A0 PEN Q Q:— 4 Q» Q
Pr — a Pau ) + ; ?
pour les valeurs de 7 qui surpassent une certaine limite,
I e PS 4 02 022
voit que pA sera négative.
la quantité | sera inférieure à .g?, et l’on
Si donc x est suffisamment grand et que la fraction continue (1) ne représente pas le développement d’une racine de la proposée, la 7i°%€ transformée n'aura que des racines de la forme — gou—g+h V—1, g étant positif. Les facteurs du premier membre qui répondent aux racines réelles seront de la forme x + g et les facteurs réels du deuxième degré qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées auront la forme
+ 29xX + (eg? + 2); il est évident que le premier membre de notre transformée, qui est le produit de tous ces facteurs, n’aura que des permanences.
Il convient de remarquer que les racines réelles ou imaginaires des diverses transformées tendent de plus en plus vers l'égalité. Effectivement, si l’on divise la formule (4) par celle qu’on en déduit en changeant «& et oy en 6 et 6», on aura
PA P7 UN He An 218 0 Q, :
6» lors Pre — — « — 6 Q> 0e mn P A LL . L2 et comme —"— et —” tendent vers la même limite, on voit ; 072 Q$ que l’on a ET 2 lim— —=t.
On arrive au même résultat en considérant la différence Gr — 6x qui a pour valeur
an — En — 1 Pr À
24) (Co Q» on
# is FA LES — Go æn—1 ae G; SRE pi ous Cr FREE aa Gr gi;
ainsi, en particulier, si la proposée et les transformées successives ont des racines imaginaires, la partie imaginaire de ces racines tendra vers zéro.
Supposons maintenant que la fraction continue (1) tende vers l’une des racines « de l'équation proposée. Alors la nièe transformée aura une racine positive unique, &n, Sin est suffisamment grand; il est d’ailleurs évident que tout ce que nous venons de dire précédemment s’ap-
TX —
liquera à l’équation — 0. Par conséquent, dans pq q »
le cas qui nous occupe, les racines de la transformée de rang », autres que la racine positive «,, pourront être représentées par
—g{it+a) —g(i+e) cs —8(1+em),
g étant un nombre positif, et €4, €, ..., Em 1 désignant des quantités réelles ou imaginaires dont les modules peuvent devenir plus petits que toute quantité donnée. Le produit des facteurs linéaires qui répondent à ces racines sera donc
(5) (x —— Die 2 (E; g alt + E, 8 GAL PURES 2° le aim)
E,, Es, «.., Em 1 étant des coefficients réels qui peuvent devenir moindres que tout nombre donné. Posons
Go—=1, Gy—1—=1 GÉCE AT DArT G4 #+i k
l'expression (5) se réduit alors à
(6) Goz + (Gi +E)ge "+. + (Gui + En)g"t,
et l’on pourra faire P
PE + est Hem = — 1 + €p+4
exg1 étant un nombre réel qui peut devenir moindre que toute quantité donnée en prenant » suffisamment grand. Désignons maintenant par (À —1) g la racine positive de notre transformée; il est évident que cette transformée s’obtiendra en égalant à zéro le produit du polynôme (6) paræ—{(Ài—1)g; on a, à cause de Go —1,
m m x + (° + € — ) Gogr”—1+ (2 + 2 — ) (Gi +E;)gr-2 D
m Re GA Cr + Em) (Ge + Em) gtx
RO: 1) (Gr FEx12t=r0
Le premier terme de cette équation a le signe + et le dernier terme a le signe —; d’ailleurs, les quantités e,, C2, +--, E4, E, ... peuvent être supposées aussi petites que l’on voudra, et, si le coefficient de l’un des termes compris entre le premier et le dernier est nul ou négatif, il est évident que tous les coefficients qui suivent seront négatifs. L’équation (7) n’a donc qu’une seule variation, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Ainsi. que l’a montré Vincent, le théorème précédent suffit pour opérer la séparation des racines, sans que l’on soit obligé d’en déterminer le nombre a priori, ou de leur assigner des limites, pourvu qu'’afin de s’épargner des essais inutiles on fasse un usage convenable du théorème de Budan; mais nous renverrons au Mémoire de l’anteur, pour le développement de cette méthode.
