SIN

(4) V,= nr 7, ; Sin

OU

gt — —

VE Die

Si l’on désigne de même par V/ ce que devient V/, quand on change 4 en 9,, on aura

sinz2®, Sinz® Le LE ne | x) — x 2Sin; Sing COSp, — COSG ?

le second membre de cette formule est égal à l’ex-

pression | 19 + Sin (re + ne ee 2 2 £ = ; —+sin ?! ? sin HT? 2 2 e RTS . \ —infrere sin(r+1) ?

2 2 ue RP . .

sin TR» sin PLIS 2 2

multipliée par et, quand ©, tend vers la

Asine sine” limite 9, il tend vers la limite

nn +i)sin(z —1)o—72{7—1)sin(z +1)o 4 sin? y

ou n CoSp Sinz9 nr?

2 sin?e sin p 2 sin?

si donc on désigne par V”, la deuxième dérivée du poly-

nôme V,, on aura

. ñn COS® Sin? n (à) D —— COS.

2 Sin” ® SIN @ 2S1N À sin?

Si l’on remplace, dans cette formule (5), cosno et ee ù ve

par les valeurs tirées des formules (3) et (4), qu’on mette

. TX . . .

ensuite — au lieu de cosc, il viendra

(6) (x? — 4)V, + x Vi— RV, = 0;

cette équation permet de former facilement l’expression générale du polynôme V,.

Effectivement, on reconnaît immédiatement, par les formules (5 )et (6) du n°108, que V, est un polynôme du degré n dont le premier terme a pour coefficient l’unité, et qui ne renferme que des puissances de x dont les exposants sont pairs Où Impairs, suivant que 7 esl pair ou impair. On peut donc poser

Ve = Ait — Abe HR Er er Es se AT RE +...

le premier coefficient A, étant égal à 1.

On tire de là

Vi nA at +. + (Rr— 2p)A,x" Pl +...

V,=n(n—1)Aor" +... +(n—2p+2){(n—2p+1)A, ja?

+(r—2p)(r—92p—1)A,;at?r2+...,

et en substituant dans l’équation (6) les valeurs de V,, V' et V”, le coefficient de x—2?P sera

ou

mais ce coefficient doit être nul : on a donc

(r— 2p+2){(n—2p4+1) pir—p) où

Cette relation conduit aisément à l'expression générale