PE
ne renferme que des puissances positives de x, et il n’y a, dans la seconde, que des puissances négatives. La première de ces fonctions est donc croissante avec x, tandis que la seconde est décroissante. Il résulte de là que si l'inégalité f(x)>o
est satisfaite pour une valeur de x, elle le sera aussi pour les valeurs plus grandes. Par conséquent, pour avoir une limite supérieure des racines positives, il suffira de substituer à x une série de nombres croissant à partir de zéro, et le premier de ces nombres qui donnera un résultat positif sera la limite cherchée.
Maintenant, considérons une équation quelconque f(x)= 0; le premier terme que nous supposons positif peut être suivi d’un ou de plusieurs autres termes positifs; réunissons à ces termes tous ceux qui sont négatifs pour en composer un polynôme F(x); on aura
F(æ)}=F(z)+e (re),
o (x) ne renfermant que des termes positifs et F (x) étant une fonction du genre que nous venons de considérer plus haut. Il suffira évidemment, pour remplir l’objet demandé, de chercher une valeur de x qui rende F (x) positive, ce à quoi l’on parviendra en substituant à x, dans F(x), une série de valeurs croissantes à partir de ZÉTO.
On peut encore arriver au résultat cherché, en partageant le premier membre de l'équation proposée en divers groupes, formés chacun d’un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes négatifs de degrés moindres, et en cherchant une valeur de x qui rende positifs les polynômes contenus dans ces différents groupes.
Nous n'avons eu ici en vue que la recherche d’une limite supérieure des racines positives ; mais, d’après ce qui a été dit au numéro précédent, c’est à ce problème que se ramène la détermination des autres limites.
Exgmpze. — Considérons l'équation
25 — 15 x" + 72 a + 36 x? — 920 ar 147 — 0.
On peut décomposer le premier membre dans les deux parties suivantes :
xt(x — 45), 724% +36x? — 928x — 147.
Pour x—45, la première partie est nulle, et la deuxième partie est évidemment positive ; donc 45 est une limite
supérieure des racines positives de l'équation proposée. La méthode du n°112 donnerait 929 pour limite.
I ; f En changeant x en -; on obtient la transformée s #
le premier membre de cette équation, changé de signe, peut être décomposé dans les deux parties
14725 + 928:r* — 3678 — gox?, 5x — 1,
è Æ I CUT qui sont positives toutes deux pour x = +; d’où il ré- : D
sulte que 3 est une limite inférieure des racines positives de la proposée.
S1 l’on change x en — x dans la proposée et dans la
, L 8 , Li transformée en —; on obtient deux nouvelles équations, LE
dont les premiers membres peuvent s’écrire comme il
nine æ(at+ 452$ + 722? — 36x — 928) + 147, 25 (1472? — 928x — 36) + 72r? + 45x +1:
le premier polynôme est positif pour x = ou >3 etle
second pour x = ou >7.
Il résulte de là que les racines positives de l’équation proposée sont comprises entre 3 et 45, et que les racines
Pr I négatives le sont entre — -— et — 3.
114. Méraone pe Newron. — Cette méthode, dont l'emploi offre souvent quelque avantage, repose sur la proposition suivante :
Soient
flx), PF)... f(x)
la suite formée par une fonction entière du degré 122
et ses dérivées successives. St pour une valeur a attribuée à x ces fonctions sont positives, elles le seront aussi pour toute valeur a + h de x superieure à &.
Il suffit évidemment de considérer la première fonction f(x), etla proposition énoncée résulte immédiatement de l'égalité jire
IS ZASQUTE
fla+h=fa)+ TS (a)+ fa) ++ Frais tous les termes du second membre étant par hypothèse positifs, on a
fla+h)>o.
Il suit évidemment de là que l’équation f(x)—o n’a aucune racine supérieure à @.
D’après cette proposition, pour avoir une limite supérieure des racines de l'équation f(x) = o, on formera la suite
{ae AE), TP OT ER
On déterminera un nombre x, qui rende f#-1{(x) positive, ce qui est facile, puisque cette fonction est du premier degré. Siaucune des fonctions qui précèdent f#-1(x) n'est négative pour X—%Xo, On pourra prendre x, pour la limite cherchée. Si, au contraire, en remontant la suite que nous considérons, on rencontre une fonction qui soit négative pour x = Xo, On prendra une valeur x, supérieure à x, qui rende la même fonction positive. Pareillement, si, pour cette valeur x,, l’une des fonctions qui précèdent celle dont nous venons de parler est négative, on prendra une valeur x, >>x, pour laquelle la même fonction soit positive, et ainsi de suite. On arrivera infailliblement par ce procédé à une valeur de x pour laquelle la fonction f(x) sera positive ainsi que toutes ses dérivées : cette valeur sera la limite cherchée.
