FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES A LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Formule de Lagrange.

194. Lagrange a fait connaître, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1768, et plus tard dans le Traité de la résolution des équations numériques, Note XI, une formule remarquable qui donne immédiatement l’expression de la somme des puissances semblables, d’un degré quelconque, des racines d’une équation. Nous allons établir ici cette formule en supposant avec l’illustre auteur que l’on ait mis l’équation proposée sous la forme

(a) u—zx+f(x)=0o,

u désignant une constante et f(x) étant une fonction entière Ao + Ait + Ar? + Asa + ..., dont nous représenterons la dérivée par f(x), conformément à l’usage (1).

On sait (n° 172) que, si a, b, c, ..., l'sont les racines de l’équation (1), la somme

I I I I TD en io re

at+1 br+i c'+1

(*) Dans ce Chapitre et dans les suivants, nous supposerons connus les principes fondamentaux du Calcul différentiel et du Calcul intégral, et nous ferons usage des notations généralement admises pour représenter les dérivées et les différentielles.

sera le coefficient de x” dans le développement de la fonction I — f'(x) Lt f(x) en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x. Soit la fonction plus générale

pr)

où p{x) désigne un polynôme ayant pour valeur pr) =Bo + Bir + Box? + By +- FE

et cherchons le coefficient de x” dans le développement de cette fonction. Si l’on commence par développer suivant les puissances croissantes de f(x), il viendra

px) 2 6 AO 2 a PA 9 DE 2 62 12 6 | ee

(2) u—x+flx) u—x (u—x) (u— x) al

et la série contenue dans le second membre de cette formule sera convergente pour toutes les valeurs de x telles

Pa)