r 9» II
ensuite, à partir de 3* = g, on efface les nombres de 3 en 3 qui sont tous divisibles par 3 ; à partir de 5' = 25, on efface les nombres de 5 en 5, à partir de 7* = 4g, les nombres de 7 en 7, et ainsi de suite; on s'arrête dès que Ton arrive à un carré supérieur h ri. On trouve ainsi pour les nombres premiers inférieurs à 100
2, 3, 5. 7» II. 13» 17. 19» 23, 2g, 31, 37, 41, 43. 47, 53. 59' 61, 67, 71, 73, 7g, 83, 8g, g7.
184. Diviseurs d'un nombre. On sait qu'un nombre composé est susceptible de se ramener à la forme
jo, ç, r ... étant des nombres premiers inégaux et a, j3, ... des nombres entiers et positifs. Il admet d'abord comme diviseurs les a -j- i nombres
Si on multiplie chaque terme de cette suite par les nombres
g, q\ ç' ... ç^ n obtient
^2) q, pq, p*q .■- p'^q; q\ pq\ ...; ...; q^, pq^, ... 7>V.
ui sont aussi des diviseurs de n; le nombre des diviseurs renfermés dans ;s suites (di), (^2) a pour expression
En combinant ces diviseurs obtenus avec ceux de la suite
r, r*, r', ... rT \ multiplication donnera
iviseurs différents des premiers; en y ajoutant ceux-ci, on trouve
Il est évident que, par la continuation de ce procédé on arrivera à expression suivante :
our le nombre total des diviseurs de n y compris lui-même. De plus, ces iviseurs seront les différents termes du produit
(i+P + "-+P^){i+q+--\-q^){^+r + "'+r^)-"{i+t+,.+ty).
On en conclut aussi que leur somme sera représentée par le produit
Ainsi, pour
e nombre des diviseurs sera
(3 +0(2 +0(1 + 0=24, t leur somme sera égale au produit
On appelle nombre parfait celui qui jouit de la propriété d'être égal à la somme de ses diviseurs. Par exemple, pour les nombres 6 et 28, on a les
égalités
6 et 28 sont des nombres parfaits. Les nombres parfaits connus sont de la forme
•2fc-«(2fc I)
011 2^—1 est un nombre premier ; c'est ce qui résulte de la proposition suivante :
Si, dans la progression géométrique
on fait la somme des termes jusqu'à ce que cette somme soit un nombre premier, le produit de cette somme par son dernier terme est un nombre parfait.
En effet, posons
et supposons que p soit un nombre premier; nous allons démontrer que le nombre
est un nombre parfait. Les seuls diviseurs de ce produit plus petits que lui-même sont :
T ^ ^i yyk—l.
Si on fait leur somme, on trouve
2^ — I +/> (2''"' — i) ou bien, en remplaçant p par sa valeur,
cette somme vaut donc le nombre a\ donc ce dernier est un nombre parfait. Si on pose dans la formule
a -= 2'^-' {2^ — i) A:=2,3,5,7, 13, 17, 19, 31, 61, on trouve tous les nombres parfaits connus; aucun d'eux n'est impair.
On appelle aussi nombres amiables, deux nombres dont chacun est égal à la somme des diviseurs de l'autre. Il en est ainsi pour les nombres 220 et 284. On a, en effet, pour la somme des diviseurs du premier
I + 2 + 4 + 5 -f 10 + 1 1 + 20 + 22 + 44 + 55 + iio = 284, et, pour la somme des diviseurs de l'autre
Euler a trouvé 61 couples de nombres amiables.
1.^5. Nombres premiers entre eux . On appelle ainsi les nombres qui ne possèdent d'autre diviseur commun que l'unité. Un nombre n'est jamais premier à lui-même si ce n'est l'unité; c'est là un caractère du nombre i qui le distingue des autres nombres premiers.
Cela étant, 5/ p et q sont des entiers premiers entre eux, les restes de la division de chaque terme de la suite
Vy 2/?, ^p, 4;?, .... {q— i)p par q sont tous différents; ce sont les nombres de la suite
I, 2, 3, 4, ... q — i mais dans un ordre quelconque.
Il est d'abord évident qu'aucun nombre de la suite proposée n'est divisible par g, puisque les coefficients de p sont inférieurs à ç et g est premier avec jo. De plus, si deux de ces multiples de p donnaient le même reste, leur différence, qui serait un autre nombre de la suite, devrait être divisible par g, ce qui est impossible.
Le produit pq est le premier multiple de p divisible par q ; les multiples suivants :
(g+0/>> (9 + 2);), (q-\-^)p, .... {2q- i)p jouiront aussi de la propriété de ne pas être divisibles par q et de reproduire dans le même ordre les restes de la première suite ; car les différences respectives des nombres {q-\- i)p et;?, (q-\- 2)p et 2p, etc., sont divisibles par q.
Enfin, désignons par a un troisième nombre entier quelconque; si on forme la suite
a, a + p, a-\-2p, a -f 3P^ •• 1 <* + (^— O/^r on démontre de la même manière que la division des nombres qu'elle renferme par q conduit à des restes tous différents qui sont les termes de la suite
o, I, 2, 3, 4, ..., q — I dans un certain ordre.
