VRAENE RU OUT) MIE
dans le passage de x—a à x—6. Ce nombre À, est ce que Fourier nomme l'indice relatif à f(x); l’indice relatif à f(x) sera donc représenté par À,, et celui qui se rapporte à la dernière fonction f(x) sera zéro, en sorte que la série
(3) NRA PASRESESMIT ER
comprendra les indices des m<+x fonctions (1); il est évident que, dans cette suite, deux termes consécutifs sont égaux entre eux ou ne diffèrent que d’une unité; ainsi l’on a
A; —AÀ;;;—1, ou —=A,,, ou Ai I.
Nous avons examiné plus haut le cas de Aç—o et celui de Aç—1; dans le premier cas, l'équation f(x) =o n’a aucune racine entre & et 6; dans le second cas, l’équation a une seule racine entre les mêmes limites. Il importe de remarquer que, si l’on a A,=1, on peut, en
‘é à » 1 .* pe OP "a Hi À
SECTION I. — CHAPITRE YI. 311
diminuant l'intervalle de & à 6, faire en sorte que A, = 0; en effet, f(x) —0 n’a qu'une seule racine x’entre œet&, et, par suite, elle ne peut avoir, avec sa dérivée, aucune racine commune comprise entre æ et 6; donc, en remplaçant les limites & et £ par deux autres suffisamment rapprochées, on pourra toujours faire en sorte que l'équation f’(x)—0 n’ait aucune racine dans le nouvel intervalle; alors, la suite (1) ne perdant qu'une seule variation, on aura À, = 0.
Supposons actuellement que À, = 2 ou À, >2. Parcourons la suite (3) en partant de la gauche, jusqu'à ce que nous trouvions un indice égal à 1: so:t À, ce premier indice égal à l’unité; la méthode que nous allons développer a pour objet de reculer successivement l’indice À, vers la gauche de la suite (3), ou, ce qui revient au même, de diminuer le nombre 7 qui marque le rang de l'indice. L'indice À,, qui précède À, ne peut être égal à 1, par hypothèse; donc ilest o ou 2; mais, si l’on avait Ay-, = 0, comme À, est au moins égal à 2, en remontant la suite ( 3) à partir de A,,, on rencontrerait nécessairement un indice égal à 1, ce qui est contraire à l’hypothé insudlOn a A7, lenvsorte que le:premier indice À, égal à 1 est nécessairement précédé d’un indice égal à 2. Or, si ce même indice n’est pas suivi d’un indice À,,, égal à zéro, on pourra toujours, comme on l’a vu plus haut, trouver deux limites , 6" comprises entre æ et 6 et qui ne comprennent aucune racine de l'équation f+!(x) —0o; l'intervalle de « à 6 sera alors partagé en trois autres, savoir celui de & à +, celui HPsRbiéMencelui de, 67à 6. L'équation.f?(#)—=0otn'a aucune racine dans le premier et dans le troisième intervalle ; donc, pour chacun de ceux-c1, l'indice A, est zéro, et, en conséquence, le premier indice égal à 1 est reculé vers la gauche de la suite (3). À l'égard de l'intervalle
312 COURS D'ALGÈLRE SUPÉRIEURE.
dont # et 6’ sont les limites, il peut arriver que A, ne soit plus le premier indice égal à 1; dans ce cas, ce premier indice se trouvera reculé vers la gauche. Mais il peut arriver aussi que À, demeure le premier indice égal à r, et alors on a simultanément
NS D VEN ENTS An+1 — O0.
Tant que ce dernier cas ne se présentera pas, on pourra reculer le premier indice 1 vers la gauche de la suite (3), jusqu’à ce que cet indice y occupe le premier rang, et l’on se trouvera dès lors dans le cas de A, 1 qui est celui d’une seule racine comprise dans l'intervalle dont on s'occupe.
