On a, dans ce cas, E—0o, D=1, F——A et

la formule (11) se réduit à

P, an Q» VA us (P, “ri Qo VA) (us ane 4 7 VA).

| Pa: P ; Fe), : Supposons que nos réduites —” soient celles qui répon-

ñn

dent aux quotients complets égaux à a + VA, a étant

le plus grand entier contenu dans VA. Alors le premier terme de la période des quotients incomplets sera 2a; on aura

P, PRE œ Se CRE a; d'oùr P,=a Ca Non,

en outre, commeonaici E=:a, D'=1, les formules (9) dt

Haba PSS on aura donc PERRET Q£ VA TR (P, de Q VAE,

Exemple. — Soit À — 7. La période des quotients incomplets qui viennent après le premier quotient 2 est 1, 1,1, 4; la réduite qui répond au dernier quotient de

FRS (e cette période est + Posant donc P,—8, Qo—3 on aura

Pr — Q: V7 (es: (8 ne Ve — Q V7 = 127 — 48 V7, P, — Q: V7 — 2024 — 765 V7, — Q, V7 = 32257 — 12192 Vr

33. On peut conclure de ce qui précède une propriété des réduites qui répondent au dernier quotient complet dans les périodes successives du développement de la racine carrée d’un nombre entier. On a effectivement

Po — 0 VA — (P, Fe Q VA}", P:5 Tea Qon—1 VA 2 (P TS Qo VA)”;

SECTION I. — CHAPITRE II. 77 d’où

Pont = Qi VA — FR DE Oo VA}, égalité qui se décompose dans les deux suivantes :

’ Pont — 12227 ne AO Qn1 on À SR À Qt

Si l’on désigne par X, la réduite qui répond au quotient

a + VA pris dans la z2i% période, on aura

pre Pire X = n—1 : es — 2n 2 “ 0; À OA et les formules précédentes donneront À or X>» — —— 9

d’où il suit que la réduite X,, est la moyenne arithmé-

: ge À tique des deux quantités X, et ni dont la moyenne

IT géométrique est VA. La formule précédente peut encore se mettre sous la forme Ne A

PERS nee CO

et il en résulte que la réduite X,, est précisément la valeur approchée de VA à laquelle conduit la méthode d’approximation de Newton dont il sera parlé plus loin, quand on prend X, pour une première valeur approchée.

Sur l'application de la théorie des fractions continues à L ’analyse indeterminee du deuxième degré.