Mm

C’est aussi à la résolution d’une équation de ce degré que se trouverait ramenée celle de l’équation proposée, car l'équation (5), n’ayant alors que deux termes, pourrait être immédiatement résolue.

191. La transformation de Tschirnaüs donne la résolution algébrique des équations du troisième et du quatrième degré. En effet, soit d’abord l'équation du troisième degré

A+ pa + gx +r—=0; on posera Ÿ = do + x + Apr?,

et l’on formera l'équation finale en y, savoir HP OQY ER = 0:

On déterminera les rapports de deux des quantités à, &;, &2 à la troisième, au moyen des équations P — 0, Q = o, qui sont, l’une du premier degré, l’autre du deuxième ; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer les rapports dont il s’agit en fonction des coefficients de la proposée. L’équation en y se réduisant alors à

Y$+R —o, on en tirera ces trois valeurs VEN ANR) j—=ay—R, 7 =6y—R,

æ et 6 désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité. Connaissant ainsi les trois valeurs de y, on aura facilement, par ce que nous avons dit plus haut, les trois valeurs de x. D’après la proposition du n° 182, la trans-

formation que nous venons d'effectuer revient à celle dont nous nous sommes occupé au n° 63.

Soit enfin l'équation du quatrième degré

at + prÿ + qr? + rx +Ss—O; on posera, comme précédemment, F= + ar + ar?

et l’on aura une équation en y telle que Y+PS+QrP+Ry +S—o.

On déterminera deux des quantités 45, &4,, &s au moyen des équations P = 0, R = o, qui sont, l’une du premier degré, l’autre du troisième; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer deux des inconnues, en fonction de la troisième et des coefficients de la proposée. L'équation en y, se réduisant à

HAE NCIS EE E0"

elle pourra être résolue, car elle s’abaisse au deuxième degré en posant 7? = z. Connaissant les quatre valeurs de y, on formera immédiatement les expressions des quatre racines de l'équation proposée.

Application de la methode de Tschirnaüs à l'équation du cinquième degré.

192. M. Jerrard, géomètre anglais, a démontré qu’on © L x A ? , Le peut faire disparaître d’une équation quelconque le deuxième, le troisième et le quatrième terme en résolvant une seule équation du troisième degré. Nous allons établir ici ce résultat important; à cet effet, nous commencerons par démontrer la proposition suivante :

Tuaéonime. — Une fonction homogène et entière du second degré de n variables est la somme des carrés de y fonctions linéaires, le nombre y étant égal ou inférieur à n.

Soit V une fonction homogène et entière du second degré des n variables

Los Lys Los 09 Cri

Si n —1, la fonction V ne dépend que de la seule variable x,, et elle est de la forme e5 x° ou (x VE), £Q étant un coefficient numérique. |

Dans le cas den > 1, si V renferme le carré de l’une des variables, x, par exemple, et qu’on l’ordonne par rapport à æo, On aura une expression de la forme

V= 6,2; + 2Pzro + Q;

eo est une constante, P est une fonction linéaire des n—1 variables xy, Xe, + .., Xn 13 enfin Q est une fonction entière et homogène du second degré des mêmes variables. Si donc on pose :

x PER VO sr £0 £o on aura

V—sX+ Vi, où V—(X,Ve) + V;, V, étant une fonction entière et homogène du second degré, mais qui ne renferme que 7 —1 variables, au plus.

S1 la fonction V ne contient aucun carré et qu’on l’ordonne par rapport aux deux variables x, et x,, on aura

V=esrxr + Pr, + Qxr, +R,

V4 (+ à) (+ )+R- ss

0 € éo

Lee

et si l’on pose

P + Q I P — X; a 5 (r + ri + ——) , X: = ( — Li — — , 2 €o 2

puis

Va h — os

il viendra V — PS — X!)+ Va ou VX He EX, (== ie Ve;

X, et X, sont des fonctions linéaires qui peuvent renfermer les x variables xo, æ1, ..., Æn 1, et V: est une fonction entière et homogène du second degré qui ne renferme, au plus, que 7 — 2 variables.

