DAT EN
CoroLLAiRE I. — Deux racines consécutives à et 6 de l'équation f l(x) = 0 ne peuvent comprendre entre elles plus d’une racine de l'équation f(x) = 0.
Car, si l'équation f(x)— 0 avait deux racines a et b comprises entre æ& et 6, l'équation f'(x)—o aurait au moins une racine y comprise entre a et b; cette racine serait donc comprise, à plus forte raison, entre æ et 6, ce qui est contre l'hypothèse.
CorozLarRE Il. — 87 l'équation f(x) = 0 de degré m a toutes ses m racines réelles, l'équation f'(x) = 0 a également toutes ses racines réelles, et deux racines consécutives de la seconde équation comprennent toujours une racine de la première.
Désignons par (a) A, y, A3, .:, An
les racines de l'équation f(x)= 0, rangées par ordre de grandeur à partir de la petite, et par
MOMENT TIR ENT S les degrés de multiplicité de ces racines, on aura M MIE EM e Girer ElLIEe
Cela posé, d’après le théorème des racines multiples, l'équation f(x) = 0 a m, — 1 racines égalesà a,, elle en a m2 —1 égales à 4»,..., Mn — 1 égales à a,; le nombre de ces racines est n—n. En outre, d’après le théorème de Rolle, l'équation f’(x)—o a au moins une racine comprise dans chacun des 7 — r intervalles que forment deux termes consécutifs de la suite (1); elle ne peut d’ailleurs en avoir plus d’une dans chaque intervalle, puisque le nombre total de ces racines est 7 —1.
Soient b;, b:; .. DES
les 72 — 1 racines de f’(x)— 0 dont nous venons de parler et qui sont respectivement comprises dans les 72 — 1 intervalles formés par deux termes consécutifs de la suite (1). Il est évident que les termes de cette suite (r) seront compris respectivement dans les z intervalles formés par la suite
(2) Er OO , b;, Da, ses ET + © ;
les termes de la suite (2) séparent donc les racines (1) de l'équation proposée.
124. Exempze. — Pour donner un exemple des applications du théorème de Rolle, nous établirons une propriété importante que possède une classe de fonctions qui se présentent dans diverses recherches mathématiques. Posons, pour abréger,
va — I nm f(x) te ; ee et désignons par
ART be) ere Er).
les dérivées successives du polynôme f(x); la fonction que j'ai en vue et que je désignerai par X, est défimie par la formule
La fonction f(x) étant un polynôme de degré 2n, sa nième dérivée, f(x) ou X, sera un polynôme du degré 7. Cela posé, je dis que l'équation
pose; J Xp — 0
a ses n racines réelles, inégales et comprises entre — 1 BE r.
Pour établir cette proposition, 1l suffit d'appliquer n fois de suite le théorème de Rolle à l'équation Pih==0:
S. — Alg. sup., I. 18
274 COURS D'ALGERRE SUPÉRIEURE.
Cette équation a n racines égales à — 1 et 7 racines égales à +1, donc l'équation
aura 2 —1 racines égales à — 1, 7 —1 racines égales à
+ 1, et une racine a, comprise entre — 1 et +1. De là il résulte que l'équation
Tire 10
a n—2 racines égales à —1,72—2 racines égales à +1, une racine D, entre — 1 et a,, et une racine b, comprise entre a; et HI.
Il n’est pas nécessaire de pousser plus loin ce raisonnement, pour reconnaître que l’équation f{(x)= o ou X,—=oases n racines réelles, inégales et comprises entre — 1 et +1, ainsi que nous l’avions annoncé.
125. On peut tirer du théorème de Rolle les conditions de la réalité de toutes les racines d’une équation de degré donné; mais, devant bientôt faire connaître une méthode beaucoup plus simple qui remplira le même objet, nous n’aborderons point ici cette question générale, et nous nous bornerons à appliquer le théorème à la détermination du nombre des racines réelles d’une équation trinôme, telle que
PACE EEE
dans laquelle nous supposerons les exposants m et n impairs.
