Cela posé, soit f(x)= 0 une équation donnée

du degré m, et considérons la suite (1) FC a far FA SEL RUE. LUE)

formée par la fonction f(x) et ses dérivées successives. Pour effectuer la séparation des racines, on procédera de la même manière que par la méthode de Sturm, et l’on

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substituera à x, comme nous l’avons indiqué au n° 141, une suite de nombres croissants

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compris entre les limites des racines.

Si, dans le passage x — à à x — 6, la suite des signes des fonctions (1) ne perd aucune variation, l’équation f(x)=0 n'aura aucune racineréelle comprise entre & et6. S'il y a une seule variation perdue, l’équation f(x) = 0 aura une seule racine entre æ& et 6, et cette racine sera séparée. ;

S'1l y a deux variations perdues en passant de x = « à x = 6, il peut arriver que l'équation f(x) = o ait deux racines entre æet6 ou qu’elle n’en ait aucune; on.a vu que, si le dernier cas a lieu, l'équation a nécessairement deux racines imaginaires. Nous allons indiquer comment on peut distinguer ces deux cas l’un de l’autre, lorsque la perte de deux variations se manifeste dans la portion de la suite (1) qui est formée par les trois premières fonctions

(2) f(x), Fe), Pa).

Comme le théorème de Budan s'applique à l’une quelconque des fonctions de la suite (1), il résulte de notre hypothèse que l'équation f”{(x) — 0 n'a aucune race comprise entre & et 6. Si doncon a

FAC ANS PACS

F6) Je) on sera certain, d’après le lemme du n°143 (corollaire I), que l’équation f(x)=— 0 ne peut pas avoir deux racines réelles entre & et 6. Lorsque l'inégalité précédente n’est point satisfaite, il faut substituer dans f(x) et f'(x) un nombre a compris entre & et 6; si f(a) est de signe

Lou 6 — a;

JP UN

contraire à f(x) et f(6), il y aura deux racines réelles comprises l’une entre x et a, l’autre entre a et 6; mais,

si f (a) est de même signe que f(x) et f (6), on connaîtra, | par les substitutions faites dans la suite (2), quel est celui des deux intervalles de & à a ou de a à 6 dans lequelil peut exister deux racines. On appliquera alors à ce nouvel intervalle ce qui a été dit du premier, et, après quelques essais du même genre, on arrivera généralement à connaître la nature des deux racines; cela suppose, bien entendu, que l'équation proposée n’a pas de racines égales.

145. Considérons maintenant le cas général, et désignons par À, le nombredes variations perdues par la suite