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EN

(*) Journal de Mathématiques pures ct appliquées, 1° série, t. I

V'et V, désignant des fonctions enüères de £, sans diviseur commun. Cela posé, voici en quoi consiste la règle de Sturm :

Si le degré de V n'est pas inférieur au degré de V,, on divisera V par V,, et l’on poussera l'opération jusqu'à ce que l'on obtienne un reste — V, de degré inférieur au degré de V,; on divisera pareillement V, par V;, ce qui donnera un reste — V,; on divisera encore V: par, V:,et l’on continuera lamémesérie d'opérations jusqu'à ce que l'on arrive à un dernier reste — V, indépendant de t. On obtiendra ainsi la suite de fonctions

V, Vis V2, .., Vies ve

on comptera le nombre des variations que présente la suite des signes de ces fonctions pour t = T, ainsi que le nombre des variations qu'elle présente pour t = to; l'excès du premier nombre sur le second sera précisément l'excès cherche À.

Si le degré de V est inférieur au degré de V,, on opérera de la néme manière; seulement, dans la première division, on prendra V, pour dividende et V pour diviseur; on obliendra ainsi La suite

VO VS VS VTT US Ve

on comptera le nombre des variations de cette suite pour t=T, ainsi que le nombre de ses variations pour t— to, et si l'on désigne par k l'excès du premier nombre sur le second, on aura A=—k, ou A=—ÆK+:r, ou A——k—1, savoir : 1° A——Kk, quand les termes V,, V offrent une variation ou une permanence pour t=t ainsi que pour t=T ;2°ÂA=—k+1, quand les termes V,, V offrent une permanence pour t=t et une variation pour t= T; 3° enfin A=—k—1,

quand les termes V;, V offrent une variation pour t— to, et une permanence pour t =T.

Cette proposition devient évidente après les développements que nous avons présentés au n° 133.

437. Si le contour que l’on considère est une circonférence de rayon R dont le centre soit placé au point qui a Xo et Yo pour coordonnées, on pourra faire

ns at

LX—=xr R — R RS mr RAT CAVEnm 1 + À

et, pour décrire la circonférence entière en marchant toujours dans le même sens, il suffira de faire croître £ de — © à +.

Le cas le plus simple est celui où le contour donné est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes coordonnés; on cherche alors séparément la valeur de l'excès À qui se rapporte à chaque côté. Dans ce cas, l'une des coordonnées x, y est constante, et le rapport

P ; ; ne F — estune fonction rationnelle de la deuxième coordonnée;

Q on peut donc prendre celle-ci pour la variable ? que nous avons introduite.

Soit le rectangle ABDC, et supposons que l’on ait res-

pectivement

pour les côtés parallèles CD et AB, F=Yo € J=Ÿ pour les côtés CA et DB. Représentons par (ao+ibo)(x + ir)" + (a +ib){e +iy) IH...

le premier membre de l'équation proposée. On peut toujours ramener le coefficient du premier terme à l’unité ou à 1; mais nous ne ferons point cette simplification et nous supposerons que & ne soit pas nul quand m est pair et que à, ne le soit pas quand m est impair. Cela posé, la fonction P étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de y, son premier terme sera + a,7”* dans le cas de mn pair, et il sera Æ D, y” dans le cas de m impair. Donc, si l’on attribue à y une valeur positive ou négative déterminée, dont le module soit suffisamment

1% grand, le rapport ou s’annulera pour aucune valeur de

x comprise entre x, et X; en conséquence, si l’on suppose Yo —, Ÿ — +, l'excès relatif à chacune des portions CA, BD du contour sera nul. D'ailleurs, l'excès relatif au côté DC est égal et de signe contraire à l'excès qui se rapporte au même côté CD changé de sens, et, en conséquence, on a la proposition suivante :

Soient z une variable unaginare LT y et

F(z)=vg(e y) +ig(a y) une fonction entière de z. Soit k, l'excès du nombre de ? (To % Ÿ Get Y) sitif au négatif sur le nombre de fois que le méme rapport s'annule en passant du négatif au positif, quand y varie de — © à + ; soit aussi K la quantité anap(X.7r) Y(X,7)

fois que le rapport s'annule en passant du po-

logue relative au l'apport » el désignons par kb Le

nombre des racines de l'équation f(z) = 0 comprises entre les deux parallèles qui répondent à x = x, T= X on aura

Kio ROSES

Îlest presque superflu d'ajouter qu'on peut déterminer d’une manière semblable le nombre des racines comprises entre deux parallèles à l’axe des «x.

Premières recherches sur la séparation des racines réelles des équations numériques. Emploi du théorème de Sturm.

138. Une équation, dans laquelle quelques-uns des coefficients sontimaginaires, peut être mise sous la forme p(x) +ibd(x)=o, p(x) et Y(x) étant des polynômes à coeflicients réels, et les racines réelles doivent évidemment satisfaire aux deux équations o{x)— 0,%(x)—0, ou à l'équation obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de ces polynômes; il en résulte que la recherche dont nous avons à nous occuper doit être bornée aux équations à coefficients réels. En outre, 1l n’y a évidemment lieu de considérer que les équations qui n’ont pas de racines égales.

La première idée qui se présente pour séparer les racines d’une équation f(x) —0, d’un degré quelconque m, et qui n’a pas de racines égales, est de déterminer (n° 112) deux limites let L>> [, entre lesquelles les racines réelles soient toutes comprises, et de substituer à x dans Le polynôme f(x) une suite de nombres croissants

(1) /, UE ls DIOUER ÈS

commençant à la limite inférieure / et se terminant à un terme /, égal ou supérieur à L. Deux termes consécutifs

ne 7, > Le - MORT 7 LA M. VON h. 7" L L X L : ° k % as 4 7

de cette suite, s'ils fournissent des résultats de signes contraires, comprendront entre eux au moins une racine (n° 115); mais, si ces résultats sont de même signe, on ne pourra plus rien conclure en général. Toutefois, la séparation des racines sera entièrement effectuée, s’il arrive que le nombre des intervalles dans chacun desquels les substitutions indiquent l'existence d’une racine soit égal au degré m de l'équation; la même chose aura lieu aussi si, le nombre y de ces intervalles étant inférieur à m2, on a constaté, par Le théorème de Descartes ou autrement, que l’équation ne peut avoir plus de racines réelles.

Mais le procédé dont il est question prendra le caractère d’une méthode générale conduisant infaillihblement, dans tous les cas, à la séparation des racines réelles, si nous y ajoutons une règle pour former la suite (1) de telle manière que deux termes consécutifs ne puissent comprendre plus d’une racine. Or il est évident qu'on réalisera cette condition en faisant coïncider la suite (1) avec une progression par différence