Le nombre total des variations contenues dans cette équation et dans sa transformée en —x est égal à 1 ou à 3; le nombre des racines réelles est donc lui-même égal à x ou à 3; 1l s’agit de distinguer ces deux cas. La dé-
rivée CE) a 1C1 pour valeur TRES — m D Er ER À
si p est posiuif, l'équation f’(x) = o ne peut avoir d’autre racine réelle que zéro; donc la proposée ne peut pas avoir dans ce cas trois racines réelles. Si p est négatif, et que l’on désigne par à le radical
m—n np
Fer
l'équation f’(x)—0o admettra les racines —b et + b, indépendamment des racines nulles qu’elle peut avoir et qui sont, par hypothèse, en nombre pair. Alors, si la proposée a trois racines réelles, — à sera comprise entre les deux plus petites, tandis que + b le sera entre les deux plus grandes ; donc ces trois racines serontrespectivement comprises dans les trois intervalles que forme la suite
—D, —0b, +b, +, ce qui exige que l’on ait WI 0, PE) 0.
Réciproquement, si ces conditions sont remplies, l'équation proposée aura nécessairement (n°115) une racine comprise entre — et — b, une deuxième entre — b et + b, une troisième enfin entre + D et + æ . En remettant au lieu de b sa valeur, on trouve que nos
deux conditions deviennent
nm nt
np \ m—n ñnq np Hi—n = nr ne m mn m et elles peuvent s'exprimer par une inégalité unique, en écrivant que la puissance (m—n)°me de la quantité intermédiaire est inférieure à la puissance (m— nn) de
l’une des quantités extrêmes. On obtient ainsi la condi-
tion demandée,
nq m—n np nm Es -l- aa 4 O :
(= Ho =) m or on voit qu’elle n’est jamais satisfaite quand p est > 0. Si le premier membre de cette inégalité se réduit à zéro, l'équation proposée a encore trois racines réelles, mais il est évident que deux de ces racines sont égales entre elles. Si l’on a TRS SEULE AT l'équation proposée devient 2 + P+ —+- 7,20»
ce qui est la forme à laquelle peut être ramenée toute équation du troisième degré (n° 62). Quant à la condition de réalité des trois racines, elle devient
2 3 CA ne ou 4pÿ+27q <o.
Théorème de Sturm.
126. Parmi les problèmes que l’on rencontre dans la théorie des équations, l’un des plus importants est celui qui a pour objet la découverte d’une règle à l’aide de laquelle on puisse déterminer le nombre exact des racines réelles d’une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés.
La proposition du n° 119 nous a donné la solution de ce problème pour ce qui concerne les équations dont toutes les racines sont réelles, et les recherches de Budan ont eu pour objet, comme on l’a vu, de tirer des mêmes principes un Critérium qui pût s'appliquer à tous les cas. Mais, malgré son utilité incontestable, le beau théorèms
auquel ce géomètre est parvenu ne donne pas une solution complète de la question que nous venons de poser.
L’Algèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais cette lacune se trouva comblée de la manière la plus heureuse par le fameux théorème de Sturm. Ce grand géomètre communiqua à l’Académie des Sciences, en 1820, la démonstration de son théorème qui constitue l’une des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l'Analyse mathématique.
197. Le théorème de Sturm consiste dans la proposition suivante :
Taéonkme. — {tant donnée l'équation V —0o dont le premier membre est une fonction entière d’un degré quelconque m de l’inconnue x et qui n'a pas de racines égales, soit V, la dérivée du polynôme V. Efectuons la division de V par V;,, jusqu'à ce que nous soyons arrivé à un reste de degré inférieur au degré de V,, changeons les signes de tous les termes de ce reste et désignons par V, ce qu'il devient alors. Divisons de méme V, par V), et, après avoir change les signes des termes du reste, nous aurons un nouveau poly nôme V; dont le degré sera inferieur au degré de V,. Divisons pareillement V; par V; et continuons la méme série d'opérations, comme s'ils’agissait de déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes V et V,, mais en ayant soin de changer les signes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur. L'équation proposée n'ayant pas de racines égales, nous arriverons après ur certain nombre p—1 de divisions à un reste numérique différent de zéro, et nous représenterons par V, ce reste change de signe. Nous obtiendrons ainsi une suite de +1 fonctions
(1) ES A PP PR PR PEU à
dont les degrés, par rapport à x, formeront une suite décroissante.
Cela posé, soient à et 8>> «a deux quantités réelles quelconques données, et substituons successivement & et6 à x dans les fonctions (1). Le nombre des racines réelles de l'équation V—0,comprises entre « et 6, sera précisément égal à l'excès du nombre des variations que présente la suite des signes des u+ 1 fonctions (1) pour x = à, sur le nombre des variations que présente la suite des signes des mémes fonctions pour x= 6.