Ainsi la fonction V, qui dépend de 7 variables, est ramenée à la fonction V,, qui n’en renferme que 7 —1 au plus, ou à la fonction V,, qui n’en contient pas plus de n—2,en mettant à part un carré dans le premier cas et deux dans le second; on peut opérer de la même manière sur la nouvelle fonction, et en poursuivant ainsi, on mettra V sous la forme suivante :

V=cX, +eX; +. . RATES. Ce

ou XVe PIX Ven),

Eos £1y +++) € 1 désignant des coefficients numériques, et Xo, X1, -.., X,, des fonctions linéaires des variables Lny Lys se Ln 1:.

Il est évident que le nombre y est égal ou inférieur à n, et que l’on a y — 7 quand les coefficients numériques de V sont des quantités indéterminées.

Exempze. — Si l’on applique la méthode précédente

à la fonction V—Ar+ A7? + A"2+ 2Byz + 2B'xz + 2B"xy

des trois variables x, y, z, dans laquelle les coefficients numériques À, A!, ... demeurent indéterminés, on

trouvera V— «x X? + 6 Y? + 2°,

en faisant, pour abréger,

X = Ax+B’7 + B'z,

Y —(AA'"-— B”?)y + (AB — B'B’}z, Z —z, et 1% I Pa I CFA 2ne Se RAA A TETE AATA/ M aBB'B' AB A BTS AND (re AA p”? | |

1493. Passons maintenant à la démonstration du théorème que nous avons en vue. Soit l'équation

sai + px” “ Dates Hesse + Pmn1T + Pm — O0;

et posons

F = A+ Ar + ar + as + ax".

Soit aussi PE DIT EG DIE NET AE

l'équation en y. D’après ce qu’on a vu au n° 190, la somme des puissances pi" des racines de l'équation en y est une fonction homogène et entière du degré p des cinq quantités &6, &i, &2:, &s, @;; par suite, les coefficients g,, q,, -.. q,, Sont aussi des fonctions entières et homogènes des mêmes quantités, etles degrés de ces fonctions g sont précisément égaux à leurs indices. Cela

RENE TO PE UT RAT PU ee NE PAPE EU REAT EE OT ERA RE

posé, pour faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme de l'équation en y, il faut faire

La première de ces équations est linéaire; tirons-en la valeur de &,, en fonction de a,, &:, 43, as, pour la porter dans les deux autres, etsupposons quecelles-ci deviennent

4 (4 Da SAR 0

Les premiers membres de ces équations sont des fonctions homogènes des degrés 2 et 3 respectivement des quatre quantités &1, do, 3, Gi. Or, d’après le théorème du n° 192, l’équauion g,= o peut se mettre sous la forme

Léna Et Ut 410, f. g, h, k étant des fonctions linéaires, et cette équation

sera satisfaite en posant

‘ou

Vi PE CE VERT.

Ces deux dernières équations sont linéaires; si l’on en ure les valeurs de 4, et de a: pour les porter dans l’équation g', = 0, celle-ci deviendra

et son premier membre g° sera une fonction homogène et du troisième degré des deux quantités a, et a;. L'une de ces quantités peut être prise arbitrairement et l’autre dépend, comme on voit, d’une équation du troisième degré; les quantités 4, et a, élant déterminées, on en conclura les valeurs de &5, &;, as, et l’équation en y deviendra

S'0 Le Qu EU roi TRE DE HAE R S — Also. sup., E a

Par la même transformation on peut faire disparaître le deuxième, le troisième et le cinquième terme d’une équation quelconque; seulement, la détermination des arbitraires @ç, @1, @2, @s, a exige la résolution d’une équation du quatrième degré au lieu de celle d’une équation du troisième degré.

Enfin, si à la transformation de Tschirnaüs on joint la transformation qui consiste à remplacer l’inconnue par son inverse, on voit que, par le moyen d’une seule équation du troisième ou du quatrième degré, 1l est possible de faire disparaître d’une équation quelconque les trois termes qui précèdent le dernier ou bien les deux qui précèdent le dernier avec celui qui précède le dernier de quatre rangs. Et, dans le cas particulier de l’équation du cinquième degré, 1l est clair qu’on peut faire disparaître ainsi trois termes quelconques entre le premier et le dernier. Ainsi, par la transformation dont 1l s’agit, l'équation du cinquième degré peut toujours être ramenée à l’une quelconque des quatre formes

x + px + q—=O, x + pr? + q = 0, a$ + paÿ + q —0,

x° + part + g — 0.

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SECTION fI. — CHAPITRE Il. 435