La suite que nous venons de considérer contient les q premiers termes d'une progression arithmétique dont le premier terme est a et la raison p. La propriété précédente peut s'exprimer ainsi :
La division par q des q premiers termes d'une progression arithmétique do?it la raison est un nombre p premier avec q conduit à des restes tous différents qui reproduisent dans un certain ordre les nombres
Remarquons encore que, dans les q termes de la progression, il y en aura autant premiers avec q qu'il y a de restes premiers avec q ; car, si un reste est premier avec q, il en est de même du dividende, et réciproquement.
t80. Indicateur d'un nombre. On appelle indicateur d'un nombre positif n le nombre des entiers de la suite
qui sont premiers à w; on le représente par la notation (p(w). On a, par exemple,
9(i)=i, 9(2) = 1, 9(3) = 2, 9(4) = 2, 9(5) = 4, etc. Lorsque n est un nombre premier />, il vient évidemment
C'est un exemple d'une formule qui est en défaut pour p = i ; comme le nombre i est premier à lui-même, on doit prendre 9(1) = i au lieu de 9(1) = 0.
Nous allons étudier quelques propriétés de la fonction numérique 9(n). D'abord, étant donnés deux nombres p et g, premiers entre eux, on a la relation
(p(pg) = cp(p)(p(ç).
Désignons par
les entiers inférieurs à ^ et premiers avec p\ leur nombre est représenté par 9(jo). Soit p l'un quelconque d'entre eux; tous les termes de la suite
sont inférieurs à pq et premiers avec /?, lorsqu'on remplace p par l'un quelconque des nombres i, a, b, ... . D'un autre côté, tout entier plus petit que pq et premier avec p est nécessairement de la forme ^-\-kp ohk est zéro ou un entier inférieur à q. Afin d'obtenir 9(^9), il faut prendre, parmi ces nombres
premiers avec ;), ceux qui sont en même temps premiers avec q. Or, si on divise les termes de la suite (a) par q^ on obtient pour les restes les nombres
o, I, 2, 3, 4, ... qf— I qui renferment (p(g) nombres premiers avec q; il y en aura autant dans la suite (a) formée des dividendes ; mais, comme on doit remplacer p par Tun quelconque descp(;p) nombres i. a, b, ... p — i, on en conclut que le produit çp{p) (p(cjf) représentera le nombre des entiers plus petits que pq et premiers avec;? et q, ainsi qu'avec leur produit; donc la relation proposée est démontrée.
On en déduit
(p(pqr) = (p{p) 9(qr) = (p{p) (p{q) (p(r), et, en général,
(p(pqr ,..t) = (pip)(p iq) (p(r) ... (p(0-
Donc, l'indicateur d'un produit de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est égal au produit des indicateurs de ses facteurs.
Considérons maintenant un entier n donné par n = p^i p étant un nombre premier. Parmi les entiers de la suite
il n'y a que les nombres
qui ne peuvent être premiers avec n; par suite, la différence
V \ vl
représentera le nombre des entiers inférieurs à ?i et premiers avec w, c'est-à-dire, 9(w).
Pour un nombre quelconque
on aurait
c'est-à-dire,
Par exemple, on a :
504 = 25.32.7; par suite,
Désignons par rfi, rfa» ... dm tous les diviseurs d'un nombre w; il existe encore cette proposition de Gauss :
La somme des indicateurs de tous les diviseurs d'un nombre est égale à ce nombre de sorte que Von a :
9(rf,) -[- cp(rfî) -\ 1" (^(d,n) = n.
Si on représente par
le nombre donné, on sait que la somme de ses diviseurs est égale au produit (,l+p + p'+-+p''){i+q + q' + ...q?){l+r + r"- + -ry)-.
Un terme quelconque de ce produit est de la forme p^'q^'r^' ... et nous
pouvons poser
dt =p^'qFrV ...; d'ovi
La somme des valeurs de q? pour tous les diviseurs de n sera aussi égale au produit
[i+9W + 9(p')H I-9M] [i+^W + tC^')-! 1-9(^^)]-;
mais, la première parenthèse a pour valeur
De même, les autres parenthèses représenteront respectivement ç^,r^,.. J^. Par conséquent, il vient
9(^0 + 9(^2) H h9(c^m) = p"gM "' = n.
Le nombre 12, par exemple, admet comme diviseurs les entiers
I, 2, 3, 4, 5, 12; mais, on a
cp(i)=i, 9(2)=!, 9(3) = 2, (p(4)=-2, (p(6)==2, 9(i2) = 4; ce qui donne
En terminant, il sera utile de mettre ici en tableau les premières valeurs de la fonction 9 et, à côté, les nombres qui leur correspondent. On constate que 9 ne passe pas par tous les nombres; ainsi, il n'existe aucun nombre n dont l'indicateur soit égal à 14, par exemple, ou 17, ou 34, etc.
to
Il, 22.
