V., Vh-„ ..., v

dans le passage de x = - oo à Jt = oo, et soit m le degré de V. On a fi ^ V -\- i\ d'où m - n'^m - i - V. Or, fi étant le nombre des racines réelles de V, /w - /i est celui des racines imaginaires; m - /étant égal ou supérieur au degré de Vj, et vêtant égal ou inférieur au nombre des racines réelles de Vi, le nombre des racines imaginaires de Vi est égal ou inférieur k m - i - v, etc.

2. Soient X = une équation qui a des racines multiples, Xi la dérivée de X, V et Vi les quotients de X et Xi par leur p. g. c. d. Xr.

Si a est p fois racine de X = 0, /? est égal à la valeur, pour Jt = a, du quotient de Vi par la dérivée V de V. (Sturm).

De X = Xr V, Xi = Xr Vi on déduit y = Y-SiX = (x - a)^ (p{x), on trouve facilement

y. X. ^ /7y(x) + (x-fl)y'(jf) V X {x — a)(p{x)

V étant de la forme (x - a)/(x), on a V =f(x) + {x - a)f\x) et la valeur de V, pour x= a, est égale à /(a) ou égale à la valeur de

— y. — pour jc = a. Cela pose, faisons x = a dans l'égalité (1), etc.

Corollaire. - En égalant à zéro le p. g. c. d. de V et Vi - pW't on a l'équation dont les racines sont toutes celles de X, de l'ordre de multiplicité /?, prises chacune une fois. (Ostroqradski ).

3. Soit V = une équation ayant toutes ses racines réelles et distinctes, et soit V, Vi, Vg. . ., Vr la suite de Sturm relative à V. 1° Les racines de Vi sont réelles et distinctes; 2o elles séparent les racines de Vi+i.

En effet, si m est le degré de V, les fonctions de Sturm sont au nombre de /» + 1 et leurs premiers termes sont positifs (205). Par suite, dans

le passage de jc = - oo à jc = oo, la suite Vi, Vi+i, . ., Vm perd m - i

variations, ce qui exige qne le rapport y — passe au moins m - i fois

du négatif au positif en s'annulant ; le degré de Vi étant aussi m - i, Vi n'a que des racines réelles et simples. Chaque fois que x passe par

l'une de ces racines, le rapport w — passe du négatif au positif; on

en conclut, en raisonnant comme pour le théorème de Rolle, que les racines de Vi séparent celles de Vj^j.

NEUBERO.- Algèbre, 13

4. En effectuant la division de 1 par 1 + 2ax + a* suivant les puissances croissantes de a, on obtient un quotient

Po + Piû + Peu' + ... + Pnû° + ...

dont les coefficients Pq, P,, ?£! •• sont des fonctions entières de x. Montrer que l'équation Pn = a toutes ses racines réelles.

Au terme P^An du quotient de 1 par 1 + 2ax + a^ correspond un reste de la forme RaM-i. De l'identité

(1 + 2ax + a») (Po + Piû + P2Û' + ... + Pnû") + Ra"+^ = 1

on déduit

Po --= 1, Pi + 2PoA: -^ 0, P, + 2PiJf + P„ = 0, ..., Pn + 2P^,x + P„, = 0.

On peut appliquer l'exercice 1 à la suite Pn , Pn-i, ... , P© ; les premiers termes de ces fonctions ayant des signes alternés, la suite gagne n vanations quand x varie de - 00 à + <»•