Vi VO VE)... VE, V, — VO VE)... VO),

il est évident que la recherche des solutions du Système (x) se ramènera à celle des solutions des uv systèmes

(2) vi) 0 2 — 0,

les indices supérieurs £ et j pouvant recevoir les valeurs Pam /HLetr,2,..1,7y| respectivement,

Si les équations qui composent l’un des systèmes (2) rentrent l’une dans l’autre, ce système sera indéterminé et la même chose aura lieu à l'égard du système proposé.

S1 les équations (2) ne renferment l’une et l’autre qu'une seule inconnue, x par exemple, elles seront incompatibles et elles ne fourniront aucune solution des équations proposées, à moins que leurs premiers membres n’aient un diviseur commun. Alors, si l’on prend l’une des valeurs de x qui annulent ce diviseur commun, avec une valeur arbitraire de y, on satisfera évidemment aux équations (1); ce cas est compris dans le précédent.

S1 les équations (2) renferment seulement, l’une l’inconnue x, l’autre l’inconnue y, chacune d'elles aura autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré, et en combinant successivement chaque racine x avec chaque racine y, on obtiendra tous les systèmes de solutions des

‘équations (2).

Enfin, si, l’une des équations (2) renfermant les deux inconnues, l’autre n’en contient qu'une seule, x par exemple, celle-c1 admettra une ou plusieurs racines, et la première équation fournira une ou plusieurs valeurs de y correspondant à chaque racine x. La recherche des solutions des équations simultanées (2) n'offre donc alors que les difficultés du problème de la résolution d’une équation à une inconnue.

En général, avant de procéder à la recherche des solutions des équations proposées (1), 1l conviendra de débarrasser leurs premiers membres des facteurs fonctions de x ou fonctions de y que ces polynômes peuvent admettre. On appliquera à cet effet la méthode du n° 47; par exemple, pour avoir les facteurs de V, qui ne dépendent que de x, on ordonnera ce polynôme par rap-

port à y, ensuite on cherchera le plus grand commun diviseur de deux des coefficients, puis le plus grand commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et un troisième coefficient, et ainsi de suite. Cette opération ayant été exécutée, on sera ramené, d’après ce qui précède, au cas de deux équations dont les premiers membres n’ont aucun diviseur fonction d’une seule inconnue.

92. On est naturellement conduit, comme on va le voir, à appliquer la méthode du plus grand commun diviseur dans la recherche des solutions communes à deux équations.

Soient (1) V6, W-—10 les équations proposées entre les inconnues x et y. Conformément à ce qui a été dit au numéro précédent, nous admettrons que les polynômes V, et V, n’ont aucun diviseur commun; ces polynômes ayant été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de y, supposons que le degré de V, par rapport à y ne soit pas inférieur au degré de Vs. Divisons V, par V, et désignons par Q, le quo-

tient, par V; le reste de la division; on aura

Vi, = V,Q, + V:.

S1 la division n’a introduit aucun dénominateur fonction de x, Q, et V;, seront des fonctions entières; par suite, les valeurs simultanées de x et de y qui annulent V, donneront

V; — Va,

et, en conséquence, le système proposé (1) admettra les mêmes solutions que le système formé des équations

(2) Ve —=0, Ne 0

qui est évidemment plus simple.

Supposons, d’après cela, que l’on opère sur les polynômes V, et V:, comme s’il était question de chercher leur plus grand commun diviseur; on sera conduit à une suite d’égalités telles que

PEN + V3, Va Ve Q: + V,, ... S) 0285) 6 ©, 5-0 0 9

\Pe À et 0e ini

Vs, V:,... V, sontdes fonctions entières de y dont les degrés formeront une suite décroissante, et la dernière fonction V, est indépendante de y. Si aucune des divisions qu'on vient d'exécuter n’a introduit de diviseurs | fonctions de x, en sorte que Q,, Q:,..., Q, soient des fonctions entières de x et de y, ainsi que V3, V,,..., Vy, il est évident que les solutions du système (1) seront les mêmes que celles du système

( 3) Vi — O, VA — 0,

dans lequel l’une des équations ne renferme que l’inconnue x, et celle-ci sera l’équation finale qui résulte de l'élimination de y entre les proposées.

Mais, le plus souvent, la recherche du plus grand commun diviseur des polynômes V, et V, introduit des dénominateurs fonctions de x; dans ce cas, les conclusions précédentes ne subsistent pas. Si, par exemple, la division de V, par V, introduit de tels dénominateurs,

le quotient Q, sera de la forme 5° N et D étant des fonc-

tions entières; on aura N Vi=V: D + Vas et l'égalité V, = V; n'aura plus lieu nécessairement pour

les valeurs de x et y qui annulent V,, parce que le dé-

nominateur D peut alors se réduire aussi à zéro. Toutefois, on évitera les dénominateurs fonctions de x, si, avant de commencer la division, on multiplie le polynôme V, par une fonction entière X de x, convenablement choisie; on aura alors

XV, vs Q; 2 V:.

