R;, R>, R;, CHOC R
seront toutes nulles, à l'exception de la première. Ces quantités sont exprimables rationnellement, la première en fonction de y,, la seconde en fonction de ÿ2, ..., la dernière en fonction de y,; en effet, R, est une fonction
symétrique des quantités ÿ1, Vos +-., Yn EXCepté Yu c’est-à-dire une fonction symétrique des racines de l’équation ARE —=0, Jinoe ou se nt A ER mn UE PIRE 0 Sr + Ju ms LE
R, pourra donc s'exprimer sous forme rationnelle et entière en fonction de ul des quantités connues qui entrent dans les équations (1)et (2), dela manière suivante :
Re Pot Pia peu te : EF PRE
En outre, par l’un des procédés indiqués aux n°° 182 et 183, on pourra chasser de l’expression de R, toutes les puissances de y, supérieures à la (7 —1)"*", en sorte que la valeur de R, aura finalement cette forme
(3) RE po + piTue-+paTé Eee En Re
a be ds Ne AS ES
SECTION II, — CHAPITRE I. 419 On voit que l'équation Pa pr +, HpiY +po—0
a les 7 —1 racines y2, Y3,..., Yn3 On a donc
D PP Nr iles.
Pn—1 on a d’ailleurs Da le late tn) nr 4:
et, par la soustraction, on obtient la valeur demandée de y1, savoir
On voit qu'il suffit pour ayoir y1, de calculer dans R
: si —3 les coefficients de y! et de y7?,
te
T'heorème de Lagrange sur les conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.
489. C'est 1c1 l’occasion de mentionner un beau théorème que Lagrange a démontré dans son célèbre Mémoire inséré parmi ceux de l’Académie de Berlin pour 1770 et 1771, et qui est relatif aux conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.
L'objet de ce théorème est de faire connaître les conditions pour que deux équations algébriques aient deux trois, etc. racines communes, quand on connaît la condition pour qu’elles en aient une. Voici en quoi 1l consiste.
Taéorëme. — Si V — 0 exprime la condition pour que deux équations algébriques
(1) f(x) =x" + Pi DFE + par"? ms A 1 2 + Pin — O, (2) F(x)= 2" + que + que + + Qn& + In 0
NES UE MOT SU AE e TO PT NC RTE 7 F - lERNIMA TD Fr. Vs di : y # à J
aient une racine commune, V étant une fonction erntière des coefficients py, Pa, + +: Qi Qu» +. et'que lon désigne par DE ; D',V Les dérivées d'ordre u et d’ordre v du polynôme V, prises la première par rapport à Pm) et la deuxième par rapport à qn, les conditions nécessaires pour deux racines communes seront
V0 Rec IP AN 0
ou bien V == DMC CMD PV E= 208 fn
pareillement, les conditions nécessaires pour trois racines communes sel'Ont
Yo, D; 0 AU YE0,
ou bien es —— 2 és N==0: D, VE=0, D; V=—o,
fi
et ainsi de suite; en sorte qu'on formera les conditions nécessaires pour |4 racines communes, en joignant à l’equation V = 0 nécessaire pour une seule racine commune les u—1 équations obtenues en égalant à zéro les pu — 1 premières dérivées du polynôme V, prises par rapport au dernier terme de l’une des deux équations proposées.
Telestl’énoncé que Lagrange a donné de son théorème, mais il est nécessaire d’ajouter quelques mots sur la ma-
nière dont cet énoncé doit être entendu. Ainsi les équations
Am Las 2 at pur 7 Ves0: D, V=—o, D'UVES OCR D, V=0o
expriment simplement les conditions nécessaires et suffi- santes pour que p racines de l’équation (2) satisfassent à l'équation (1), en sorte que si l’équation (2) a des racines égales, il sera possible de satisfaire aux y équations de
condition écrites plus haut, sans que les premiers membres des équations (1) et {2} aient un diviseur commun du degré y, ce qui serait la condition nécessaire pour que les équations (1) et (2) eussent réellement y racines communes. Pareillement les équations
À ET A D, V—o, D} V —o, er DV
expriment les conditions nécessaires pour que u racines de l'équation (1) satisfassent à l’équation (2), en sorte que si l'équation (1) a des racines multiples, on pourra satisfaire aux équations de condition précédentes, sans que les équations (1) et (2) aient réellement y racines communes. | Il faut remarquer, en outre, que le dernier terme p, ou q,, par rapport auquel sont prises les dérivées de V, doit être considéré comme un paramètre indéterminé dont tous les autres coefficients sont indépendants. Cela posé, passons à la démonstration du théorème. Soient a, b, c,..., k, [les n racines de l'équation (2), et posons
V est une fonction symétrique des racines de l’équation (2), dans laquelle les coefficients sont des fonctions entières des coefficients de l'équation (1); on pourra donc l’exprimer par une fonction entière des coefficients des équations (1) et (2).
Les racines a, b, c, ..., k, l étant indépendantes de P,,» les quantités f(a), f{b), ..., f{l) sont des fonctions linéaires de p,, et leurs dérivées sont toutes égales à l’umité; donc D, V est égale à la somme des produits m—1 à m—1 des quantités
f\a), F\b), CRÉÉ # }, f\L);
