CE Ï
H s'ensuit que V, est la somme des puissances n° des racines de l'équation
3) (42). ou É — xt+i —=0o; Z
par conséquent la valeur de V, se déduira de celle de s, écrite plus haut, en faisant pæxetqg=1; il vient ainsi
Y, — gù = pan? + DA ns DS
en PE HSE NE
SECTION II. — CHAPITRE Il. 451
formule qui coïncide avec celle que nous avons obtenue au n° 109 par une analyse différente.
Sur l'expression d’une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d’une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
198. Waring a donné, dans ses Meditationes algebraicæ (!), une formule qui fait connaître l'expression d’une fonction symétrique d'ordre quelconque desracines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines. Nous allons établir ici cette formule remarquable.
Soient Li, Lo, La; LAPS) Lyn
les m racines d’une équation de degré m, et Lis Mas co, À
des entiers positifs ou négatifs.
Nous conserverons les notations dont nous avons fait usage dans le Chapitre précédent, en sorte que 5, repré: sentera la somme des puissances de degré x, de toutes les
racines et que le symbole
” d; ) HS Aet à
désignera la fonction symétrique d’ordre :, dont tous les termes se déduisent de x#x%...2x%#, en faisant toutes les permutations possibles des racines. Nous supposerons d’abord que les exposants & soient inégaux, et alors on
(!) Editio tertia, p. 8.
452 COURS D'ALGFBRE SUPÉRIEURE.
aura
. Ÿ : 2 rh, L .a%
Satan, 1% At \ gti pas, ue. ris
— œ s+ Hi Xi ht %: a iii, pu looo Li y. 2° Corel 1
Cette formule permet de calculer les fonctions symétriques d'ordre à quand on sait former celles de l’ordre i— 1; on en déduit
| œ Ge à TiLo — de TR So.+cta 9 T; Lo L;
as Sa, Sas Sas — (Sa, SA+%8 + Sas Sata 7 Sas CA +2 Sos+-02+ 08 9
1 ra g mA ati ret at
Pa Sas Sato So Sos Sata So So Sotat-ots = SU SR Se SU du SA Sos SU
Sa Sas sara, + So So Sous Sas So So +08 APE ( Sas Stats Fo si
+ Sos So-+oat+os Sas Sa+a3+0s rte (Sa ka Sos FT Sato Stats TT Sou-+o4 Sctytrote)
PA Sai+a+y +
On peut écrire ces formules d’une manière plus abrégée et découvrir la loi de leur formation en faisant usage de la notation suivante : partageons les z indices
CAE Xos .….s Ci
en divers groupes. Soient À, le nombre des groupes qui contiennent un seul indice, À; le nombre des groupes qui
SECTION II. — CHAPITRE Il. 453 contiennent deux indices, ..., 4; le nombre des groupes qui contiennent z indices; on aura
UM+2hb+3l+.. Hi; =;
Ld ® A » \ a ‘ ? e. # .
on voit que À; doit être égal à zéro ou a l'unité, et si À, = 1, tous les autres À sont nuls. Cela posé, ajoutons entre eux les indices à de chaque groupe et désignons par hole)
les sommes obtenues; enfin considérons le produit
faisons toutes les permutations des indices &1,%:,...,@; qui font acquérir à ce produit toutes Les valeurs distinctes dont il est susceptible, ajoutons tous les résultats et désignons par DORE Se 2, 6h
la somme obtenue qui sera une fonction symétrique des indices &.
D’après cette notation, les formules écrites plus haut deviennent
| Yatat=t(2,0)—7T(0 ÎF Deer. 0,0)—T{1,1,0) +2T(0,0,1),
datant T(f, 0,0,@)— T(2,1,0,0) (2) { + 2T{1,0,1,0)—2.3T(0, 0,0, 1) datiatepatiatT (5 0,0,0,0)—T(3,1,0,0,0) + 2T{2,0,1,0,0)+T{1,2,0,0,0) —92.3T(1,0,0,1,0)—2T(0,1,1,0,0) | +2.3.4T(0,0,0,0,1),
et il est aisé de vérifier quon a généralemeut
| ) CE ES He DCE Z°*
D Ver (apr (8)h r(MAT Qu de +2 M)
le signe Ÿ du second membre s'étendant à toutes les vaému
leurs de 24, A9, -.., À; qui satisfont à la condition
+2 +3+... Hit, et le symbole l'(x) désignant, comme au n° 196, le produit des p— 1 premiers nombres entiers.
Au moyen des formules (2) on vérifie l'exactitude de la formule (3) pour i1=—2,3,4,5; donc, pour établir la généralité de celle-ci, il sufht de prouver que, si elle a lieu pour =, elle a lieu aussi pour 1—k+1. Admettons
que l’on ait
OA x | Ÿ ati rs. af
DURE r(a} r(3)...T(4)MT()3, As À) le signe Ÿ du second membre s'étendant à toutes les va-
leurs des entiers À, pour lesquelles on a
Le 2 PO le RAP RARES
Il est évident que l'expression de Ce Ok pk +A da EE
sera formée de termes tels que
s TAG ee ...., À SUR où l’on aura
MH a+ 344 + AE +i) Ah = Rx;
nous allons chercher à déterminer les coefficients qui multiplient ces différents termes.
