La formule (3) suppose que les : indices
As Kas ..., #1
sont inégaux. Supposons maintenant que parmi ces Indices il y en ait u, égaux à z,, u, égaux à #,, ..., enfin ux égaux à #4; il est évident que le second menbre de la formule (3) devra ètre divisé par
T(u, + 1)Tiu+i)...T(ux + 1},
ainsi que nous l'avons déjà dit au n° 173.
Supposons, en particulier, que les à indices soient égaux à un même nombre æ: on devra diviser le second membre de l'équation (3) par F(i+1); d’ailleurs, chacun des N termes de
RE 122 6h] se réduit à
D =/ nu .
À Sy
donc cette fonction a pour valeur
T(2)}r(3)s...T(i+i) Tu +i)r(R+r)..rT(+r)
EE — — — - ai + a sh 53 .
Look. ikT(2)àT (3) TT (u +1) Tr +u) °#E T{i;+1) sir
la formule (3) donne alors
AFS
DS
4 } .. D RS mn à ) T;,T a Ÿ n seat h D Lan 1} 1h24 T(lu+i)T( +1)... T({i+i1) Œ 24 ia?
le signe Ÿ du second membre s'étendant, comme précé-
demment, aux valeurs nulles ou positives des entiers À, 2, - - - À; susceptibles de vérifier la condition
Le.
Détermination des coefficients d’une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
201. L'analyse précédente donne immédiatement l’expression des coefficients d’une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
Soit l'équation
PAUL + Pi ani + Po x? che + Pin x + Dm 510; et représentons, comme précédemment, par
T1) T9) sss Tm
ses m racines. On a
Pi — ( = D} Lo . . TL;
par suite, la formule (5) du n° 200 donnera, en y fai-
Sant XI,
ec — LM; ae x.
p= NY RS TT TN CL A Û
Sir ER Zn 1h2h,3%,, MT (h tr) D(a tr). D(A; 41000
Le?
le signe Ÿ s'étendant toujours aux valeurs nulles et positives des exposants À qui vérifient la condition À + 2h +... Hi =.
En/faisantr = 700 PE 0nALLOLTe
Pii=— Su I I rar et ,
Pa — CLR Ave ; rie : 1 'ÉÉVEPER DR NE vi TOME à DM
I LAPS I Ai Tape SARA 2.9 APE LAS 22,2 ? re
Il est aisé de vérifier ces résultats au moyen des formules de Newton.
Méthode nouvelle pour former le dernier terme de l'équation aux carrés des différences.
202. Le produit des carrés des différences des racines d’une équation prises deux à deux, ou, ce qui revient au même, le dernier terme de l’équation aux carrés des différences, est une fonction entière des coefficients de l'équation proposée, qui possède plusieurs propriétés remarquables et qu’on a occasion de considérer dans diverses questions d'Analyse supérieure. Nous avons fait connaître au n° 179 le procédé de Cauchy, par lequel on peut calculer la fonction dont il s’agit, pour une équation de degré m, lorsqu'on connaît la valeur de cette même fonction pour une équation de degré m— 1. Je me propose ici d'indiquer un procédé nouveau et d’une grande simplicité pour résoudre la même question.
Soit l'équation de degré m
(x) AE Hat ch Pa PRE ee + Pm1F + Pm—=O,;
et désignons par V,, le dernier terme de l’équation aux carrés des différences des racines. Il résulte de la théorie des fonctions symétriques que V,, est une fonction enüère des coefficients p4, Po, -.., Pm, et que chacun des termes de cette fonction renfermera m{(m—1) dimensions, si l’on considère chaque coefficient p comme ayant autant de dimensions que son indice contient d’unités. D'après cela, la valeur de V,, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de p» aura la forme
(2) Vn=A Pr mx AP Asp He +AmiPm + Am
A3,A5,..., An étant des fonctions entières de p,,p2 Pm i, dont la première est une simple constante.
gere ere
Désignons par V,, le dernier terme de léquation aux carrés des différences des racines de l’équation (3) æ—1 + p: xm—2 “> Ven xz—3 EAN E DAT + Pr = 0, Lorsque p,, est nul, la fonction V,, se réduit à A,, ; d’un autre côté, l'équation (1) se déduit alors de l'équation (3) en multipliant celle-ci par x, c’est-à-dire en y introduisant une racine nulle. Il s'ensuit évidemment que l’on a
EME 2 r Ah FT LES \ mm—1°
Cela posé, il est évident que la fonction V,, ne changera pas, si l’on augmente chaque racine de l'équation (1) d’une même quantité k; or, par ce changement, les coefficients p, Ps, ..., pm prennent des accroissements AP; À Pa, ONCE) AP m1 APm qui s'évanouissent avec k, et dont les termes qui conuennent 4 à la première puissance sont respectivement mh, (m—1}p,k, (m—2)psh Me D ES RNREPRE L’accroissement correspondant AV,, de V,, savoir :
AV OV A AE OV» A LL 2e OV» A DE m = D CLEO RER LE à à ss Pi . 0P: ! $ dPm Ps
est nul, quel que soit k, et, par conséquent, le coefficient
de la première puissance de k est identiquement nul; on
a donc OV OV OV M NN et PR nr 0, +, SANTO EEE dP: \ )P1 OP» )P2 dPs te Pm—1 0Pm %
On peut obtenir, d’une autre manière, cette équation qui va nous conduire à la valeur de V,,. Si, en effet, on fait disparaître le second terme de l'équation (1) et qu’on exprime, par le moyen des différentielles partielles, que
LA
Vestune fonction des coefficients de l'équation transfor-
SECTION Il. — CHAPITRE Il. 463
mée, on retrouvera l'équation que nous venons de former. Nous écrirons, pour abréger, cette équation de la
manière suivante :
JV; Et
