SR IN(R?— 4RR) + 4 (PR + PQR' + QU

qui fournit la solution de la question proposée.

Les valeurs de P et Q données par les formules (12) renferment en dénominateur la constante H, et la valeur de N tirée de la formule (13) a le dénominateur H?; mais on peut démontrer que ce dénominateur doit disparaître des expressions de P, Q, N, lesquelles sont ainsi des fonctions entières des coefficients des équations (1). Le dénominateur H? disparait également de l’expression (19) de ®, et celle-ci devient alors une fonction entière et homogène du douzième degré, relativement aux dix-huit coefficients des équations proposées; mais nous ne démontrerons pas cette proposition qui s’écarte un peu de notre sujet.

80. Il faut remarquer que l’analyse précédente ne donne pas seulement l'équation finale demandée O — 0, mais qu’elle fait connaître aussi les valeurs des inconnues y et z qui répondent à chacune des huit racines de cette équation finale. Effectivement, quelles que soient les valeurs finies que l’on attribue aux indéterminées X, Y, 2, U, dans la formule (14), l'expression de © que l'on obtiendra se réduira nécessairement à zéro, pour tous les systèmes de valeurs x, y, z qui satisfont aux équa-

tions proposées. Or, si l’on fait successivement

2R Ho UE TR et R' 2R” = 0 Ar 0; MS BEST

la formule (14) donnera ces deux valeurs correspondantes

de © :

—(R?— {RR')y+(2PR + QR'),

@—(R?—/4RR’)z+/(2QR"+ PR'),

qui l’une et l’autre sont nulles; on a donc

ÉOMVSEREE OS E 2QR” + PR’ P— R?4{RR"? EF RER et l’on peut écrire aussi | PRTxNT O2 2, TPAX ER

X, Y, Z désignant ici les fonctions déterminées par les formules (18). Il est évident que, si l’on substitue ces valeurs (0) de y et de z dans les premiers membres des équations (6), ceux-ci se réduiront à des fonctions rationnelles de x dont les numérateurs seront divisibles par O®; au surplus, il est facile de vérifier qu'il en est ainsi, en se servant des formules que nous avons obtenues.

81. Si l’on suppose que x, y, z représentent des coordonnées rectilignes, le problème que nous venons de résoudre coïncidera avec celui qui a pour objet la recherche des points communs à trois surfaces du deuxième degré données.

La discussion des cas particuliers de ce problème met en évidence diverses circonstances intéressantes qu’il n'entre pas dans notre plan d'analyser d’une manière

complète; mais nous indiquerons succinctement les principales, afin de faciliter l’intelligence des considérations générales que nous aurons à présenter ensuite. Les coefficients des équations proposées ne seront plus dans ce qui va suivre des constantes indéterminées, et nous examinerons les cas principaux dans lesquels la fonction @ se réduit identiquement à zéro.

Supposons d’abord qu’il n'existe entre les coefficients aucune relation autre que celles qui sont nécessaires pour la réalisation de l'hypothèse où nous nous plaçons. Dans ce cas, la fonction X ne se réduit pas à zéro, et la substitution des valeurs (20) de y et de z, dans les premiers membres des équations (6), donne des résultats identiquement nuls; cela exige, comme on le reconnaît. aisément, que les fonctions rationnelles substituées à y et à z se réduisent à des fonctions linéaires de x, et, par suite, que Ÿ et Z soient divisibles par X. On voit alors que nos trois surfaces ont une droite commune, savoir, celle qui est représentée par les équations (20); mais elles ont aussi d’autres points communs qu’il est facile de déterminer. Effectivement, les formules (20) ont été obtenues en remarquant que, pour toutes les valeurs de x, y, Zz qui satisfont aux équations proposées, les deux fonctions entières

) ù { Z À e ge üx )° AT x) s’annulent. En égalant à zéro le second facteur de l’une et de l’autre expression, on retrouve les équations (20); mais on voit que l’on a en outre la solution

= ououR = HRR = E0; laquelle fournit les coordonnées x de ceux des points

communs aux trois surfaces qui ne se trouvent pas sur la droite commune.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, bien que les équations proposées soient indéterminées, on est conduit à considérer une équation finale qui est, en général, du quatrième degré.

82. Supposons maintenant que les coefficients des équations proposées soient tels que l’on ait identiquement, non-seulement ® — o, mais encore X = 0 ; comme au numéro précédent, nous exclurons toute relation inuile pour la réalisation de nos hypothèses. Les équations

HXy —Y—o, HXz—Z—o,

obtenues au n° 80, montrent que l’on a identiquement ŸY —0,2— 0; le cas où les trois foncüuons R, R', R’/ se réduisent à zéro sera examiné plus tard, et nous l’excluons en ce moment; alors, l’une au moins des fonctions R et R’étant différente de zéro, nous supposerons que R ne soit pas nulle. Enfin l'identité X — o nous donne