Désignons par
Qi, Qu... Qu les quotients que l’on obtient en divisant V par V,, V, par Ve,..., V,o par V,,; on aura cette suite d’égahtés :
VW, QE, Vi =; Q> ceuL Et AN re
ere D ——
CHENE Re alt Là PC PCA AQU, |
Vue Vus Qui — Vu qui conduisent aux deux conséquences suivantes :
1° Dans la suite (1), deux fonctions consécutives ne peuvent s'annuler pour la méme valeur de x.
En effet, si l’on avait Vs, —=0, V;=o, pour une certaine valeur de x, la relation
( 3 ) Vr Ve Qz ME + Vy+1
montre que l’on aurait en même temps Vy,,—=0. On conclut de là que, si une même valeur de x annulait deux fonctions consécutives, elle annulerait aussi toutes les suivantes, ce qui est impossible, puisque la dernière foncton V, est une constante différente de zéro.
2° Si, pour une valeur de x, l’une des fonctions de la suite (1), autre que la première, s'annule, la fonction précédente et la fonction suivante sont de signes contr'aires.
En effet, si l’on a V;=— 0, l'égalité (3) donne | Ven Vin.
Faisons maintenant croître x d’une manière continue entre les limites & et 6; la suite des signes des fonctions (1) ne pourra être modifiée qu’à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (1). Soit a l’une de ces valeurs, et supposons d’abord que, parmi les fonctions
Vo Ve Jess
qui s’annulent pour x—4a la première V ne soit pas comprise.
S1 À désigne une quantité positive suffisamment petite, les équations V;,—=0, Vx,,= 0 n’auront aucune racine entre a— h et a+ h, et en conséquence chacune des fonctions V,, V4, conservera le même signe quand on fera croître x de a—h à a+ h. Ces fonctions étant de signes contraires pour x = a, comme nous l’avons dit plus haut, elles sont pareillement de signes contraires pour X—a—h, ainsi que pour x= a + h; donc la portion de la suite (1) qui comprend les trois fonctions
Ne 3 Vy, Vz+1
offre une variation unique pour x=4a—h, ainsi que pour x—a+h; cela s'applique évidemment à chacune des portions de la suite (1) qui sont formées par l’une des fonctions Vz, V,,... et les deux qui la comprennent. On peut conclure de là que la suite des signes des fonctions (1) ne perd ni ne gagne aucune variation quand x croît de a—h à a+h.
Supposons maintenant que x, croissant de o& à 6, atteigne une valeur a qui annule la fonction V, et pour laquelle quelques-unes des autres fonctions dela suite(r),
telles que
puissent aussi s’annuler. Le raisonnement qui précède montre que la portion de la suite (1) formée avec l’une de ces dernières fonctions et les deux qui la comprennent présente une variation unique pour x—=a—h, ainsi pate 9 A d que pour x—=a+h. D'ailleurs, d’après le lemme du
n°1920 le rapporte passe du négatif au positif quand x
croît de a—}à a+ h; ce qui revient à dire que les deux fonctions V, V, offrent une variation pour x—=a—h, et une permanence pour x = a+ h; donc, dans le passage de x—a—h à x—a+h, la suite entière des fonctions (1) perd une variation et n’en perd qu’une seule.
En résumé, si x croît d’une manière continue depuis & jusqu’à 6, le nombre des variations de la suite des fonctions (1) n’éprouve de modification que quand x atteint et dépasse une racine de l'équation V — 0, et chaque fois que x atteint et dépasse une telle racine, il y a une variaüon perdue, dans la suite des fonctions (1); ce qui démontre le théorème énoncé,
128. Sturm a fait lui-même sur son théorème des remarques importantes que nous reproduisons ICI.
1° Dans les divisions successives qui servent à trouver :
les fonctions V:, V:,..., il est permis de multiplier ou
de diviser les dividendes ou les diviseurs par des nom-
bres positifs quelconques ; les fonctions (1) se trouveront alors multipliées par des facteurs positifs, ce qui ne changera point leurs signes ; mais il faut éviter de supprimer ou d'introduire des facteurs négatifs.
cr
2° La condition que la dernière des fonctions (1), savoir V,, est une constante, n'intervient pas dans la démonstratton que nous avons présentée du théorème ; cette démonstration suppose seulement que V, ne change pas de signe quand x varie de & à 6. Il résulte de là que si, parmi les fonctions (1), il s’en trouve une V3 qui n'ait aucune racine comprise entre « et6, on pourra arrêter la suite (1) à cette fonction et faire abstraction de toutes celles qui suivent.