Du calcul des racines imaginaires.
168. La méthode qui a été exposée au n° 147 permet non-seulement de séparer les racines imaginaires d’une équation, mais encore de resserrer indéfiniment les limites qui comprennent, soit la partie réelle de chaque racine, soit la partie multipliée par l’imaginaire : ou er À
Lorsqu'une racine imaginaire est ainsi connue avec une certaine approximation, on peut en obtenir des valeurs de plus en plus approchées au moyen de la méthode de Newton, qui n’est en aucune façon bornée au cas des racines réelles. Effectivement, si z, est une première valeur approchée d’une racine simple z de l’équation
(x) f(z) ZE AO!
et que z9 + w seit la valeur exacte de cette racine, on pourra poser ln ie (20) + 2 f" (20) + He NEA +...—0,
d'où
et l’on aura, avecune approximation d’autant plus grande que le module de « sera plus petit,
Yalas) ?
mais il sera nécessaire d’examiner, dans chaque cas, le degré d’exactitude que peut fournir la précédente for-
mule, et cette discussion ne sera pas toujours exempte de difficultés.
Posons ; LT Li, f(z) —(r,r) “a ib(x,r),
et désignons par xo + 1), la valeur approchée z, de la- S — Alg. sup., I. 24
quelle on part : le problème dont nous nous occupons a pour objet de calculer l’une des solutions réelles (x, ») des équations simultanées
(2) pla r)=o, (x, r)=o,
connaissant des valeurs approchées x, et yo de x et y; or Je dis que la même méthode peut être appliquée aux équations (2), quels que soient les polynômes q(x, y) et Y{x, y). Désignons en effet par
TL Y—=Yo+n
les valeurs de x et de y qu’on se propose de calculer : on aura, en employant ici la notation dont nous avons déjà fait usage au n° 89,
(er) = p(ro Jo) + ÉD p(ro Jo) + nD;9(To Jo) +e..s ARR Te Ÿ(Zo Yo) Ge ED; (x, To) me nD,Ÿ(%0; Yo) En
Si donc £ et x sont des quantités assez petites pour qu'on
puisse négliger leurs carrés et leur produit, on aura approximativement
ED, ?(o Jo) +nD, o(%o0, Yo) = — ?(To Yo) ED; Ÿ (2x0, Jo) +nD,Ÿ{x0, Yo) = — Ÿ (ro, Yo) d'où Le p(ro Yo) D, b (ro Yo) — AO :
2 Po: Yo) D, Ÿ (To Yo) — D, (T0, Yo) Dr Ÿ (Lo, To) 1=—S Ÿ(xo, Yo) Dz & (to, Yo) — pe D, Ÿ(xo, Jo) : x P(Tos Yo) Dr (to, Yo) — D;p(To Yo) D,Y(%0 70)
il est évident que ces formules ne pourront être d'aucun usage, si la solution que l’on considère est une solution multiple des équations (2).
169. La méthode que nous venons d'indiquer exige des calculs très-laborieux et, au lieu de l’employer, il sera souvent plus simple de recourir à l'élimination, comme on va le voir dans l'exemple suivant. Proposons-
SECTION I. — CHAPITRE VII. 371 nous de calculer les racines de l'équation (1) 2 —z+1—=0,
qui toutes les quatre sont imaginaires. Si l’on pose
Z2=X+7yY—1, cette équation se décomposera dans les ux suivantes :
de t
(2) (2h — 4at(y2— at) — (xt + x —1)—=0, (3) 7l4x(r?— x?) +1] =o,
et en supprimant de l’équation (3) le facteur y, on aura
(4) re portant ensuite cette valeur de y?— x? dans l’équation (2), il viendra 64x$ — 162? — 1 —0; enfin, si l’on pose
