LORIE D AGREE ENT

dans laquelle la différence 2 soit inférieure à la différence de deux racines réelles quelconques de l'équation f(x) = 0; tout est donc ramené à déterminer cette quantité 2. On y arrive par le moyen de l’équation aux carrés des différences (n° 97) des racines de l’équation f(x) = 0. Supposons que l’on ait calculé cette équa-

à . , , m(m—1) tion, qui est, comme on sait, du degré 7 SHRAEUIRE

l’on ait déterminé une limite inférieure À de ses racines positives. La différence de deux racines quelconques de

la proposée sera supérieure à 4/X, et, en conséquence, il suffira de prendre pour = une quantité positive égale ou

inférieure à VA. La différence L ainsi déterminée peut être un nombre inférieur à 1, et l’on doit chercher à éviter les substitutions de nombres fractionnaires; on y parviendra au moyen de la transformation x = hx’ qui sert à diviser par À la racine de la proposée. En faisant cette transformation et en choisissant / de manière que

x Soit un nombre entier, on n’aura à substituer que des è

nombres entiers dans l'équation en x!.

139. La méthode que nous venons d’exposer est communément attribuée à Lagrange, mais il est juste de dire, et l’illustre géomètre le reconnaît lui-même, que Waring avait indiqué antérieurement, dans ses Miscellanea, l'usage de l'équation aux carrés des différences pour la séparation des racines. Cette méthode fait connaître d’une manière certaine le nombre des racines réelles, en même temps qu’elle opère leur séparation; mais on aperçoit sans peine combien l'application en est laborieuse, en considérant d’une part le grand nombre de substitutions que l’on peut avoir à effectuer, et d’autre part la longueur du calcul nécessaire pour former l'équation aux carrés des différences. Cependant Cauchy a montré qu’on peut éviter ce dernier calcul, et que, pour être en mesure d’assigner une valeur de la quantité k, il suffit de connaître le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, lequel peut être calculé séparément par diverses méthodes dont on trouvera le développement dans la Section II de cet Ouvrage. En effet, soient a, b, c, ..., J, g les m racines de l’équation f(x)—0o; le dernier terme de l'équation aux carrés des différences sera égal, abstraction faite du signe, à l’expression

Cette valeur de V étant supposée connue, soit v son mo-

dule, en sorte que » = Æ V ; désignons aussi par p une limite supérieure des modules des racines de l'équation proposée (n° 46). Les modules des différences

seront inférieurs à 2p (n° 39); si donc on suppose que les racines a et b soient réelles, l’égalité précédente donnera p<T(a—b}{2p}"0n-1)-2, d'où (a—b} > Gorons?

X 2.0 Les

si donc on prend

Ve

mure DIRES re (2p)

la quantité À sera certainement plus petite que la différence de deux racines réelles quelconques. On verra dans la Section IT que, si le coefficient du premier terme de l’équation proposée est égal à r et que les autres coefficients soient des nombres entiers, la quantité V est toujours un nombre entier ; on pourra donc, dans ce cas, se dispenser de calculer s, et l’on prendra

m(m—1) ED