TIRE

et cette fraction n’est autre chose que ; donc on a m—1

P PE sn Be

Q vs 17728 QE Fa Er 8

Il est évident que le second membre de cette formule est une fraction irréductible. D'ailleurs on s’en assure immédiatement en remarquant que la différence

En (E, Q7 = Py—1 0) rs Q; (BP; A5 Bb)

a pour valeur ERA lb Or se“ Q» Pre) ER ( WT 17 Ets

un facteur commun aux deux termes de la fraction dont il s’agit diviserait donc P,,; mais alors il diviserait ‘aussi P», ce qui est impossible, puisque P,, et P,, sont premiers entre eux. D'après cela, la formule que nous avons obtenue donnera

MT» 2 Eee EE m 4 5) Pis

Q Dr pe Qx re ps te

Non-seulement la première de ces égalités démontre le S.— Alg. sup., 1. 3

théorème énoncé, mais encore elle fait connaître les deux carrés dans lesquels le nombre P peut être partagé (!).

Condition pour que les fractions continues qui représentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients.

16. Si deux irrationnelles positives x et x’ sont telles, que les fractions continues dans lesquelles elles se développent aient un même quotient complet y, on aura, par les propriétés des fractions continues,

Py + P' MR EUR (1) LT ——s LEZ —) OHERO DD FAN P, Q, P’,... étant des entiers positifs qui satisfont aux deux conditions PQ QP = Er LRS — SRE Er Si l’on élimine y entre les équations (1), on trouvera

Ps ax + b nE FE ATEN; À

TL

en posant a—QR'—RQ', b—RP —PR, 2 OST SON ASS DIET et l’on déduit de ces dernières formules ab' — ba'— (PQ — QP')(RS — SR) —+r.

Donc, pour que deux irrationnelles positives x et x puissent se développer en des fractions continues susCeptibles d’étre terminées par des quotients complets égaux

(*) J'ai donné pour la première fois cette démonstration dans un article qui fait partie du tome XIII du Journal de Mathématiques pures ct appliquées (17° série).

née HS En de à.

dé raie ns. i Ph, MAULÉ

entre eux, il faut qu'elles soient liées l’une à l’autre par une équation de la forme

ax + b PAR Re A AL