LA Ü

d’après le théorème IL,

O (ay; Apn2y 93 As 24) (ay sr} ASE

Mais du développement de VA + a on passe à celui de VA en retranchant a du premier quotient; pareillement on passe de VA — à à VA en ajoutant a au premier quotient; donc la suite des quotients incomplets dans le développement de VA peut être représentée de l’une ou de l’autre des deux manières suivantes :

a las ia, he. a) lai RATES

aa a an 20) (AA EEE

on voit que le dernier quotient de chaque période est égal à 2a, et que les quotients qui précèdent forment une suite | dj, Ag, 3 Ap—o, dy dans laquelle deux termes égalementéloignés des extrêmes sont égaux entre eux.

D’après le théorème IV, si

a + VA Ei + VA, Ey-s + VA Es + VA = — 1 ee ————— ..e ES) me 9 ! D, D; D;

est la suite des quotients complets relatifs à VA +a, la

e À É suite correspondante pour rene sera A —a |:

a + YA ELNeE VA Par E,+VA E;+ VA ; Ds 2 De 9 v D: ? s ? ,

il est évident que ces deux suites coïncideront si l’on efface le premier terme de la première suite; par conséquent on a E, = a, et, dans chacune des deux suites,

E>, E;, ss HART D;, D;, D;, AE) D;,

les termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux. Il suit de là que la période des quotients com-

plets obtenus dans le développement de VA peut être représentée par

RNADE VA EVA Be NO a EU D, ; D, ; D, ; ) D. ) S

26. L'équation x? — A — 0, à laquelle se rapporte le théorème précédent, appartient à une classe d'équations remarquables qu'il est intéressant d'étudier. Nous nous proposerons, à ce sujet, la question suivante :

ProBLÈME. — 7Jrouver les équations du deuxième degré à coefhcients rationnels dont les racines se développent en des fractions continues terminées par les mémes quotients,

S1 x désigne l’une des racines d’une telle équation, l’autre racine (n° 15) devra être de la forme

ax + b TER ER EN À) fe, LS à

a, b, a/, b'étant des entiers positifs ou négatifs liés par la relation

(1) ab! — ba = +1.

Cela posé, soit — P la somme des deux racines, on aura

ar +0 P+Hzxr + CAVE TRE = 0 AT D

a+b Pb" + + P+—— | x + ——

ce qui doit être l'équation demandée; mais, pour que la

58 COURS D’ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.

somme des racines soit effectivement égale à —P, il faut que l’on ait

après quoi la condition (1) donne &æ& EI

b = — L’équation demandée est donc

T2 (2) x? + Pr — P£ + —) — O0; a (AA

P est une quantité rationnelle quelconque, & est un,

nombre entier quelconque, enfin a est un diviseur quelconque de a? 1.

Les fractions continues dans lesquelles se développent les racines de l'équation (2) ont donc nécessairement la même période; d’un autre côté, d’après le théorème III, la période de l’une de ces fractions continues est inverse de la période de l’autre. Il en résulte que chaque période est une suite symétrique ou qu'elle est formée par la juxtaposition de deux suites symétriques, dont l’une peut se réduire à un seul terme. En effet, soit

Gps ie, *s An—4

la période dontil s’agit; d’après le théorème IIF, on pourra aussi considérer la période comme étant

Anis En—2s ++, Ai, do:

Il peut arriver que les termes de cette seconde suite soient respectivement égaux aux termes qui occupent les mêmes rangs dans la première; dans ce cas, la période est symétrique. Mais, pour que les deux suites dont il s’agit puissent être considérées comme périodes de la même fraction continue, 1l n’est pas nécessaire que les termes de

SECRIONNI —ACHAPITRE TI 59

même rang soient égaux, car on est hbre de prendre un terme quelconque pour origine de la période. La condition nécessaire et suflisante est que les termes de la suite précédente soient égaux aux termes qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la suite

yn Æm+1 “ele y Am+n—2) yn+n—1)

m étant un indice indéterminé. Cette condition s’exprimera donc par l'égalité

lyn+k —= Ent

qui doit avoir lieu pourtoutesles valeurs 0,1,2,...,(727—1) de l’indice #; en conséquence la période sera composée des deux suites

RAP tot 6 10 nd }s

dans chacune desquelles les termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux.

Remarque I. — Il faut remarquer que les racines de l'équation (2) donnent lieu à des fractions continues qui se terminent par les mêmes quotients, lors même que la quantité P serait irrationnelle. Seulement, dans ce cas, ces fractions continues ne sont plus périodiques d’après le théorème Il.

REMARQUE IL. — Nous savons que l'équation (2) comprend comme cas particulier l'équation x?— À — 0, où À désigne un nombre entier. Pour la réduire à cette forme, il faut faire P— 0 et

en sn

T3 = Aou d'A a Er; a

ce qui prouve que l'équation indéterminée