Soit ARCS D
‘gs 78 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
"+ une racine irrationnelle et positive de l'équation (a) Dzr’— 2Exr+F—o,
dans laquelle les coefficients sont des nombres entiers positifs ou négatifs.
° P ’ » À 4 On a vu au n°19 que, S1 7 est une réduite répondant
: 20 à un quotient complet de dénominateur H, dans le dé- | veloppement de x en fraction continue, on a
DS Tes L'ÉRER Er Qc
50 D LDPr— Eu) — AQ@]= EH,
ou, en remplaçant À par E?— DF,
‘#4 DPi— 2EP,Q, + FQi= +H;
À le signe + ou — ayant lieu dans le second membre, sui- LE P , . . | 5 ; vant que — est une réduite de rang pair ou de rang «
t1A | 1 impair. L'égalité précédente montre que l’une des deux équations indéterminées à | (2) Dy?— 2E7yz + Fz— +H,
‘à (3) Dy?— 2Eyz + Fz= —ïH
sera satisfaite par les valeurs
TS — rh, ES Q,.
| Fu RU in
( Supposons que — soit la réduite qui répond à un quo-. N n ï | tient complet de dénominateur H pris dans la (7 + 1)ième période; si le nombre des quotients contenus dans une»
période est pair, les réduites
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L Qc Q Q: ] Le seront toutes de rang impair ou toutes de rang pair; elles
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SECTION I. — CHAPITRE II. 79 fourniront donc une suite infinie de solutions entières pour l’une des deux équations indéterminées (2) EU Mais, si la période de la fraction continue x renferme ut
Le AK Te | RAA nombre impair de quotients, les réduites seront alter-
nativement de rang pair et de rang impair; en conséquence elles donneront une infinité de solutions entières pour chacune des équations (2) et (3). Il peut arriver qu'il y ait dans la même période plusieurs quotients complets de dénominateur H, et l’on doit alors appliquer à chacun d’eux ce qui vient d’être dit.
Les solutions entières dont il vient d’être question, et qui répondent à.un même quotient complet pris dans les diverses périodes de x, peuvent être représentées par les formules (4) Panda
2 = Qour + (DP5 — EQo) rm
un et Vn désignant ici les mêmes quantités qu’au n° 27; ces deux formules sont comprises dans la suivante :
DATE ER E + VA A G n) (e-}e nr
où le radical VA peut être pris avec un signe quelconque en donnant à ce radical le signe + et le signe — successivement, et, en multipliant ensuite les deux équations résultantes, il vient
Dy? — 2Eyz + Fz? = (DP; — 2EP,Q, + FQi) (ui — Avi}.
Comme u?— Avi— +1, le second membre de cette égalité ne change pas par le changement de 7 en — 7; par conséquent, quand on donnera à 7 toutes les valeurs entières de —o à + , les formules (4) fourniront des solutions entières en nombre infini, pour chacune des
So COURS D’'ALGEBRE SUPÉRIEURE.
équations (2) et (3), si la période de x renferme un nombre impair de quotients, et pour une seule de ces équations seulement, si le nombre des quotients contenus dans la période est pair.
Les résultats qui précèdent ont été tirés de la considération de l’une des racines x de l'équation (1); la deuxième racine ne donnerait rien de plus, car, en attribuant à z des valeurs négatives dans les formules (4), nous avons fait intervenir, d’après ce qu’on a vu précédemment, les réduites qui naissent du développement de la racine conjuguée de x.
35. Lorsque le nombre entier H est inférieur à VA, l'analyse précédente fait connaître toutes les solutions entières des équations (2) et (3). On a effectivement ce théorème :
Taéorime. — Les nombres D, E, F, H étant des en-
tiers et H étant << VA, si les entiers positifs P et Q, sup-
posés premiers entre eux, satisfont à l'équation
Dy?— 2Eyz + Fz = EH,
' P ; i AS 4 la fraction 0 sera nécessairement une réduite de l’une
des fractions continues qui représentent Les racines de l'équation Dx— 2Exr +F—o, sauf une légère exception dont il sera parlé. On a, par hypothèse, (x) DP? — 2EPQ + FQ?= EH,
et l’une quelconque des racines de l'équation
Dr?— 2Er +F—0o
peut être représentée par la formule
(2) SES bn AU
D où 2 désigne le nombre + 1 et où À est mis au lieu de E2— DEF, Enfin, si l’on réduit à en fraction continue et que l’on représente par . la réduite qui précède d’ on aura (3) POROREE;
] étant égal, à volonté, soit à +1, soità—r, Cela étant, posons
dr P’ Ps END! (4) Rhone d'où ÉTÉ Gorcbn.
Qz'+Q P—Qx on aura 10 Î JD
