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et que l’on considère k, 4!, ... comme des paramètres, le

SECTION Il. — CHAPITRE I. A17

raisonnement précédent s’appliquera aux deux équations proposées qui ne renferment plus que x et y. Par où l’on ® La = 1 voit que l'équation finale en x, z, u, ..., résultant de l'élimination de y, sera au plus du degré mn, si l’on y remplace z, u, ..., par kx, k'x,..., et cela, quels que soient , #, ...:; mais cette substitution ne change évidemment pas son degré, lequel ne pourra donc, en aucun cas, surpasser 717.

On verra plus loin qu’on peut fixer avec précision, dans chaque cas particulier, le degré de l'équation finale fr HS ToGEE | qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations données.

188. Quand on opère l'élimination dans le but d’obtenir les systèmes de solutions de deux équations à deux inconnues, 1l faut déterminer en outre les valeurs de l’inconnue éliminée, qui répondent à chaque racine de l’équation finale; on a vu au n° 73 comment on doit diriger le calcul pour remplir cet objet. Au reste, comme l’équation finale en x exprime que les équations proposées ont une racine commune y, on peut déterminer celle-ci par le procédé suivant, qu'Abel à fait connaître dans le tome XVII des Ænnales de Mathématiques de Gergonne (!)

Soient les deux équations

1) SO) = Hp par 2 + + pm4I + Pm= 0% (2) F(r)=7" + qi" + qi 2 + + qui T + In = 0,

qui ont une racine commune y,, mais qui n’ont que cette seule racine commune, et proposons-nous de la calculer. Désignons par ÿ1, Ya, -.., ynles n racines de l’équa-

(1) L'édition des OEuvres d’Abel faite par Holmboe et publiée en 1839 ne renferme pas ce théorème; au contraire, la nouvelle édition faite par les soins de MM. Sylow et Lie, et publiée en 1881, présente cette application (voir le n° XIII).

S., Alg. sup. — 1. 27

tion (2), et portons-les dans le premier membre de l’équation (1) f(y); on aura ces n résultats

ABANDONNER Lorie.

dont le premier est nul. Faisons ensuite les produits n—1àn—1 de ces x quantités, et désignons généralement par R, celui de ces produits qui ne contient pas le facteur f (y,); les quantités