Supposons d'abord que À, ne soit pas nul, ce qui exige que À4,, le soit; on aura
(u—1)+2+34+...+ AA.
Cela posé, le terme en T(, BE .…... Àzs oO), que nous considérons, proviendra en partie [ formule (1) ] de la multiplication de s,,. par Ÿ x% De RE EN ET pe é
comme les termes de ce produit ne peuvent évidemment se réduire avec ceux qui proviennent du changement de æ, en ti +axy, où de «, en 2; +axys, où, etc., il est clair que le coefficient de
or À3 CCE | gs o)
dans Vox x ... xirh sera égal au coefficient de ad L |
dans 2e ze...xi#, c'est-à-dire égal à — 1) HA, —À,—..—Ày r'(2 } r(3}x + T(#)h;
ce résultat est conforme à celui qu'on dèduit de la formule (3) quand on y faiti=k+r.
Considérons maintenant le terme en
To, 7e 7 193 EE ..., Ày, oO},
dans Sea dcr Celtermenrovient tout en-
tier [ formule (1)] des résultats que l’on obtient en chan-
‘ LIRE at OL + geant, dans —S x a D AIR ONE xs OÙ
Fa CU GC > Haye, OU, ele. Les termes de l'expression de — xx... x, qui concourent ainsi à former le as 3 terme que nous considérons, sont évidemment de la forme T(o, PC safe; y À Loti D .., À) où g peut avoir Loutes les valeurs telles, que À4,, ne soit
pas nul, et le coefficient correspondant sera, d’après la
formule (4), (— EME RE NET 2 )LT (3 )h D (7) PTS PT EEE TRUE Or chacun des termes de To, À; .….. Pme de \ot1 Jo .., 4)
contient, d’après sa définition même, un ou plusieurs facteurs de la forme
JT EE TS
où le nombre des indices & est égal à g; si, dans les facteurs de ce genre, on remplace successivement &; par Ci + Ghy1y PUIS Go Par de: + 2x1, puis, etc., et qu'on réunisse ensuite tous les résultats, chaque terme sera répété g fois dans la somme. IT s'ensuit que le terme en
Codes SAUVE NES EM EME
= donnera, dans Ÿ 4% x%... x x%#, une partie des
9 1 2 k k+1 2 P termes contenus dans l'expression
T{o, h, …..s Ag: Àg+1s CE y, Oo),
et que ceux-ci auront pour coefficient gl— LÉ A TX T {2}... T (g)hr+1 r'(g 1). T'(4jx, on
(— 1 PERL A eh r (2)}: a L (g)}s l'\g + 1)het, LE (4)k,
SECTION II. — CHAPITRE Il. 497
“ » e à cause de g1 (g) —=[(g+1). Les termes qui peuvent naître des diverses valeurs dont g est susceptible ne
pouvant se réduire entre eux, le coefficient de T{o, ke 14, ... Àps 0) dans Ÿ + LAC TéEMESerA = FRE —)y in ( 2 } r ( 3 ILE ue ] Re ( /: jk.
Ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule (3), en y faisanti—k +1.
Considérons enfin le terme en
DO A0 T0 AT) dans Ÿ a ax... xp xp, [l se forme au moyen du seul
terme TION A RDTO OU tn: 00 1]
de
DE Lin Dr LLilaul'eliectivement, pour-cela:
ajouter successivement «x,, à chacun des indices qui entrént dans ce terme, et réunir tous Îles Æ résultats qui sont évidemment égaux entre eux. On voit alors, à cause de AP(k)= T(k+1), que le terme considéré a pour valeur
DTA ALT Os do, ao a:
ce qui achève de démontrer l’exactitude de la formule (3
199. Il est aisé de trouver le nombre N des termes contenus dans la fonction que nous avons désignée par
Effectivement chacun de ces termes correspond à une
certaine distribution des indices
Gi Los es Gi
en À +2 +...+ À; groupes, et À; désigne généralement le nombre des groupes qui renferment # indices. Écrivons, sur une même ligne, tousles indices &, de manière que ceux qui appartiennent à un même groupe se trouvent placés à côté les uns des autres, en commençant par les groupes d’une seule lettre, mettant ensuite les groupes de deux lettres, et ainsi de suite. On pourra former, de cette manière, N permutations ou arrangements des 1 indices qui correspondront respectivement aux N termes de T. Si maintenant on fait dans chacun de ces N arrangements toutes les permutations possibles des indices qui composent chaque groupe, sans altérer l’ordre des groupes et sans faire passer aucun indice d’un groupe à un autre, le nombre total des arrangements qu’on obtiendra sera égal à Nr{o)Mr(3}h...T{é)Mar(i +ahs Enfin, si, dans chacun des arrangements ainsi formés, on permute entre eux, de toutes les manières possibles, d’abord les À, groupes qui contiennent chacun un indice, puis les À, groupes qui contiennent deux indices, puis, etc., sans altérer l’ordre des indices qui composent un mème groupe, le nombre de tous les arrangements ainsi obtenus sera Nr{2)}Mr(3)h... ré +1) T(u+i)r(R +1). T(i+i). Or il est évident qu'en opérant ainsi on a formé toutes les F(:+1) permutations des : indices sans en omettre
ou en répéter aucune. Le nombre précédent est donc égal à l(i+1), et, par suite, on a
T(i+1) D(2)aT (3)... Ti) T Qu +1) Oui). (ii)