Après ce qui a été dit au n° 112, il est presque superflu d'ajouter que la méthode précédente peut être appliquée à la recherche de la limite inférieure des racines positives, ainsi qu à celle des limites des racines négatives.
ExemPze.— Reprenons l'équation qui a été considérée au numéro précédent. On a
fix) = 2 — 45xt + 722$ + 36 x? — 928 x — 147. f(x)
= brt — 1802 + 216x? + 72x — 028, I LA
= à — 102 — 270 x? —— 216% —- 36, m À 2 ei — 10%? — 1807 + 72; ft) Ua nos A0:
La valeur x = 9 annule f(x), maïs toute valeur supérieure rend cette fonction positive ; la dérivée précédente, f(x), est positive pour x —18, mais la même valeur rend f/(x) négative. Cette dernière fonction devient positive pour x = 27, et f'(x), qui est alors négative, devient positive pour x = 36. La valeur x — 36 rend f(x) négative, mais f(x) devient positive pour x = 44. On peut donc prendre 44 pour limite supérieure des racines positives.
Théorème relatif aux résultats de la substitution de deux nombres quelconques à l'inconnue.
115. Taéoreme. — Soient f(x) — 0 une équation à coefficients réels, x, et X deux quantités réelles quelconques. Le nombre des racines de l’équation f(x) = 0 cornprises entre les quantités x, et X est pair ou impair suivant que les résultats f (xo), f(X) obtenus en sub-
stituant x, et X à x dans le polynôme f(x) sont de méme Signe OU de signes contraires; zCrO est regardé comme un nombre pair. En particulier, si f(xo) et f(X) sont de signes contraires, l'équation f(x) =0 a au moins une racine comprise entre Xo et X.
En effet, supposons le polynôme f (x) décomposé en facteurs linéaires. Nous savons que si, parnni ces facteurs, il yen a p égaux à x—(p+q Ven il y en a aussi p qui sont égaux à æ —{(p — yy—1); le produit de ces 2p facteurs est la puissance de degré du polynôme (x — p}?+ 4? , lequel reste positif pour toutes les valeurs de x. Si donc on désigne par F(x) le produit de tous les facteurs linéaires imaginaires de f(x), on aura
Fe) =F(r) (e— 2) (23). (e — an),
K(x) restant toujours positif. On a, d’après cela J Î ? P ?
UE) F CE Ta T1 Lo Lo To — Th
FRS CERN EE RENTE CNE
F(xr ue (wo) est posiuf, et l’un des facteurs
le premier facteur L F(X)
Ty — Lg à ; à :
———)nepeutêtire négatif que si la ra- — RAT 5
cine æ, est comprise entre xo et X. Donc la valeur de
(To)
—— est positive ou négative, suivant que l'équation
f(x) = 0 aun nombre pair ou un nombre impair de ra-
suivants, telsque —
cines comprises entre x et X. Dans le premier cas, f(%o) et f(X) sont de même signe: dans le deuxième cas, ces quantités sont de signes contraires.
Corozraire 1. — Zoute équation de degre impair a au moins une ravine réclle de signe contraire à son dernier terme.
On suppose, dans cet Énoncé, que le premier terme de l'équation proposée f(x) — 0 a un coefficient positif. Si le dernier terme de cette équation est négatif et qué l’on nomme X une limite supérieure des racines positives de l'équation f(x) = 0, les résultats f(X), f(o) seront de signes contraires; 1] y a donc une racine positive, et, s’il y en a plusieurs, elles sont en nombre impair. Sile dernier terme de l’équation f(x) — 0 est positif, on changerax en—x, et, la transformée étant écrite de manière que son premier terme ait un coefficient positif, le dernier terme sera négatif; on rentre dans le premier cas.
CororLaIRE Il. — Joute équation de degré pair dont le dernier terme est négatif a au moins une racine postitive etau moins une racine négative.
