Exempze. — Considérons l'équation a — 7x
que nous avons déjà plusieurs fois prise pour exemple. On a
J{a)= a — gr + 7
J'{rl=srt
Ty ME si feutre fete
L’équation proposée a deux racines comprises entre 1 et 2; nous poserons
L=1+ —3 Ti
et nous aurons la transformée x — x? + 3x +1—=0;
celle-ci a une racine comprise entre 1 et 2 et une autre entre 2 et 3; nous considérerons d’abord cette dernière racine et nous ferons
on a fi(m)= ri — 4ri + 3m +,
SE (æi ) = 3x! — 8x; + 3, At (æ) PS 3x, — 4, I //4 G/ (C2 =]; en remplaçant x, par 2 dans ces formules, on aura les coefficients de la transformée en x,; celle-ci est
3 2 — La TT 2.T9 —"1 — O.
La racine positive x: est comprise entre 1 et 2; on fera
donc
on à Jar) = ri +ri —2m —1,
Fra) = 3x; + 272 — 2,
Lo»
et la transformée en x; sera Zi — NÉ — Â xs "0.
La racine positive est comprise entre 4 et 5 ; on fera donc
on a falrs) = xi— 3x? — 4x, —1,
Fa (rs) = 35 — Grs — 4,
I " sue (xs) —— nr — 3,
afs(æ) pi
360 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE,
d’où résulte la transformée en x, xi— 20%; —OTi —I—0O.
Maintenant l'opération est plus avancée qu'il n’est nécessaire pour pouvoir appliquer le procédé abrégé de Lagrange et déterminer les quotients sans tâtonnement. Formons d’abord les réduites qui répondent aux quotients que nous avons obtenus
bé ne] EN
= | ot |
La formule (2) du n° 165 donne, en l’appliquant ici au cas de 2 — 4,
nt 20 A} Ti, — 2 14 —+- na — 145?
la quantité À diffère peu de M ou de LE et 1l est
aisé de s’assurer que M est inférieur à 3. La somme des : 5 20 | û ; deux fractions : + — fournit le cinquième quotient 20;
en outre, on a 197, + 4 LE =— ©) 14x, + 3
et si l’on prend pour x, la valeur
on obtiendra une valeur de x, savoir :
SECTION I. — CHAPITRE VIl- 301
s 3 dont l'erreur sera environ —— — 0,0000002, et, par 20?.14* conséquent, si l’on réduit cette fraction en décimales, on obtiendra un résultat dans lequel les six premiers chiffres
décimaux seront exacts; on trouve
et les six premières décimales sont effectivement celles b 0461 que nous avons O tenues au n :
Si l’on veut poursuivre le développement en fraction continue, on fera
Ly= 20, +i—) TS
etl’on formeralaréduite . * qui répond au quotient x; ; puis, des équations
FRE) ie == 20x/ —OT, — I,
J'Âm)= 3x; — for, — 9;
Pas) = 82, — 20, f'n)=r,
on conclura la transformée en x;, savoir :
181% — 3g1x— 4ox; — 1 —0; la formule (2) du n° 165 donnera ensuite
qu RE + © ; 2255 Fe 2532?
d’où il résulte que le sixième quotient est égal à 2; en
362 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE.
outre, on a 384x; + 19 LE ——;, 203x + 14?
et, si l’on prend pour x; la valeur
on aura une valeur approchée de x dont l'erreur sera inférieure à a AK 283
Si l’on applique la même méthode au calcul des deux autres racines de l’équation proposée, on obtiendra les résultats suivants :
! xi— mx +7—o, TR ALES CCE | 13 12 ! n J TZ — x ET +1—=O, LI 1 1 1 1 2, 13 12 ! TES L nn tant Pa 4m ND D 1e LEE 2 2 2 2 a, BR 3 fi, | x —4+ + T3 73 78 me DA PTE 13 12 ! ur) Fe :
Li 202 0 OT, 1—0; Tr:
x"3— 7x" + 7 —=0, —2 = 3 + —) T; 3 21287 CAIST TA M 2 æ, —20%, 97, 1 0% E 2
On voit que les trois racines x, x’, x” conduisent à une même transformée, et, en conséquence, les fractions continues qui expriment ces racines se terminent par
les mêmes quotients; on a nt I I a z'—=1+ Dre Ve
x; désignant la racine positive de l'équation 3 22 — Ly—2024— 0%, 1— 0.
Nous étudierons dans la suite de cet Ouvrage les équations qui possèdent cette propriété remarquable.
167. Dans un Mémoire qui fait partie du tome 1° du Journal de Mathématiques pures et appliquées, Vincent a fait connaître une belle propriété des fractions continues, et 1l en a déduit, pour le calcul des racines réelles des équations, une méthode qui procède à la fois de celle de Lagrange et de celle de Newton; nous croyons devoir établir ici la proposition sur laquelle repose cette méthode.
Tuéorëme. — Æ£tant donnée une équation f(x) = 0 qui n'a pas de racines égales, si l’on fait successivement
REA PR n N E Lo == As + EN ….
ri Le Ta
@, &y, @+, ... étant une suite illimitée de nombres entiers positifs quelconques, après un certain nombre de transformations, il arrivera toujours que Les transformées successives n'auront que des permanences ouqu’elles n'offriront qu'une seule variation.
Le second cas se présentera si l’une des racines de
l'équation proposée est la limite de la fraction continue PR EP aan TE TEE PER (42) X | le premier cas aura lieu, au contraire, si aucune des racines n'est égale à cette limite.
Pour démontrer ce théorème, formons les réduites de
LL . ‘ L2 P LL la fraction continue (1), et désignons par G. celle qui ocnm
cupe le (n +1)*°"e rang; le quotient qui répond à la
LA : r (4 . , 0 0 e réduite — étant x», il est évident que l’on obtiendra di-
rectement la n°" transformée en posant, dans l’équaton (tx) —0;
(2) Lg Pntn Pr, QuTn +Qra formule d’où l’on tire (3) sa Pr Que, F QT IE P»
Soient «, 6,7, ... les racines de l’équation proposée, et &n) Ôns Yns + + « les racines de la transformée; "cette transformée sera, en écrivant x au lieu de x»,
(x—an)(æ—6,)(x —yn)..:=0,
et chacune des racines &,, 6,, ... sera liée à la racine a, 6, ... correspondante par la relation (2) ou (3); on a donc
PU (4) PTE Q»-1 >:
14 OT Q» 17 D Lx ES
% ’ , . P Si & est réelle et que les réduites G, convergent vers
2 dns
cette racine, 1l est évident i an Sera une quantité po-
sitive; mais si les réduites . ont une limite différente nm de &«, quand » sera suffisamment grand, les différences Pret œ P a RL RE Lu QE Q»
seront de même signe, et en conséquence la quantité æ» sera négative.
Si « est imaginaire, soit
xa—p +4 V—1, an = Pn + nV—1,
on aura j'42 sa Er Xe 0 dm Lu = Pr + QnV—i = — EE ———————, HA CR enE Qu
et, en changeant —1 en — —1,
P5°2 ie Qi LES) Eu er DAQre CA 7 À Pn In = Q, DER RE ner ONE Fe n
en ajoutant entre elles les deux formules précédentes, on
obtient P.+ at et EM —p—q4ÿ—1 — p + qÿ—1 hu. Q-: Q:-: Q»1 2Pn = — SRE 3 2 LR es eu RAR RES td Ne EE Q> Q;
ef) Tee)