Les solutions des équations V, — 0, V, — o sont comprises parmi celles des équations V, = 0, V; — 0; mais ces dernières admettent en outre les solutions des équations X —o, V:—o; donc, quand on remplacera le système (1) par le système (2), on ne supprimera aucune des véritables solutions, mais on pourra en introduire qui soient étrangères à la question.

IL était important d’éviter ces solutions étrangères introduites par la méthode du plus grand commun diviseur. Labatie a fait connaître en 1832 un théorème que nous allons exposer et qui remplit cet objet de la manière la plus heureuse.

Théorème de Labatie.

93. Soient V, et V, deux fonctions entières de x et de y qui n'ont pas de diviseur commun et qui ne renferment aucun facteur indépendant de y; ordonnons V, et V, par rapport à y et opérons sur ces polynômes comme S'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en ayant soin : 1° de multiplier chaque dividende par une fonction entière de x, choisie de manière à éviter les dénominateurs fonctions de cette inconnue; 2° de débarrasser chaque reste des facteurs indépendants de y qu'il peut avoir, avant de le prendre pour diviseur.

Soient Uy, Us co, Un les multiplicateurs ainsi em-

ployés, Qu, Q:, ..., Q, les quotients obtenus dans les divisions successives, et Vavi, Vipo,.ee, Vny1Vn 1» Vn les restes de ces divisions ; le dernier reste v, est indépendant de y, et, dans ceux qui le précèdent, vi, Va, ..., Vn-1 désignent des facteurs fonctions de x seule, de manière que Vs, V;,..., V4, ne renferment aucun facteur indépendant de y.

Soient encore d, le plus grand commun diviseur de

: U;u: MMS ER u, et de v,, d, celui de Fri et de v:, d; celui de TE FA 172

; HU. Un et de vs, ..., d, celui de ———— et de vy.

3 SENTE did,. : TEE nr Cela posé, on obtiendra toutes les solutions com-

munes des deux équations (x) Ms oi Vi=o,

sans aucune solution étrangère, en prenant Les solutions de chacun des n systèmes

VERT V0 ME 0 NAT 0 5) ( 9 (. , (. , ..…. ro (2 ) ai =) 6 éie eC) 2e 4 (6 LAUR 0 d, da d; Le

On a les égalités

ui Vi = VoQ: + Vis Ua Va = V3 Q2 + Vive, Us Va = Vi, Qs + Viva

Un—1 Vr—1 — VE on a Ve Pn—1) LE Nn — V0; Pr

qui seront toutes comprises dans la suivante : Uy, Vs — Vu Qu eux Vy+o Pa

si l’on attribue à p toutes les valeurs 1, 2, ..., 7 et que l'on prenne V,,» égale à l'unité.

Les multiplicateurs w, peuvent être choisis de manière que 4, et y, n'aient aucun diviseur commun; par exemple, si le plus grand commun diviseur d, de u, etde y, ne se réduit pas à l'unité, le produit V:, Q, sera divisible par d,, d’après la première des égalités (3), et ce produit s’annulera si l’on prend pour x l’une des racines

de l’équation d, = 0 ; mais le polynôme V, ne peut être nul, puisqu'il n’a aucun diviseur indépendant de y; donc il faut que Q, s’annule, et en conséquence Q, est divi-

sible par d,, quel que soit y. Il résulte de là qu’au lieu du multiplicateur u, on aurait pu choisir 23 dans les ap-

plications du théorème de Labatie; il conviendra toujours d'adopter les multiplicateurs les plus simples; cependant la démonstration que nous allons présenter ne suppose point que l’on ait pris cette précaution.

Si, entre les — 1 premières des égalités (3), on élmine Vo, Vs,..., V,1, il est évident que le produit Uyü...1, V, se trouvera exprimé par la somme des polynômes V,, V,,,, multipliés chacun par une fonction entière, et il est facile de voir que, si l’on divise par d, d;...d,, l'égalité ainsi obtenue, elle prendra la forme

ie 7.

2 0 Ts p Fes (4) Le # à tte és GE Vy Go Ven = “ dy 2

Get sue Dos des fonctions entières. D’ abord, pour p — 2, cette formule devient

AVE CN Gide AR NA né: ITA

. °4 ’ JR ç 2 À:

et elle coïncidera avec la première des égalités (3), sil'on divise celle-c1 par d, et que l’on pose

(5) HE ae

cette valeur de G, est entière, car, ainsi que nous l’avons montré plus haut, Q, est divisible par d,. D’après cela, pour établir la formule (4), il suffit de montrer que, si elle a lieu pour une valeur de y, elle subsiste encore pour la même valeur augmentée de 1. A cet effet, multiplions la formule (4) par . et remplaçons ensuite u, V, par sa valeur tirée des égalités (3), savoir

UyVy = Vi Qu + Vaso ou; si l’on pose, pour abréger,

(6) = Le Q + Guns tetes Le dy du

il viendra

LUS IL 74 (LE VE CN Cave.

par hypothèse, G,, est une fonction entière; donc, à cause de la précédente égalité, le produit G, V,,, est pareillement une fonction entière, ce qui exige que G, le soit aussi, puisque V,,, n’a pas de facteurs indépendants de y. La formule précédente se déduit de la formule (4) en remplaçant p par +1 : donc notre assertion se trouve justifiée. En même temps, on voit que les fonctions G2, G3,...seront donnéessuccessivement par la formule (6), en partant des valeurs connues de G, et de Gi.

