L'équation
^- H- j^ -I- z' — (p ( a .37 + by -h cz)
représente im système de surfaces de révolution dont les parallèles
ax -j- by -f- c ^ = a
sont perpendiculaires à l'axe — = 4 = -* ^ ^ abc
Ces surfaces satisferont à l'équation
dz dz
ox ax
^ b c^ dy ây
ou
bx — ay =: {cy — bz)
dx
ex)
178. Une fonction n de plusieurs variables ^^y, ^estdit(^ homogène et d'ordre n si elle peut se mettre sous la forme
Il résulte de cette équation que z'~^^ii est fonction de — et
de ^ • On aura donc, en égalant à zéro le jacobien,
ôx z
ây z
dz
ou, en effectuant les calculs et chassant le dénominateur 3"+^
du
du du
^ dx dy
179. Comme seconde application de la théorie générale de l'élimination des fonctions arbitraires, considérons un système àc p fonctions z, a,, , . ., a^i des p variables indépendantes ^1 , . . . , Xp, déterminées par le système des équations simultanées
Fi (^"i, . . . , x^,, z.,^i, a^i, cpi, . . . , cp„) = o,
où cp,, ..., Z),i désignent des fonctions arbitraires de a,, .. .,
aLp i. Nous allons montrer que z satisfait à une équation aux
dérivées partielles d'ordre /?, indépendante de ces fonctions.
Formons, en effet, la dérivée partielle de F^ par rapport à
^i ; elle se composera :
^ i-w àFi d¥i dz . , ^ . . ,
1" Des termes -r 1 — r— ^; — ? dus a la variation de ^, et
OXi ôz ÔXi
de z; nous les désignerons, pour abréger, par D^.^F<;
^ /ôFi dF^ âo^ \ doL, / , ,
'2"" Des termes -;, 1 — ^ — -{-...) -r — -, dus a la varia-
tion de a, ; nous les désignerons par D^^^F'^ -^— ^;
3" Des termes analogues D^^^Fi -r^? - • •-> dus à la variation
des autres paramètres ao, ....
Réunissant tous ces termes, on aura l'équation
Les dérivées partielles par rapport à .^2, . • • donneront de même
Éliminant entre cesy> équations les/> — 1 quantités D^, F,,
Da,F,, ..., il viendra Dx,Fi
dx^ ^.r.
Ce déterminant, développé, sera de la forme
A, B, ... étant des fonctions de -r-;^, -r— -?
Les équations Fo = o, ... donneront de même
AD,,F2+BD^,F.2 + ...=o,
Éliminons entre les équations qui viennent d'être obtenues les rapports des coefficients A, B, ... ; il viendra
Le premier membre de cette équation sera une fonction dz dz
de .^1 , . . . , Xp^ z, -~ y " • , j^ j «1 , . . . , a^__, , cp , , . . . , cp,^,
que nous désignerons par F^^, .
Désignons par D^r-Fp^, la portion de la dérivée partielle
de Vp^\ par rapport à xt qui provient de la variation de Xi^
à^ dz 1 1 A
; on trouvera de la même manière une nou-
' ôx.
dx,
velle équation
D ,.. Fa Dt.. F,
l66 PREMIÈRE PARTIE. ~ CHAPITRE I.
dans laquelle figureronr, outre les quantités précédentes, les dérivées secondes de ^.
Continuant ainsi, on obtiendra une suite d'équations
Fi
Fp— o,
entre lesquelles on pourra éliminer les /> — \ -\- n quantités ^i , . . . , a^,, cp,, . . . , cp,j, ce qui donnera une équation aux | dérivées partielles d'ordre n.
180. Exemple. — Cherchons l'équation aux dérivées par- | tielles des surfaces réglées. On nomme ainsi celles qui sont | engendrées par le mouvement d'une droite. Les génératrices d'une telle surface auront des équations de la forme
Fi :=: ^ — az — a
Trois conditions sont d'ailleurs nécessaires pour déterminer le mouvement de la droite. Ces conditions permettront d'exprimer trois des coefficients, par exemple a, Z>, p, en fonction du quatrième, a.
Appliquons la méthode précédente. Nous formerons l'équation
D,Fi D^F, D^ F2 D,. F2
L'équation suivante sera
dx âz^ dx
dz^ dx
dy
d^ dy dz^ dy
Dr Fa
dx
dy
,,|Jd.F3-hZ.|d,F3
dz
dz
ou, en remplaçant i — b^ par ci-— et supprimant le fac-
leur commun
(^^-^ oa^ oy oy^
On trouvera de même l'équation suivante
o = F3=aD.^F4+^D^F4
dx^ dx^ dy âx oy^ oy^
On n'aura plus, pour obtenir l'équation aux dérivées partielles, qu'à éliminer le rapport - entre les deux équations F/, et F..
181. Considérons enfin une fonction z définie, ainsi que les paramètres a,, . . . , a^,, par un système d'équations de la forme suivante
( Da./=0, Da^/==0, ..., Da^,,/=0.
Prenons les dérivées partielles de / par rapport à chacune des variables indépendantes x^^ . . . , Xp. En vertu des équations (10), ces dérivées se réduiront à leurs premiers termes D^^/, . . . , D^p/. On aura donc
^xJ~o, ..., D^^/=o.
Désignons ces équations par
Fi = o, ..., F^— o.
On en déduira, comme dans le problème précédent, une I suite de nouvelles équations
Ces équations, jointes aux précédentes et à la primitive /=: o, fourniront un système àe p -\- n équations, entre lesquelles on éliminera a,, ..., a^^-i, ^i, •••, 9«. L'équation résultante sera encore de l'ordre ii. En effet, F,, ..., F^ contiennent z et ses dérivées partielles du premier ordre; F^^, contiendra, en outre, celles du second ordre, etc. ; enfin F^,.„, contiendra celles du n}*""^^^ ordre.
182. Exemple. — Cherchons l'équation aux dérivées partielles des surfaces développahles. On nomme ainsi celles qui sont définies par le système des deux équations
Da/:
et Y étant des fonctions de a.
On en déduira, d'après la méthode précédente
^ dx ôx '
- dy dy
puis
Ce sera l'équation cherchée.