Ainsi nous n’avons plus à considérer que le cas où le premier indice À, égal à 1 est précédé d’un indice égal à 2, et suivi d’un indice égal à o. L’équation fr-1(x)=o peut alors avoir deux racines réelles entre & et 6, mais elle peut aussi n’en avoir aucune; on distinguera ces deux cas l’un de l’autre, au moyen de la règle exposée au n° 144%. En même temps cette règle donnera le moyen de séparer les racines, si elles sont réelles et inégales; l’une d’elles sera comprise entre «& et un certain nombre a, la seconde entre a et 6; à chacun de ces nouveaux intervalles répondra une série d'indices dans laquelle le premier terme égal à r se trouvera reculé vers la gauche au delà de À,.Sil’équation f(x )=— 0 n’a aucune racine réelle entre & et6, on reconnaît, en se reportant à la démonstration du théorème de Budan, que chacune des équations
(4) Te CALE role Et PAR Site) 0 f{r}==a
a deux racines imaginaires. En effet, il résulte de nos
hypothèses que l'équation f"{x) — o aune racine entre æet6, laquelle, substituée dans f(x) et dans f+1(x), donne des résultats de même signe; donc la suite des trois fonctions
Da brt FAT De FAURE) perd deux variations dans le passage dx =aàx—6é. En conséquence, cette circonstance introduit dans les indices A0 A4, .….s Dr
une partie égale à 2 que l’on peut supprimer, car chaque indice n’exprime autre chose, dans cette théorie, qu’une limite supérieure du nombre de racines réelles que peut avoir l'équation correspondante, dans l'intervalle considéré. Alors on aura, après cette suppression de deux unités,
An — 0,
en sorte que le premier indice égal à 1 se trouvera reculé vers la gauche.
Il peut arriver que l'équation f(x) 0 ait deux racines égales comprises entre æ& et 6; il est facile de voir que la conclusion est la même que dans le cas de deux racines imaginaires, à moins que l’équation proposée n’ait des racines égales. Si la racine double dont
nous nous occupons appartient à chacune des équa-
tions (4), la proposée aura 7 + 1 racines égales à cette racine.
146. Exewrze Ï. — Je choisirai pour premier exemple l'équation
DH x — nt — 28 + 2 — x +1 —O,
at 314 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
CRU 4 Qu a x UE déjà considérée au n° 142. On a Eu, Île) = 2 + 25 — nt 8 Rx x +7, ‘14 - 50 2 2 Gas AY are xi— 3x For 1, ë. JEANNE FHiox — 6x?— 3x +1, > HR T2 € < EX À 77 1V she 192? + 5x —1, 2 ete TRE sr e) a fn I EN LIBRE His ME PS mare 1728304010 Les racines réelles de Prin f(x)= 0 sont com- 2 prises entre — 1 et + 1; substituons les nombres I I OU) = NO NE PP EEE 2 2
À dans la suite D. Pie} eh de), le) ee) PE
on obtiendra les résultats suivants :
x fe) | Fe Le) LP") LP) |) Fe)
De FRET TE CRT
‘1 Ris + — + + + — +
Na + = + — 7 . + =. + + 1 + + Le + + + +
pe & 4: : . ND
SECLION I. — CHAPITRE VI. 319
FRA 2 I Il ya deux variations perdues de — 1 à — -, deux autres
sit F2 de o à =» deux enfin de - à r.
PA
On reconnaît immédiatement qu'il n’y a point de ra-
; : I cines réelles entre — et 1, parce que l’on a
106 On APE RAOER
ce qui donne
Zac U2At Li 1,10,::0;
le premier indice 1 étant suivi d'un autre indice égal à r, LA L . L2 . . I il nous faut resserrer nos limites. La substitution de n donne les résultats +++; C1 - L1 . . LL “ ï d'où il suit qu'il n’y a aucune variation perdue de o à 7?
: la série des
: NS + AUS il suffit de considérer l'intervalle de 7 ae
indices qui répondent à cet intervalle est