On suppose encore ici que le premier terme de l’équation proposée f(x) = 0 ait un coefficient positif. Si l’on nomme X une limite supérieure des racines positives de l'équation f(x) = 0, les quantités f(X),f(o) seront de signes contraires ; donc l'équation a un nombre impair de racines positives, et par conséquent elle en a au moins une. Ce raisonnement s'applique aussi à l'équation f(— x) = 0; donc la proposée f(x) = o a un nombre impair de racines négatives.
Théorème de Descartes.
116. On dit que deux termes consécutifs d’une fonction entière f(x) à coefficients réels offrent une variation, quand ils ont des signes contraires; deux termes consécutifs qui ont le même signe offrent une permanence. Cela posé, limportante proposition connue sous le nom de 7'héorème de Descartes repose sur le lemme suivant:
Leuur. — Si f(x) désigne une fonction entière et S. — Alg. sup., I. 17
que a soit une quantité positive, le nombre des variations contenues dans le produit (x—a) f(x) surpassera d’une unité au moins, et toujours d’un nombre impair, le nombre des variations de f(x).
En effet, ordonnons la fonction f(x) par rapport aux puissances décroissantes de x et posons
f(x) = sm (P,z+...) 5 (P: mt +...) ie (Pate 420) LL TTRR + (—1)" (Pan + ÉLAEA },
en écrivant entre parenthèses tous les termes consécutifs qui ont le même signe ; le nombre des variations de f(x) est évidemment égal à #. Multiplions f(x) par x—a, et écrivons d’abord le produit par x; il viendra
af(x)={(P, rt.) (Pirrhtie,,,) (Por EE + (ir) (Parti).
Pour déduire de ce résultat la valeur du produit (x— a) f(x), 1l faut lui ajouter — af(x). Or je dis qu'après cette addition les signes des termes dont les degrés sont respectivement MI, MyIi, MoHl,..…, m1 seront restés les mêmes. Cela est évident pour le premier de ces termes, puisque le produit —af{(x) n’est que du degré m. Quant au terme du degré m,+1, il pourra être modifié, parce que —af(x) peut renfermer un terme du même degré; mais ce terme, s'il existe, est le produit par — a du dernier des termes contenus dans la première parenthèse de f(x), et, par conséquent, 1l est négatif; donc le signe du terme de degré m+1 dansx f(x) ne sera pas changé. Pareillement, si — af(x) peut donner un terme du degré m:+1, ce terme est nécessairement le produit par —« du dernier des termes contenus dans la deuxième parenthèse de f(x),etilale signe +, comme Île terme semblable du
produit x f(x). Il est évident que le même raisonnement s'applique à ceux des termes suivants que nous considérons. Mais le dernier terme de —af(x) est de signe contraire au terme de degré m,+1 qui figure dans xf (x), et 1l ne peut se réduire avec aucun de ceux contenus dans ce produit. Donc, dans le produit (x—a) f(x), les termes dont les degrés sont m+1, m1, moi,
mn+1 et le dernier terme auront alternativement les signes + et —; il y a par conséquent au moins 7+1 variations dans ce produit. Il peut y en avoir davantage; mais comme, en passant d’un signe + à un signe — ou inversement, on rencontre nécessairement un nombre impair de variations, 1l est évident que, si le produit (x—a) f(x) a plus de n+1 variations, il en aura 2k+n+1, 2k désignant un nombre pair.
117. Le lemme que nous venons d'établir nous donne immédiatement le théorème de Descartes, qui consiste dans la proposition suivante :
Taéorème. — Dans une équation quelconque, le nombre des racines positives ne peut pas surpasser le nombre des variations du premier membre; et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.
En effet, soit f(x)=— o l’équation proposée. Décomposons le polynôme f(x) en ses facteurs linéaires ; désignons par F(x) le produit des facteurs qui répondent . aux racines imaginaires ou négatives, et SOlent @y, Go...) a, les racines positives. On aura
f(x)=F{(zx) (x a) (x — a)...(x— a),
L’équation F(x)—o n'ayant pas de racines positives, le premier et le dernier terme de F{x) sont de même signe, et en conséquence le nombre des variations
de ce polynôme est un nombre pair 24 qui peut se réduire à zéro.
Le polynôme F{x) ayant 24 variations, le produit F(x) (x—a,) en aura 2k,+1, d’après la proposition précédente, k, étant égal ou supérieur à k. Pareillement, le produit F(x)(æ—a,;)(æ — a;) aura 2k:+2 variations, et ainsi de suite, de manière que le dernier produit, qui est égal à f(x), aura 2k, + v variations, k, étant un entier positif ou nul.