3° Il peut arriver que l’une des limites &, 6 annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (4); mais il ne saurait résulter de cette circonstance aucun embarras pour compter le nombre des variations. Il suffira effectivement, dans ce cas, de substituer 4 —h au lieu de & ou 6+ h au lieu de 6, 2 désignant une quantité aussi petite que l’on voudra. Supposons que la fonction V s’annule, soit pour x —=&, soit pour x—6. Ainsi que nous l’avons vu, les deux fonctions V, V, offriront, dans le premier cas, une variation pour X—4—h, et une permanence, dans le deuxième cas, pour x=—6+h. Quant aux fonctions qui suivent, si l’une d’elles s’annule pour x —« ou. pour x—6, nous avons vu que, pour une valeur de x trèspeu différente de & ou de 6, la suite formée par cette fonction et les deux qui la comprennent offre toujours une varialion unique.
129. Le théorème de Sturm s'applique sans modification aux équations qui ont des racines multiples, pourvu que l’on fasse abstraction du degré de multiplicité de ces racines.
En effet, soit X—0o une équation qui a des racines multiples, et désignons par X, la dérivée du polynôme X.. Opérons sur les fonctions X et X,, comme s’il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en
ayant soin de changer le signe de chaque reste, ainsi que le prescrit l'énoncé du théorème. On obuendra ainsi la suite de fonctions
(1) X, X:;, X>, GOT Xy1 Xu
dans laquelle le dernier terme ne sera plus constant; mais trois fonctions consécutives seront encore liées entre elles par une égalité de la forme
XX Or Xuras
où Q; désigne une fonction entière.
Soit D le produit des facteurs linéaires communs à X et à X,,1l est évident que les fonctions (1) pourront être divisées exactement par D, et si l’on désigne par
(2) A PS PRO À He UE.
les quotients de ces divisions, la dernière des fonctions (2) sera une constante ; en outre trois fonctions consécutives de cette suite seront liées entre elles parla relation
Ven Ve Qr— Vr+;
#, À passera toujours, en s’annulant, d’une valeur négative à
enfin, d’après le lemme du n° 120, le rapport
une valeur positive. En conséquence, on peut appliquer aux fonctions (2) le raisonnement entier du n°127, et il en résulte que, si 6 est >«, l'équation V =o ou X—=o a autant de racines comprises entre « et 6 qu'il y a de variations perdues dansla suite des signes des fonctions (2), lorsque x croît de & à 6. Enfin, comme les fonctions (1) s’obtiennent en multipliant les fonctions (2) par un même polynôme D, il est permis de substituer les unes aux autres.
Des conditions de realite de toutes les racines d’une équation de degré donne.
130. Pour avoir le nombre total des racines réelles d’une équation donnée V = 0, il suffit de former, conformément au théorème de Sturm, la suite des fonctions
(1) À AA EE POS Je LA PE
et d'y substituer successivement deux limites L, L’, entrelesquelles touteslesracinesréelles soientcomprises ; mais comme, pour une valeur de x dont le module est suffisamment grand, une fonction entière a toujours le signe de son premier terme, et que nous n’avons à nous préoccuper que du signe des résultats des substitutions, on peut prendre, pour plus de commodité, — et + au lieu de L et de L/. Soient donc k le nombre des variations contenues dans la suite des fonctions (1), pour x =— © ; k’le nombre des variations de la même suite pourx —=+ , le nombre des racines réelles de l’équaton V = osera À — }!.
S1 l’on veut avoir séparément le nombre des racines positives et celui des racines négatives, il faudra en outre substituer zéro à x dans la suite (1), ce qui réduira chacune des fonctions à son dernier terme ; soit k, le nombre des variations de la suite (1) pour x = 0, l'équation proposée aura #, — À’ racines positives et k — #, racines négatives.
