OP: 0P
—— Te D —— ; TL DE LA on aura À PCA 2 AN Does P>2 r Ô& SET } P2 1 d6 FER ®
On a d’abord cette valeur de À;, savoir :
ASP D AP LiDE
on en déduit
OA
TE —= — 18p1p; + ÂP}Pas
et, par suite, As = 18pips — Âp};
on trouve enfin
JA, TA = 54 Ps et, par suite, CRUE On a donc Vs = — 27p3 + (18piP2 — Api)ps + pipi 4pi.
Supposons encore qu'on veuille avoir V,. On posera
V,—=A.p; + A:Dpi + AP + Au
puis dP: OP 0P; AT ME RE à et OA, OA;
P3 A3 + PA — 0, 274 + dc
On a d’abord A —27p; + 18p1p2p; — 4PiPs + PiP3P3— AP2:P3 d'où
OA, k Han 144p2p3 + 6pipi + 80p1p:P; —18pPiP2P;
“5 ApiPiPs m7 16pP{ Ps;
OA —O0, 3P;A; + dc 0.
et, par suite,
A3 —=1/4p2p} — 6pip; — 80P1P}P3 + 19PiP2P3 — pipi —16p;,
d’où OA; 2 2 2 4 dt en 384p1P; ni 256p;P3 KE 208p; P2P3 Th 54p 1P39 et, par suite, A2 — — 1092P1P3 — 128p; + 144PiP2 — 27pP}, d’où OA; ne n00 D.
et, par suite, AN2=#06; ce qui achève de déterminer la valeur de V;.
Dans le cas particulier du quatrième degré, on peut mettre sous une forme commode pour le calcul arithmétique l’expression du produit des carrés des différences des racines. Prenons l’équation proposée sous la forme ax* + 4 bars + Gex? + Âdx +e—=o, S. — Alg. sup., 1. C0
et soient I— ae — 4 bd + ac?
J — ace + 2 bcd — ad? — eb? — ci, On aura, en désignant les quatre racines par «, 6, y, d,
aix (a—B}{a—y)(a— 2) (8—7)(8—8P(r— 8) = 16? (15 — 27/J?).
C’est M. Cayley qui, le premier, a trouvé cette formule.
Démonstration nouvelle de la formule de Lagrange.
204. La formule de Lagrange a fait l’objet des recherches d'un grand nombre de géomètres; Cauchy, en particulier, est revenu à plusieurs reprises sur cette formule, etil en a donné diverses démonstrations. Mais, dans ces derniers temps, M. Rouché a fait une étude nouvelle et plus complète de la question, et il a publié, dansle XXXIX°Cabhier du Journal de l’École Polytechnique, une démonstration qui ne laisse rien à désirer sous le double rapport de la rigueur et de la simplicité; nous croyons utile d'exposer ici l’analyse de M. Rouché.
Les développements qui vont suivre ne se rapportent pas seulement aux équations algébriques : ils s'appliquent également aux équations transcendantes. Rappelons à ce sujet que, si f(z) désigne une fonction quelconque bien déterminée de la variable z, qui s’annule pour z = z;, et Si, g étant un entier positif, la fonction
a une valeur finie différente de zéro pour z = z,, la racine z, de l'équation f (z) — o a le degré de multiplicité pr; les règles du Calcul différentiel montrent que dans
SECTION II. — CHAPITRE Ile 467 ce cas les — 1 premières dérivées de la fonction f(z) s’annulent pour z = z,, tandis que la dérivée suivante prend une valeur différente de zéro.