CoroLLaire. — Dans une équation quelconque, le nombre des racines négatives ne peut pas surpasser le nombre des variations de l'équation transformée en — x, et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.
1418. Le théorème de Descartes a pour complément la proposition suivante, qui n’en est au surplus qu'une conséquence :
Tuéorëme. — St une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations, et le nombre des racines négatives est égal au nombre des variations de la transformee en — ZX.
Considérons les différences entre le degré de chaque terme d’une équation de degré mn et le degré du terme suivant. Parmi ces différences, il peut y en avoir qui soient des nombres impairs : je les désignerai par
D Ai TL; M2 Re TAN. DEN
quant aux différences qui sont égales à des nombres pairs, je disunguerai celles qui répondent à deux termes de signe contraire de celles qui se rapportent à deux termes
SECTION I. — CHAPITRE VI. 261 de même signe. Je désignerai les premières par 2hi+92, 2h +9, ,.,, 2h +2, tandis que les autres seront représentées par 281 282 ve, 28e
Comme il y a u + v + p différences, le nombre des termes de l'équation est égal àp+v+p+1, et il est évident qu'il manque à celle-ci, pour qu’elle soit complète, un nombre de termes qui sera égal à 2S + y —p si l’on fait, pour abréger,
S— (Ait hot HA) Rite HA) + (gi get +8).
En ajoutant le nombre des termes contenus dans l’équation proposée avec le nombre de ceux qui lui manquent pour qu’elle soit complète, on aura évidemment une somme égale à m +1; donc
Désignons maintenant par V le nombre des variations de l’équation proposée, par V’le nombre des variations de la transformée en — x, et cherchons la valeur de V + V/. Considérons d'abord deux termes consécutifs dans lesquels la différence des degrés soit un nombre impair 24 +1; il est clair que, si ces deux termes offrent une variation dans la proposée, ils présenteront une permanence dans la transformée en — x, et inversement ; donc les deux termes ne donnent qu’une unité dans V + V/, et, comme il y a, par hypothèse, y couples de termes du même genre, ces termes fourniront a unités à la somme V + V’. Considérons en second lieu deux termes consécutifs de signes contraires et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair 2 À + 2; ces deux termes donnent une variation dans la transformée
aussi bien que dans la proposée, et, comme il y a y couples de pareils termes, ils apporteront 2 y unités dans la somme V + V’. Enfin, si l’on considère deux termes de même signe et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair 28, ces termes ne donneront aucune variation dans la transformée en — x et ils ne fourniront rien à la somme V + V'. On a donc, d’après cela,
(2) V+V'=p+ 2, et par conséquent la formule (1) peut s’écrire (92 NM =NLNE0S,
S1 l’on désigne par P le nombre des racines positives de l'équation, par P’ le nombre des racines négatives et par 21 le nombre des racines imaginaires, on aura aussi
(4) m—P+P'+1; et la comparaison des formules (3) et (4) donnera (5) 21—(V- PE (V'—pP')+0s.
Si l'équation proposée a toutes ses racines réelles, I est nul; d’ailleurs aucun des nombres V — P, V!'— P' ne peut être négatif; donc on a non-seulement
(6) Pas Vs Rive mais encore (7) S = 0.
Les formules (6) démontrent la proposition énoncée; la formule (5) nous fait connaître en outre une limite du nombre des racines imaginaires. On en üre effectivement
Lou seess
d'où il résulte qu'une équation a toujours des racines
imaginaires lorsqu'il manque plus d'un terme entre deux termes de signes contraires, et lorsqu'il manque même un seul terme entre deux termes de même signe.
CorozLarre 1. — Si une équation a toutes ses racines réelles et positives, l'équation est complète et elle ne présente que des variations.
Car le nombre des variations doit être égal au degré m de l'équation, et celle-ci renferme en conséquence m +1 termes.
Cororzatre Il. — Si l'équation f(x) = o a toutes ses racines réelles et que a soit une quantité positive, le produit (x — a) f(x) ne renferme qu'une variation de plus que f(x).
Car, dans chacune des équations
flæ)=0, (x—a)f(x)—0,
le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre. La deuxième équation ayant une seule racine positive de plus que la première, elle a aussi une seule variation de plus que celle-ci.