101: Supposons maintenant que l’on veuille connaître les conditions qui doivent être remplies pour que l’équaq Ï q q tion V = 0, du degré m, ait ses mn racines réelles et inégales. Il faut et 1l suffit, pour qu'il en soit ainsi, que la suite des fonctions (1) perde m variations quand x croît de — à + ; cela exige d’abord que cette suite ait au ; 5 q
moins #2 + 1 termes; or elle ne peut en avoir davantage : donc le nombre p est égal à m, et les fonctions (1) sont respectivement des degrés
me, TILERUE M2," , 1, O.
En outre la suite des signes des 7 +1 fonctions (1) doit renfermer m variations pour x =—, et elle n’en doit plus offrir aucune pour x = + ; il est évident que cela revient à dire que le coefficient du premier terme, dans chacune des fonctions (1) doit être positif.
On peut énoncer, d’après cela, la proposition suivante :
Pour qu'une équation du degré m ait ses m racines réelles et inégales, il faut et il suffit que la suite formée conformément à l'énoncé du théorème de Sturm se compose de m+x fonctions, et que, dans chacune de ces fonctions, le coefficient du premier terme soit positif.
Comme, dans les deux premières des fonctions dont nous venons de parler, le coefficient du premier terme est toujours positif, la proposition précédente indique seulement 7—1 conditions pour la réalité de toutes les racines, Mais il se peut que ces conditions rentrent les unes dans les autres; le nombre 7—1 ne doit donc être regardé que comme une limite supérieure.
ExempLe.— Prenons pour exemple l'équation du troisième degré
+ pr + q —=0; pour éviter les dénominateurs, dans les deux divisions que nous avons à exécuter, je multiplie les dividendes respectivement par 3 et 4p?; on a alors
V—=r+pr+g, ou 3x +3px+3q, l'érpehde 1 ou 12p°? 2° + 4 p3, Vs——2px—3q,
Vs=— 4p° — 279%.
SECTION I. — CHAPITRE VI. 285 Les conditions de réalité des trois racines sont donc D 0 D 2708107
mais la première condition est comprise dans la seconde ; celle-ci peut s’écrire
fp° +279 <0;
c’est la même que nous avons déjà obtenue par une autre voie, au n° 195.
Extension de la méthode de Sturm.
132. Les fonctions dont le théorème de Sturm prescrit l'emploi peuvent être quelquefois suppléées, ainsi que l’a remarqué l’illustre auteur, par d’autres fonctions qui remplissent le même objet.
Soient
(1) AE V;, V:, CG ÉNAT, Vu
u +1 fonctions entières d’une variable x qui satisfont aux conditions suivantes :
1° Que la dernière fonction V, ne change pas de signe quand x varie entre deux limites données « et Er:
2% Que deux fonctions consécutives ne puissent s'annuler pour une méme valeur de x comprise entre « et 6;
3° Que si une fonction autre que la première s’annule pour une valeur de x comprise entre « et 6, les deux fonctions qui la comprennent aient alors des valeurs de signes contraires ;
10 à = aa BE PUITS l VER Re "ol Que e Tapporl v passe toujours du neécalif au
positif chaque fois qu'il s'annule, quand x croit de à
De:
, Rs
sn IS «PES TL ee 7 EF -4 del PET Le Nes Dh A + . , à 2 h - A? > +4
Il est évident que ces conditions sont les seules que nous ayons fait intervenir dans la démonstration du n° 127; on peut donc affirmer que, dans notre hypothèse, le nombre des racines réelles de l’équation V = 0 comprises entre « et6 est égal au nombre des variations perdues par la suite (1) dans le passage de x = à x= 6.
Supposons que la dernière des quatre conditions que nous venons de mentionner soit remplacée par la condi-
tion contraire, Savoir : que le rapport Y. passe toujours
du positif au négatif en s'annulant, quand x croît de « à 6. Les trois premières conditions étant maintenues, il est evident que le nombre desracines réelles de l'équation V = 0 compris entre æ et 6 sera égal au nombre des variations gagnées par la suite (1), quand x croît de z à 6.
C’est uniquement pour fixer les idées que nous avons supposé 6 >>; les mêmes choses ont lieu dans le cas de 6 2, seulement les variations perdues deviennent des variations gagnées, et inversement.
