Pour le contact du premier ordre, par exemple, il

faudra exprimer d'abord que (^, j^, z^ est un point commun

dz dz Aw^ deux surfaces, puis éfi:aler les dérivées -r- ? -î— • Elles sont ^ '^ ôx oy

déterminées dans la première surface par les équations

âF àFdz^ ÔF ÔF âz^ dx dz dx ' dy dz ôy ~' '

et dans la seconde par les équations

dF^ dF,d^ ^ dF, dz __

dx dz dx ^ dy dz dy

T r.- j 1 àF dF dF .

l^a condition de contact est donc que-r—î -r-' ^r soient

^ dx dy dz

^ . dF, dF, dF, , \r

proportionnels a —, -—-S -—S ou que le déterminant dx dy dz ^

dFdF, dFdF, ^ ^ ^ . . • 1

'ÂZ~ÂZ J^~T7 = ^ et ses analogues A< et A2 soient nuls.

Ces conditions expriment que (^, /, z) est un point singulier sur la courbe d'intersection des deux surfaces F et Fi .

434. Remarques. — i" Si deux surfaces S et S' ont un contact d^ ordre n en un point, leurs intersections avec une troisième surface S" passant en ce point sans les y toucher auront un contact d^ ordre n.

Car les coordonnées d'un point Q infiniment voisin de P pris sur la courbe S = o, S^^ = o satisfont par hypothèse à l'équation S' = o aux infiniment petits près d'ordre n -^ \ . D'autre part, elles satisfont rigoureusement à l'équation S''=o, qui, jointe à celle-ci, caractérise la courbe S' = o, S'^= o. Il y a donc contact d'ordre n entre les deux courbes.

1^ Deux lignes (ou deux surfaces) ayant un contact d^ ordre n avec une troisième ont entre elles un contact de même ordre.

Gela devient évident si l'on écrit les conditions du contact sous les formes (3) (7) et (9).

435. Osculation. — Soit C une courbe (ou surface) quelconque, K une autre courbe ou surface dont l'équation (ou les équations) contienne un nombre de paramètres égal à celui des conditions trouvées ci-dessus pour que K ait avec (i un contact d'ordre n en un point donné.

Si l'on donne successivement à ces paramètres différentes valeurs, on ©(^tiendra une famille de courbes (ou surfaces) K. Celles de ces courbes (ou surfaces) où ces paramètres sont déterminés de manière à satisfaire aux conditions du contact d'ordre n est dite osculatrice à G au point considéré.

436. Au lieu de déterminer les paramètres de K par la condition d'avoir avec G un contact donné en un point donné, on pourrait se proposer de les déterminer de telle sorte que K rencontrât G en un certain nombre de points donnés.

Soit, par exemple, G une courbe plane ayant pour équations

œ — ^{t), y=zo,{t),

K une aulrc courbe dont l'équation

contienne n H- i paramètres.

Posons, comme précédemment,

I^a courbe passera par les n + i points ^4- A^, t-\~\^t^ ..., t -\- A///, si Ton a les équations de condition

Il est aisé de voir que, si les points t -f- A^, . . ., ^ -f- A,/ / tendent simultanément vers le point fixe t^ la courbe K aura pour limite la courbe osculatrice à G au point t.

En effet, soit, pour fixer les idées. A; << A<^ <^ . . . << A^^. La fonction W s'annulant aux points ^-j-A^, ^4-A<^, ..., ^ + A/;/, sa dérivée W devra, d'après le théorème de RoUe, s'annuler en Ji points t ~\- A', ^, t -\- M.^t, . . . , t -]- à'^^t, respectivement compris entre ^ -|- A^ et ^ -f- Aj^, entre ^ -f- A,/ et ^ -r A2^, De même, la fonction W'\ dérivée de W, devra s'annuler en /i — i points t -i- ù^lt, . . . , t -\- à"^t respectivement compris dans les intervalles de ^ + A, ^ à ^ -H A!, ^, ... ; et ainsi de suite jusqu'à la dérivée /i*'"*^ de W . On aura donc

A',/, . . ., à"^t étant compris entre A^ et à,it.

Si donc A^ et A/^^ tendent vers zéro, ces équations deviendront à la limite

Ce sont précisément les relations qui caractérisent l'osculalion.

437. Ce raisonnement s'appliquerait identiquement au cas où, G étant une courbe gauche, K serait une surface ou une autre courbe gauche, et conduirait au même résultat.

Mais, si G et K sont des surfaces, la fonction W dépen-

dant de deux variables, on ne peut plus raisonner comme ci-dessus, et la proposition à établir, bien que restant vraie en général, est en défaut dans certains cas particuliers.