119. Le théorème de Descartes conduit encore à une autre proposition sur laquelle nous croyons devoir appeler l'attention, parce qu’elle est le point de départ de recherches nouvelles dont nous aurons à parler ensuite. Cette proposition est la suivante :
Taéorëme. — Soient f(x)—o une équation du degré m dont les m racines sont réelles, et f'(x), f(x), ...,f"(x) les m dérivées successives du polynôme f(x). Si, dans la suite des m-+1 fonctions
fe) x) Pleh ce fe)
on substitue successivement deux quantités réelles quel-
conques « et 6 a, et si, après chaque substitution, on compte les variations de signes que présente la suite des résultats, le nombre des variations perdues en passant de x = « à x — 6 sera précisément égal au nombre des racines de l’équation f(x)—o comprises entre « et 6.
En effet, posons successivement x=x'+a et
— x'+ 6. Le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à à sera égal au nombre des racines posiives de la transformée f(x!'+ æ) — o, et, en conséquence, égal au nombre des variations du polynôme f(x'+ &), puisque toutes les racines sont supposées réelles. Pareillement le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à 6 sera égal au nombre des racines positives de f(x + 6) —o, et, par suite, égal au nombre des variations de f(x'+ 6); d’où 1l suit que l'équation f(x) —o a précisément autant de racines comprises entre « et 6 qu’il ya d'unités dans l’excès du nombre des variations de f{x'+ «) sur le nombre des variations de f(x! + “ Mais on a
x'? PU Pa) fe) Pr) EP) EP) donc l'excès dont nous venons de parler est égal à la différence entre le nombre des variations que présente la suite
ACT f(x); ke) 5h FER À
pour x = 2, etle nombre des variations que présente la même suite pour x — 6.
Theorème de Budan.
120. La proposition précédente cesse d'être exacte, lorsque l'équation f (x) —ona pas toutes ses racines
réelles. Mais, en cherchant à en modifier l'énoncé de manière à embrasser tous les cas, Budan est parvenu à un théorème remarquable que nous allons exposer, après avoir établi préalablement un lemme fort important sur lequel nous aurons à nous appuyer.
Lemme. — Si f(x) désigne une fonction entière de x ayant pour dérivée f'(x), et que l’on fasse croitre x de — © à +, chaque fois que le rapport He TL s'annulera, il passera toujours d’une valeur négative à une valeur positive. |
En effet, soit a une valeur de x pour laquelle f(x) s’annule. Si m est le degré de cette fonction et que l’on represente pan (2x) 2f (x) un f(x) ses: dérivées
successives, Ôn aura, pour 4 —@ + U:
Ha + 0) = (a) + 9 (ae M pr(a) +.
ts. UE) Pla+a)=f"{a) + Pate RER Aie
+ —— —— M2 0iMmT) comme il peut arriver que la valeur x = a annule f(x) et quelques-unes des dérivées suivantes, je désignerai généralement par f(x) la première de ces dérivées qui ne s’annulent pas pour x = a. Alors, en divisant l’une par l’autre les deux équations précédentes, on aura
un
FM (a)
VÉr (a)
fa +u)
MA NPA (az +1)...m
Yi (a+u) RAR ee un
. . 5 È [24 la fraction qui muluplie -, dans le second membre, a na
pour limite l’unité quand « tend vers zéro; done, pour des valeurs de w positives ou négatives dont le module est suffisamment petit, les quantités
flat a) f'(a'+u) seront de même signe; il résulte de là que, si k désigne
une quantité positive suffisamment petite, et que l’on fasse croître u de —}h à + h, le rapport
flahu) f'(a + u)?
u et
d’abord négatif, s’annulera en même temps que u et deviendra ensuite positif.
Corozzaire. — $t le polynôme f(x) et ses n —1 premières dérivées s'annulent pour x = a, et que h désigne une quantité positive suffisamment petite, la suite des n +1 fonctions
fe) fe) Ple) 2e) fe)
présentera n variations pour x = a—h, etelle n'offrira que des permanences pour x = a + h.
En effet, deux fonctions consécutives de cette suite
sont de signes contraires pour x = a — h, et elles sont de même signe pour x = a+ h.