133. Supposons maintenant que les trois premières des quatre conditions précédentes existent seules, et que l’on ait constaté chez la suite {1) une perte ou un gain de k variations dans le passage de x=—1àx—6, 4 et 6 étant des quantités quelconques données. Il est évident que, si l’on fait varier x dans le même sens, depuis x = jusqu’à x — 6, le nombre des variations de la suite (1) ne pourra être modifié qu’à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule la première fonction V. Donc la perte ou le gain de k variations ne peut avoir lieu que si l'équation V — o a au moins k racines réelles entre
En outre, si l’on désigne par A l’excès du nombre de
. Ÿ ; ; fois que le rapport v'® s’évanouissant et en changeant
de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s’évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif, on aura nécessairement ART
le signe + ayant lieu dans le cas où la suite (1) gagne X variations quand on passe de x = a à x —6, et le signe — dans le cas où la même suite perd Æ variations.
Désignons aussi par A’l’excès du nombre de fois que
Vas. Ne 3 :
le rapport F s’annule en passant du positif au négatif sur
le nombre de fois que le même rapport s’annule en passant du négatif au positif, quand x varie de & à 6. Comme Vet V, sont, par hypothèse, de signes contraires, chaque
. V V fois que V, s’annule, les deux rapports mit passent,
l’un du positif au négatif, l’autre du négatif au positif ; si donc on représente par k! le nombre des variations gagnées ou perdues par la suite
(2) Vi; Vaso Vas
dans le passage de x = 4 à x —6, on aura, comme plus haut, TE on a 2
Comparons maintenant les nombres k et 4”. La suite (2)
se déduit de la suite (1) en supprimant dans celle-ci le : L V À :
premier terme; donc, si le rapport Le le même signe
pour æ—Ix et pour x—6, On aurd A =X"'et, par
suite, A'— = À;
. V . + sis à le signe + pour x = « et le signe — pour x = 6, ;
on aura À —=k + 5, le signe supérieur ayant lieu quandil y a gain de variations dans le passage de x =aà x = 6 et inférieur dans le cas contraire; on a donc
AE ; ; enfin, si re le signe — pour x =«, et le signe + pour
x —6, on a encore k'—k +1; mais ici le signe supérieur à lieu dans le cas d’une perte de variations, et le signe inférieur dans le cas contraire ; il en résulte que
Aïnsi, en résumé, l’excès A'est égal à — À, à —A +1
à ; x V 4 ou à — À —1; le premier cas a lieu quand vie le même
signe pour x — & et pour x — 6; le deuxième cas, quand le même rapport est positif pour x = « et négatif pour
. V , x = 6; le troisième cas, enfin, quand y négatif pour
x = à et positif pour x = 6. On trouvera plus loin une application importante de ce résultat.
Si le nombre Æ est égal au degré m de la fonction V, l'équation V = o a toutes ses racines réelles; en outre, quand x croît constamment ou décroît constamment de «
| V TRS à 6, le rapport v.° chaque fois qu'il s’annule, passe tou-
jours du positif au négatif, ou toujours du négatif au positif. Il suit de là que le raisonnement dont nous avons fait usage (n°123) pour établir le théorème de Rolle est applicable à la fonction V,, comme si cette fonction était la dérivée de V ; en conséquence, deux racines de l’équation V = o comprennent nécessairement une racine de équation V,=o. Si cette dernière équation est du degré mn—1, elle aura toutes ses racines réelles, et ces racines sépareront celles de l'équation V = 0.
CRE
1434. Pour bien faire sentir l'importance des considérations qui précèdent, je les applhiquerai à un exemple remarquable, celui de la fonction dont nous nous sommes déjà occupé au n° 124 et que nous avons représentée par X,. |
Cette fonction X, est la nièm° dérivée de la fonction
EPA NT TX TRS GT Ce a | | LD Re de US MS | :
| où ” | | fes me | gr Tan (re 1)... (7e LR OP LOT RUS « M. 71.07 I PORT 3
. on adonc
ne LA RRES EtEe
(et) (fes) (er)
anne LS die Le polynôme X, est du degré x; 1l ne renferme que des puissances de x de même parité et il n’a que des variations. Dans le cas de 2 —1,ilse réduit à un seul terme,
savoir (1) DS pourr2—2,0na |
(2) Dre
S1, dans l'expression de X,, on change zen n —», il viendra
BUS 26G..(r 4) Ait RE ENNCE ie [ad (24—2)]{2.f.. (222423) HET
S.— Alg, sup., 1 9
et l’on vérifie très-facilement que la somme
est égale au produit de la fonction X,, par (27—1)x; on a donc
(3) nX,—(2n—1)xX, + (n—1)Xy 2 = 0.
