RENE
Et, en général, si M— pp; , rs
P;q,-..,r désignant des nombres quelconques premiers entre eux, deux à deux, on pourra écrire
Va—%Yai%a ...ÿæ,
formule dans laquelle £, v, ...,w sont des nombres enüers positifs ou négatifs.
Application de la méthode d’abaissement des équations réciproques à l’équation binôme.
108. Soit l'équation (1) 2 — 1—0; si m est un nombre impair 24 +1, et que l’on divise l'équation (1) par z — 1, il viendra (2) 26 ze lt, ++ z+I—=0o;
on pourra transformer cette équation (2) (n° 61) en une autre du degré u, en la divisant par z*, et en posant ensuite
l’équation (2), divisée par z, devient Vu + Vos... + Ve+ Vi +i1=0, en faisant, comme au n° 61,
e PRE pe mm
si
nous représenterons par U, son premier membre, en sorte que l’on aura
(3) VE NV a Ve Yi
pue" |
Lorsque le degré m est un nombre pair 2n, l’équation (1) se décompose dans les deux suivantes : DE 0 NN ENTER 0
la seconde se ramène à la première en changeant z en — z, lorsque 7 est impair; mais, si » est un nombre pair 21, on pourra lui donner la forme
Z + — —O, Zi
et, en posant z + — — x, elle deviendra V, — o. ? P . ; de
Ainsi l'équation (1) peut toujours se ramener à des équations telles que
(4) Visio EUR 0;
dont les premiers membres sont des fonctions entières de x du degré pu.
Chacune de ces équations a ses p racines réelles. En effet, les modules des racines des équations Zi J
é+HI—=O, ————=0o Zz — I
sont égaux à l'unité; soit donc coso + 1 sing l'expression générale des racines de l’une de ces équations, les racines de l'équation (4) correspondante seront
(cosg + isiny) + (cose +isinyp)-! — 2 cos».
On a yu au n°61 que les trois fonctions Vy, V1, Vn o sont liées par la relation
(5) Yr EN l'Éars
qui peut servir à former successivement les polynômes Vos, V3, ..., en partant des valeurs
(6) VE RE el
Il existe une relation pareille entre les trois fonctions U,, U,,, Us»; en effet, si l’on ajoute les égalités
NAT Va Nr Vannes No:
Sie HIS TS SE DIN Seules ‘, Va —=2xVi — V,,
il viendra, en ayant égard aux formules (6), (7) Un = 2 Uni — Ur,
et cette formule permettra de calculer successivement les polynômes U:, U;,..., en partant des valeurs