121. Taéonkme ne Bupan. — Æ£tant donnée une équation quelconque f(x) = 0 de degré m, si dans les
m + 1 fonctions
(1) fleh fe SFR) ES
on substitue deux quantités reelles quelconques «a et
6 >> «, et si, après chaque substitution, on compte les variations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines de f (x) = 0 comprises entre a et 6 ne peut jamais surpasser celui des variations perdues de x = à x —6, et, quand il est moindre, la difference est toujours un nombre pair (!).
En effet, quand on fait croître x d’une manière continue de « à 6, la suite des signes des fonctions (1) ne peut éprouver de modifications qu’à l'instant où x atteint et dépasse une valeur qui annule quelqu'une de ces fonctions; supposons donc que, pour x — a, une ou plusieurs des fonctions (1) s’annulent. Parmi ces fonctions qui s’annulent, pour x = a, il peut y en avoir plusieurs qui soient consécutives; soient donc généralement
(2) tra, FREE FR HA)
n fonctions consécutives qui s’annulent pour x — a, le nombre z pouvant se réduire à l’unité. L'indice a peut être zéro, auquel cas f#(x) représente la fonction f(x); mais le dernier indice + n—1ne peut être égal à mn, car la fonction f(x) est une constante différente de zéro.
Cela posé, considérons la portion de la suite (1) qui comprend les fonctions (2) et la fonction suivante, savoir :
(3) Pr), fée) Le, fért(e), J(a):
d’après le corollaire du lemme qui précède, si » désigne
(!) Ce théorème est souvent attribué à Fourier, qui l’avait sans aucun doute rencontré dans ses recherches ; mais la priorité appartient réellement à Budan, qui communiquà en 1811 à l’Académie des Sciences la démonstration complète du théorème. L’énoncé que nous adoptons ne diffère que dans la forme de celui donné par Budan, et il est tel que Fourier l’a présenté dans son Analyse des équations, publiée après sa mort, en 1831, par les soins de Navier.
268 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE.
une quantité positive suffisamment petite, les 7+1 fonctions de la suite (3) offriront 7 variations pour æ—= &— h, tandis qu’elles ne présenteront que des permanences pour x = a + h. Appliquons successivement ce résultat aux cas deu — o et deu > 0.
Dans le cas de u = 0, on peut dire que : si les n premiers termes de la suite (1) s’annulent pour x = a, c'est-à-dire si l'équation f(x) —0 a n racines égales à a, la portion de la suite (1) qui embrasse les n +1 premiers termes perd n variations, quand on passe dex=a—hàx—a+h. |
Dans le cas de p >> 0, joignons aux fonctions (3) celle qui les précède dans la suite (1), on aura les n + 2 fonctions
4) Fee), (a), Fe), ee, Per), frere).
S1 7 est un nombre pair 24, l'équation f#(x) —=o a 2k racines égales à a, et, en conséquence, f#*(x) ne change pas de signe quand x varie de a — } à a + h; d’ailleurs f*7'(x) conserve aussi le même signe; donc la suite (4) perdra 24 variations quand on passera dea—hàa+h. S1, au contraire, 7 est un nombre impair 24 + 1, l’équaion f*(x)—o a 2k +1 racines égales à a et f“(x) change de signe quand x varie de a—h à a +h; comme f"—'(x) conserve le même signe, il s'ensuit que la suite des deux fonctions f(x), f(x) perdra ou gagnera une variation dans le passage de a—hàaa+h, et, par conséquent, la suite (4) perdra dans ce cas (2k +1), c’est-à-dire 24 ou 24 + 2 variations. On peut donc dire que : si n termes consécutifs de la suite (1), ne comprenant pas le premier terme, s'annulent pour x = à, la portion de la suite (1) qui embrasse ces n termes avec celui qui les précède et celui qui les suit perd un nombre pair de variations, quand on passe
sh
Er a”
de a—h à a+ h; ce nombre de variations perdues peut se réduire à zéro quand n = 1; mais, pour n >1, il est positif.
Il résulte de là que, x croissant de & à 6, chaque fois que cette variable atteint et dépasse une valeur & qui annule quelques-unes des fonctions (1), cette suite perd v+ 2k variations, À étant un entier positif ou nul, et le nombre v, qui peut aussi se réduire à zéro, étant précisément égal au nombre des racines de l'équation f(x)=o qui sont égales à &. Si donc N désigne le nombre total des racines réelles égales ou inégales comprises entre & et 6, le nombre des variations perdues en passant de x = « à x — 6 sera égal à N ou égal à N augmenté d’un nombre pair.