Cette formule servira à définir X, en y faisant 2 — 2 et en substituant les valeurs de X, et X, écrites plus haut; on trouve ainsi
(4 ) Xo 17 Cela posé, considérons la suite des fonctions (5) 7 Xn-1 X = ….) A1: X;
la dernière de ces fonctions est constante; et, d’après la formule (3), deux fonctions consécutives ne peuvent être nulles pour une même valeur de x; car, si elles s'évanouissaient, la dernière fonction X, serait nulle, ce qui n’a pas lieu ; en outre, quand l’une des fonctions X, autre que la première, s’annule, les fonctions qui la comprennent sont de signes contraires, d’après la formule (3). Enfin cette même formule (3), jointe aux formules (1) et (2), montre que l’on a
Xp (1) pour te 07
X y — HI pour æ—+1;
donc, quand on fait croître x de —1 à +1, la suite (5) perd 7 variations, d’où l’on peut conclure que :
1° L’équation X, — 0 a ses n racines réelles, inégales et comprises entre —1 et +1;
2° Les racines de l'équation X,,= o séparent celles de l'équation X,—0;
3° Siæet6 => a sont deux nombres compris entre —1
et +1, le nombre des variations de l'équation X, — 0 comprises entre æ et 6 sera égal au nombre des variations perdues par la suite (5), dans le passage de x = à De 0:
On serait arrivé aux mêmes résultats en considérant au lieu des fonctions (5), la suite
formée par la fonction X, etses dérivées successives. On a effectivement les relations suivantes, qu'il est facile de vérifier au moyen de l'expression de X, écrite plus haut :
SE (1 — FX x —9 (u — TX cs
CU æfite=ite 2)-nçr+a)] xt 0.
On voit, par ces relations, que, dans la suite (6), deux fonctions consécutives ne peuvent pas s’annuler en même temps, et que, si l’une d'elles s’'évanouit pour une valeur de x comprise entre —1 et +1, la fonction qui précède et celle qui suit ont des valeurs de signes contraires. Ces mêmes relations montrent que, pourx ——1,la suite (6) n'offre que des variations, tandis qu’elle n’a-que des permanences pour æ— +1; on peut donc tirer les mêmes conséquences que nous avons formulées plus haut. Cette conclusion s'accorde avec la proposition du n° 119, puisque l’équation X, = o a toutes ses racines réelles.
135. On peut encore démontrer très-simplement, par la méthode de Sturm, la réalité des racines des équations en x que nous avons obtenues dans le Chapitre précédent
Î : I en appliquant la transformation z + — —x aux deux ; Z
équations
LI O, 127 NTSC RRSR
Application de la méthode de Sturm à la déterminaion du nombre qui exprime combien une équation quelconque a de racines réelles ou imaginaires dans. l’intérieur d’un contour donné.
436. Soit f(z) = P + 1Q une fonction entière de la variable imaginaire z = x +1iy, dans laquelle les coefficients sont des quantités quelconques données réelles ou imaginaires ; i désigne, comme à l'ordinaire, l’imaginaire ÿ—1, Pet Q sont des fonctions réelles des variables réelles x et y.
Pour connaître le nombre y des racines de l’équation
fie =o:
comprise dans un contour donné, il suffit, d’après le théorème de Cauchy (n° 55), de chercher l'excès À relauf à ce contour; on a effectivement
si l’on suppose qu’il n’y ait aucun point racine sur le contour lui-même. Rappelons encore que si, partant d’un point quelconque, on décrit le contour donné, comme il a été indiqué au n° 55, le nombre À est égal à
qe \ 1 . : P de excès du nombre de fois que le rapport —; en s'éva-
nouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif.
Quel que soit le contour donné, on peut le partager en plusieurs parties telles que AB, et il est évident que l'excès À relatif au contour total sera égal à la somme des excès qui se rapportent aux diverses parties dans lesquelles ce contour a été divisé.
Si les coordonnées x ety, pour la portion AB du contour donné, sont exprimables par des fonctions rationnelles d’une variable t, en sorte que l’on ait
DEEE
p, P,d, F étant des fonctions entières, on pourra déter-