Le polynôme V, est lié aux fonctions V, et V,,, par une relation analogue à la formule (4). On a effectivement

Ui 2... Un.

——— V, =H, ,V LES —— (7) 3 RANETR “os Ha Ve Vis AE

H;:-, et H,, désignant des fonctions entières. Cette

formule se déduit de la formule (4) en changeant dans celle-ci V, en V, et en remplaçant la lettre G par H; donc le raisonnement qui a servi pour établir la formule (4) prouve que, si notre nouvelle assertion s’applique à une valeur de y, elle subsiste pour la même valeur augmentée de 1. Le même raisonnement montre encore que l’on a

(8) H, — H,Q4 La His ty y ; dy dy xd,

Or la formule (7) se réduit à une identité, pour u = 2, si l’on fait uU He 0 MH ere.

(9) 0 ? 1 d, 1 donc elle est générale, et en partant des valeurs (9) de H, et de H,, la formule (8) déterminera toutes les fonctions entières H,.

En retranchant les égalités (6) et (8) l’une de l’autre, après les avoir multipliées respectivement par H,, et G,,, on obtient

HUE Guy —H, Gi = — EEE (Ga 4 — HG, ); u—1 da

remplaçons x successivement par 2, 3, ..., pet multiplions entre elles les u — 1 égalités résultantes, il viendra

Us Use JU Vi Pa GH, — HG. =(— rt (CG H 2H CG) 22 alain RE e Ga = | Jet (GE : 2 EE ou, à cause des formules (5) et (9), U, U U V1 0 (4 Ha 2 My Ge def 2 PP RES (10) Gi Hu; — HG, Lt did; ...d, did;...d,;

Enfin, si l’on retranche les formules (4) et (7) l’une de l’autre, après avoir multiplié la première par H

et la seconde par G,,, il viendra

Uy Uo . .. Un ——— (HV, —G,- RENE (Hi Vi — Gus Vo) Put, = — (GLS Ho — Gy Hs) Va+i PER

et, ayant égard à la formule (10), on aura simplement Pr (ur) Hi Vi— Gui Ve—(—i——e. V.;;

en particulier pouru—n<+1,ona

(12) Hy Vi — Gn Vi —(— LEE 2 F2 CNE °n,

di d, dy

Les formules (4), (7), (11) et (12), que nous venons de tirer des égalités (3), fournissent immédiatement la démonstration du théorème de Labatie.

HORS UE UN cun diviseur commun, les formules (4) et (7) montrent que les valeurs de x et de y qui annulent V, et

(At , .

. * annulent nécessairement V, et V,; donc, en pre-

mier lieu, toutes les solutions des divers systèmes (2) sont des solutions des équations (x).

En second lieu, si des valeurs simultanées de x et de y

annulent V, et V:, la valeur de x annulera, d’après la

En effet, les fonctions n'ayant au-

; ; Vs v formule (12), l’une au moins des fonctions —, Te Die di 2 dy

Si la première de ces fonctions s’annule, les valeurs de

x et de y que nous considérons seront des solutions du premier système (2); supposons généralement que

y ’ + . $ ee soit la première fonction qui s’annule; alors la forpu

mule (11) montre que V,,, doit s'annuler, et en consé-

quence les valeurs de x et de y qui, par hypothèse, satisfont aux équations (1), satisferont également à celui des systèmes (2) qui occupe le ui" rang. Donc : toutes les solutions des équations (1) satisfont à l’un au moins des systèmes (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

Remarques. — Le théorème de Labatie donne les diverses solutions des équations proposées, avec le degré de multiplicité qui leur convient; mais cette proposition nouvelle ne me paraït pas avoir une importance assez grande pour que je m’arrête à en présenter la démonstraton.

94. Le théorème qui précède se rapporte exclusivement aux solutions finies et déterminées des équations proposées. Pour avoir les systèmes de solutions déterminées dans lesquelles la valeur de y est infinie, il suffit d’ordonner les équations par rapport aux puissances décroissantes de y, et de chercher le plus grand commun diviseur entre les coefficients du premier terme de l’une et de l’autre équation. On égalera ce plus grand commun diviseur à zéro, et les racines de l’équation obtenue seront les valeurs cherchées de x.

On procédera d’une manière semblable pour trouver les solutions dans lesquelles la valeur de x est infinie.

Application de l'élimination à la transformation des équations.