Corozrare. — Si l'équation Jf(x)=0oanN racines comprises entre « et 6, et que la suite (1) perde N +2K variations dans le passage de x = à à x = 6, l'équation a au moins 2K racines imaginaires.
En effet, désignons par N, le nombre des racines comprises entre — « et &, par N’celui des racines comprises entre 6 et + æ. Soient aussi N;, + 2K,, N'+ 2K'les nombres de variations perdues dans la suite (1) quand on passe de x=—àx—a et de x—6àx—+o.Il est évident que pour x — — la suite (1) présente m variations, tandis qu’elle n’a que des permanences pour x —= æ ; on a donc
N+N+<N+2kK, + 2K +2K'—= m;
le nombre 21 des racines imaginaires est égal à m—{(No+N + N'), et l’on a conséquemment
I=K,+K<+K', d'où I—=ou >K,
122. Nous présenterons ici deux remarques au sujet du théorème de Budan.
270 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE. .
Quand on applique ce théorème, il peut arriver que l’un des nombres « et 6 qu'il faut substituer à x annule quelques-unes des fonctions de la suite (1). On sauve cette difficulté en substituant & + À au lieu deæet6—h au lieu de 6, À désignant, comme précédemment, une quantité positive suffisamment petite. Aucun calcul ne sera d’ailleurs nécessaire, car supposons que l'hypothèse x = à annule les termes de la suite (3) à l’exception du dernier, nous savons que cette suite (3) n’offre que des permanences pour x —=a—<+h. Si c’est, au contraire, l'hypothèse x — 6 qui annule les fonctions dont nous venons de parler, la suite (3) ne présentera que des varations pour x = 6 — h.
Le théorème de Descartes peut être regardé comme un corollaire de celui de Budan. Supposons, en effet, que l’on veuille appliquer ce dernier théorème en prenante =0, 6—+o. Pourx=+, la suite des fonctions (r) ne présente que des permanences, et pour x = o ces fonctions se réduisent aux coefficients de l’équation f(x) = 0, en faisant abstraction de certains multiplicateurs numériques et essentiellement positifs. A. la vérité, l’hypothèse x == 0 peut annuler quelques-unes des fonctions (1), et cela arrive nécessairement si l'équation proposée manque de quelques termes. Mais supposons qu’au lieu de substituer zéro on ait substitué successivement — À et + h; comme le nombre des variations perdues en passant de — } à +h est pair, si, comme on le suppose, l'équation proposée n’a pas de racines nulles, il est permis de ne tenir aucun compte de celles des fonctions (1) qui s’annulent pour x —0, lorsque l’on applique le théorème de Budan en prenant « — + het6 — +, ou, ce qui revient au même, en prenant & — 0, 6 — + « . Il résulte donc du théorème de Budan que: si l'équation f (x) = 0 a N racines positives, la suite des coefficients des termes
contenus dans le premier membre offrira N + 2K variations, K étant un entier positif ou nul; ce qui est précisément le théorème de Descartes.
Théorème de Rolle.
123. La proposition connue sous le nom de théorème de Rolle est utile dans quelques circonstances, et elle se rattache directement à la théorie que nous exposons; aussi croyons-nous devoir la présenter 1c1.
Taéorëme. — Si a et b désignent deux racines consécutives de l'équation f (x) = 0, en sorte que cette équation n'ait aucune autre racine comprise entre & et b, l'équation f'(x) = 0, obtenue en égalant à zéro la derivée de f(x), a au moins une racine comprise entre a et b, et, quand elle en a plusieurs, le nombre de ces racines est impair.
En effet, si l’on suppose b > a et que l’on désigne par À une quantité positive suffisamment peute, le premier des deux rapports
fia+h) J\b—h) NCEUR ATAUNRETS
sera positif, tandis que le second sera négatif (n° 120;. D'ailleurs les numérateurs f(a+h) et f(b—h) sont de même signe, puisque l’équation proposée n’a pas de racine entre a + et b—h; donc les dénominateurs f'(a+h),f'(b —h) sont de signes contraires, et, en conséquence, l’équation /’(x) = 0 a un nombre impair de racines comprises entre a + h et b — }, ou entre a et à. Il faut remarquer que ce théorème subsiste, lors même que a ou b serait une racinc multiple de l’équation proposée.
